课件-第三章扭转

第三章

扭转§3.1扭转的概念和实例工程问题中，有很多杆件是承受扭转变形的。自行车的中轴受扭转传动轴受力特点：变形特点：杆件的两端受到一对大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线的力偶作用杆件任意两个横截面绕轴线发生相对转动ABA'B'MeMe以扭转变形为主的杆件—称为轴

本章中，主要讨论圆轴扭转的强度和刚度问题§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图一、外力偶矩转速：n(转/分)输入功率：P(kW)Me1秒种输入功：1秒钟Me

作功：nMen二、扭矩和扭矩图求横截面的内力—截面法MeMeT取右段呢？nnT

—扭矩nnMeT扭矩的正负号规定

按右手法则，四指沿扭矩T的转向，拇指离开截面为正，指向截面为负负nMenT取右段呢？T

—扭矩nnMeT正BCAD扭矩图表示扭矩沿轴线变化规律的图形，称为扭矩图MeA例1

传动轴如图示，主动轮A输入功率为PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速为n=300r/min，试画出轴的扭矩图。MeDMeCMeBPA=36kW，PB=PC=11kW，PD=14kW，n=300r/min解：1、由功率计算外力偶矩BCADMeAMeDMeCMeBBCADMeAMeDMeCMeB2、求各段的扭矩11BC段MeBT1(设正)CA段22MeBMeCT2(设正)(负扭矩)(负扭矩)BCADMeAMeDMeCMeB11MeBT122MeBMeCT233AD段MeDT3(设正)(正扭矩)T350N·m700N·m446N·mBCADMeAMeDMeCMeB1122333、画扭矩图Tmax=700N·m思考：如果调换A和D？主动轮在什么位置比较适宜?BCADMeAMeDMeCMeB112233T350N·m700N·m446N·m

计算扭矩的法则：

任一截面扭矩=S[

截面一侧外力偶矩代数值]外力偶矩代数值符号：离开该截面者为正，指向该截面者为负BCADMeAMeDMeCMeB112233T350N·m700N·m446N·m

计算扭矩的法则：

扭矩图突变：集中外力偶矩作用处，扭矩图发生突变，突变值等于外力偶矩值任一截面的扭矩T=S[截面一侧外力偶矩的代数值]总结两点重要内容如下：离开该截面者为正，指向该截面者为负集中外力偶矩作用处，扭矩图发生突变突变值=集中外力偶矩值§3.3纯剪切一、薄壁圆筒扭转时的切应力将一薄壁圆筒表面用纵向线和圆周线划分；两端施以大小相等方向相反一对力偶矩drlppqqppqqgjMeMe试验现象：圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变纵向线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度g各圆周线转过了不同的角度r关于横截面内应力的假设和推断：横截面内没有正应力，只有切应力切应力沿着圆环的切线方向，沿着圆周大小不变由于壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀分布由静力等效ppqqgjMeMeppMeqqtppMeqqt二、切应力互等定理包括横截面取出一个单元体由静力平衡条件的合力矩方程可以得到

在相互垂直的两个平面上，切应力成对出现，且数值相等，垂直于两个平面交线，方向均指向或背离该交线。这称为切应力互等定理。单元体的各个侧面上只有切应力没有正应力，这种的情况称为纯剪切横截面ppqqgjMeMe三、切应变剪切胡克定律

切应变

在切应力的作用下，单元体的相对侧面发生微小错动，使原来相互垂直的两个棱边的夹角发生了微小的改变，这个改变量g

称为切应变。切应变的单位为弧度，也是量纲为一的量

g

剪切胡克定律

G：切变模量；当切应力不超过材料的剪切比例极限tp

时，切应力与切应变之间成正比关系，这个关系称为剪切胡克定律。引入比例因子G单位：GPa；材料的另一个弹性常数G需要由试验测定低碳钢对于各向同性材料，三个弹性常数

E、G、μ

之间的关系各向同性材料只有两个独立的弹性常数试验观察：§3.4圆轴扭转时的应力和变形一、切应力t的推导试验现象：圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变纵向线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度gMeMe圆轴扭转的平面假设：圆轴的横截面象刚性平面绕轴线作相对转动#截面保持平面#半径保持直线#单位长度扭转角相同j从圆轴内切取一个楔形体#变形几何关系dxMedxRADCBabcd

切应力的推导:放大后（端面计算）（侧表面计算）Me式中：单位长度扭转角（常数）#物理方程τmax如果t<tp，剪切胡克定律成立dxRADCBabcd#静力学关系截面全部切应力对轴心取矩等于截面上的扭矩

TdA称为横截面对圆心的极惯性矩令GIp抗扭刚度圆截面上任意一点切应力Tr圆截面上最大切应力记：称之为抗扭截面系数ttmaxT注意：只对圆杆成立

max应小于剪切比例极限tmaxT实心圆轴有很大一部分材料工作在低应力区，合理的受扭截面应是空心圆轴二、圆截面的几何量极惯性矩

IpDrdρdAO#实心圆截面抗扭截面系数

Wt令OdD#空心圆截面例2

AB轴传递的功率P=7.5kW，转速n=360r/min，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=3cm，d=2cm。试计算

AC和

CB段的最大与最小切应力。解：（1）计算扭矩外力偶矩为：

由截面法（2）计算极惯性矩

AC段BC段（3）计算切应力AC段内CB段内单位长度扭转角AB'gmaxMeMeBB截面相对于A截面的扭转角三、扭转变形

扭转变形——

扭转角两个横截面绕轴线的相对转角整体的扭转角#如果在AB区间内AB'gmaxMeMeBB截面相对于A截面的扭转角整体的扭转角#如果AB区间内注意：Ti

应是代数值，有+-号四、强度和刚度条件注意到强度条件刚度条件其中＃强度（或刚度）校核＃设计截面＃计算许可载荷(rad/m)(o/m)例3

已知传动轴，n=300r/min。主动轮输入功率PA=400kW,从动轮B、C、D输出的功率PD=160kW,PB=PC=120kW。每段长度均为0.5m。轴材料=30MPa，j=0.3/m，G=80GPa。求：1、设计轴的直径。2、按所设计的直径计算相对扭转角jBD。3、将MeA和MeD交换位置，会发生什么问题。解：（1）外力偶矩计算

BCADMeAMeDMeCMeB(3)作扭矩图危险截面在CA段(2)内力分析

BCADMeAMeDMeCMeB112233T3.82kN·m7.64kN·m5.10kN·mBCADMeAMeDMeCMeB112233T3.82kN·m7.64kN·m5.10kN·m（4）设计轴径按强度条件按刚度条件BCADMeAMeDMeCMeB112233T3.82kN·m7.64kN·m5.10kN·m（5）计算jBD思考：D截面相对于B截面如何转动？12.73kNm7.64kNm3.82kNmT（3）如果交换MeA

和MeD

的位置原来的设计d=117mm不能用了。最合理的布置应是主动轮在从动轮之间，而不应在最外端。MeBMeCMeDMeA例4已知汽车传动轴，外径D=76mm，内径d=71mm，外力偶矩Me