北师大版八年级下册数学同步课时练习题(全册分章节课时,含答案)

北师大版八年级下册数学同步课时练习题第一章三角形的证明基础题

第二章1．1 等腰三角形第1课时全等三角形和等腰三角形的性质知识点1 全等三角形的性质与判定，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD(B)A．4 B．5C．6 D．以上都不对若能用AASA．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC.5．B，E，C，F，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，第1页共175页∠DBA＝∠CAB，AB＝BA，∠DAB＝∠CBA，∴△ADB≌△BCA(ASA)．∴AD＝BC.7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，∴∠BAD＝∠NAM.AB＝AN，在△BAD和△NAM中，∠BAD＝∠NAM，AD＝AM，∴△BAD≌△NAM(SAS)．∴∠B＝∠ANM.知识点2 等腰三角形的性质8．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为(D)A．40° B．50° C．60° D．65°9．(2017·平顶山市宝丰县期)等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长A．13 B．14 C．15 D．13或1410．(2017·江西)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75度．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.AB＝6，CD＝4，则△ABC20．中档题如在△ABC，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的A．AB＝AC B．AD平分∠BACB＝BC D．∠BAC＝90°13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三角形的一个内角等于15°，则这个三角形为(D)钝角等腰三角形第2页共175页C．D．钝角等腰三角形或锐角等腰三角形14．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数(D)A．44° C．88° D．92°已知点A，F，E，C，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.(2)答案不唯一，如选择证明△ABE≌△CDF，证明如下：∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(AAS)．，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(2)AF＝2CD.证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，∠EAF＝∠ECB，∴△AEF≌△CEB(ASA)．∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，第3页共175页∴CD＝BD，BC＝2CD.∴AF＝2CD.综合题17．(1)在Rt△ABC，∠ACB＝90°，点D，E在边AB，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；2，在△ABC，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上且AD＝AC，BE＝BC，在△ABC中在直线AB上求∠DCE(直接用含n)．解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，∠BCE＝(180°－∠B)÷2.∵∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.(3)①如图1，∠DCE＝90 1°；°－2n②如图2，∠DCE＝90 1°；°＋2n③如图3，∠DCE 1°；＝2n④如图4，∠DCE 1°.＝2n第2课时等边三角形的性质基础题知识点1 等腰三角形相关线段的性质在△ABC，AB＝AC，BD，CE分别为边AC，AB上的中线．若BD＝5，则CE＝5．证明：等腰三角形两腰上的高相等．解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.求证：BD＝CE.证明：∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴CE＝BD.第4页共175页知识点2 等边三角形的性质如，△ABC是等边三角，则A．60° B．90°C．120° D．180°4．(2017·南充如，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标A．(1，1) B．( 3，1)C．( 3，3) D．(1，3)，△ABC，AC∥BD，则∠CBD＝120°．等边△ABC，AD，若AB＝6，CD3．等边△ABCy＝3．，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.，△ABC和△ADE，AD是BC第5页共175页证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，∴AE＝AD，AD为∠BAC的平分线．∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴∠BAE＝∠BAD＝30°.在△ABE和△ABD中，AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，AB＝AB，∴△ABE≌△ABD(SAS)．∴BE＝BD.中档题下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上(D)A．1个 B．2个C．3个 D．4个如，△ABC是等边三角，AD⊥BC，垂足为点E是AC上一，且AD＝AE，则∠CDE等于(C)A．30° B．20°C．15° D．10°已知△ABCB，C，D，E，且CG＝CD，DF＝DE，度．在等边△ABC中点D，E分别是边AB，AC，CD，BE交于点O，则∠BOC120°．E在ACFAB沿EF使点A落在BC边上的点D的位置且ED⊥BC，则∠EFD＝45°．第6页共175页中BC延长AD至使AE＝AC，∠BAE的高BF于点O.求∠E的度数．解：∵△ABC是等边三角形，BF是△ABC的高，∴∠ABO 1 ABC＝30°，＝2∠AB＝AC.∵AE＝AC，∴AB＝AE.∵AO为∠BAE的平分线，∴∠BAO＝∠EAO.在△ABO和△AEO中，AB＝AE，∠BAO＝∠EAO，AO＝AO，∴△ABO≌△AEO(SAS)．∴∠E＝∠ABO＝30°.，△ABC，MBC，NCA，BM＝CN，BNAM相交于点Q.(1)求证：AM＝BN；(2)求∠BQM解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，AB＝BC，∠ABM＝∠C，BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.(2)∵△AMB≌△BNC，第7页共175页∴∠MAB＝∠NBC.∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.综合题，P为等边△ABC它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．1 2 解：猜想：h＋h＋h＝1 2 证明如下：连接PA，PB，PC.＝1＝∵S AB·h，△PAB 2 1＝1＝S AC·h，△PAC 2 2＝1＝S BC·h，△PBC 2 3＝1＝S BC·h，△ABC 2S＋S△PAB

＋SS△PACSS

＝S△PBCS

△ABC，1 1 1 1∴2AB·h1＋2AC·h2＋2BC·h3＝2BC·h.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC.1 2 ∴h＋h＋h＝1 2 第3课时等腰三角形的判定与反证法基础题知识点1 等腰三角形的判定在△ABC，已知则(B)A．AB＝BC C＝AC D．∠A＝60°如在△ABC中，AD平分外角且AD∥BC，则△ABC一定A．任意三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 直角三角形相交于点使得△BOC(C)A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB第8页共175页4．()A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为10已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3CD＝3cm.在△ABC中，AD⊥BC于D，平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有①②．，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三角形．知识点2 反证法8．(2017·西安期中)是直角．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B，∠C必定是锐角．，则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾；②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，即∠B＋∠C＞180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．第9页共175页故等腰三角形的底角必定为锐角．用反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.证明：假设a与b相交于点则过M点有两条直线平行于直线，a∥b.中档题11．(2017·，，在△ABC中，OBOC和∠ACB，ODE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE(A)A．5 B．6 C．7 D．8已知△ABC，AB＝AC，，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB，所得到△ABC角形．，A处测得小岛P70°，7B处测得小岛P50°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．第10页共175页在等边△ABC中，BD延长BCE，使CE＝CD，连接DE.(1)她说得对吗？请你说明理由；(2)小敏同学说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？解：(1)BD＝DE是正确的．理由：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC 1 ABC＝30°，∠ACB＝60°.＝2∠∴∠DCE＝180°－∠ACB＝120°.又∵CE＝CD，∴∠E＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.(2)或点DAC中点理由：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.∴∠DBC＝30°.由(1)可知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.综合题在△ABC，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC(D不与B，C连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1BD11EDC25DE＝11D从B向CBDA；(2)DC，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)DC＝2理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°.∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°.理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.第11页共175页∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．第4课时等边三角形的判定基础题知识点1 等边三角形的判定△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是A．等腰三角形 B．等边三角形C．不等边三角形 D．不能确定(D)60°的三角形是等边三角形顶角为60°的等腰三角形是等边三角形底角为60°的等腰三角形是等边三角形有一个角为60°的三角形是等边三角形如在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)A．4 B．6 C．8 30的形状是等边三角形．已知OA＝a，P是射线ON，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三角形．点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.又∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三角形．第12页共175页知识点2 含角的直角三角形的性质7．(2017·)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9，则AB＝18．8．(2017·，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°.BC＝3cm，则AD＝6cm.大厅两层之间的距离h＝6.5米自动扶梯的倾角为行速度为v＝0.5米/，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．AC与铁路AD相交于车站区在∠CADA20则B区距铁路AC的距离为10千米．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8求AD的长．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16cm.又∵CD⊥AB于D，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB 1 ＝4cm.＝2BC∴AD＝AB－DB＝12cm.中档题在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60(点处各取1)(D)A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④，C落在斜边AB上的点E已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是(B)A．1 B．2 C. 3 D．2 3P在∠AOB，P1POB，P2POA三点所第13页共175页构成的三角形是(D)A．直角三角形 角三角形C．等腰三角形 边三角形POA上，OP＝12，OB上，PM＝PN.OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．6，△ABC，D，E，FAB，BC，CAAD＝BE＝CF，则△DEF的形状是等边三角形．在△ABC中BC分别是连接DE，DF.求证：△AED是等边三角形；AB＝2，则四边形AEDF4．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵AD是BC边的中线，∴AD⊥BC.∴∠BAD＝60°.∴AD 1＝2AB.∵点E为AB，∴AE 1＝2AB.∴AE＝AD.∴△ADE是等边三角形．综合题在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.1，点E，F分别在边BC，CD求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；第14页共175页若点E在BCCD上是否存在点使△AEF(2备用解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等边三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(2)存在．证明：在CD延长线上取点BC延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1)可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.∴∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(注：若在CD延长线上取点F，使CE＝DF也可)小专题一) 等腰三角形中常见的数学思想类型1 方程思想在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，的度数．解：设∠A＝x°，∵BC＝BD＝ED＝EA，∴∠ADE＝∠A＝x°.∴∠DEA＝∠DBE＝2x°.∴∠BDC＝∠C＝3x°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝3x°.在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，即x＋3x＋3x＝180.∴x 180＝7.180°∴∠A为7 .类型2 分类讨论思想Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB，则符合条件在点P共有(B)A．7个 B．6个 个 D．4个第15页共175页若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y25．点A是BO，OA＝10动点P从点A出发沿AB2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出用t(s)表示移动的时，当t 1010s时，△POQ是等腰三角形．

＝3或O为等边△ABDBD，AB＝4，E，FAB，DA且∠EOF＝120°，若AF＝1，求BE的长．解：当F点在线段DA1，作OM∥ABAD∵O为等边△ABD的边BD的中点，∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.∴△ODM为等边三角形．∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.∵∠EOF＝120°，∴∠BOE＝∠FOM.而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，∴△OMF≌△OBE(ASA)．∴BE＝MF＝3.当F点在线段AD上时，如图2，则类型3 整体思想ABC中A，点，，F分别在B，AAC上．第16页共175页11，若BE＝BD，CD＝CF，则∠EDF＝90°－2α；2，若BD＝DE，DC＝DF，则∠EDF＝180°－2α；如图3，若BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，则∠EDF 1(180°－α)；＝2如图4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，则∠EDF 1(180°－α)．＝2基础题知识点1 直角三角形的性质及其判定

1．2 直角三角形第1课时勾股定理及其逆定理在一个直角三角形有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数A．120° B．90°C．60° D．30°A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶53．(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为(C)A．60° B．50° C．40° D．30°知识点2 勾股定理及其逆定理4．(2017·西安期下列各组数，以它们为边长的线段能构成直角三角形的A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，2点D在△ABC的边AC将△ABC沿BD点A恰好与点C重合．若则BD的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．46．(2017·阿坝)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．7．(2017·成都)如图，数轴上点A表示的实数是5－1．在四边形ABCD，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝AD2－CD2＝132－122＝5.第17页共175页又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.∴∠B＝90°.SS∴ SS四边形ABCD

＋S△ABCS

△ACD1 1＝2AB·BC＋2AC·CD1 1＝2×3×4＋2×5×12＝6＋30＝36.知识点3 命题逆命题与定理逆定理)，)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．，并判断它们是真命题还是假命题．，同位角相等；a，b，那么a＋b解：(1)，两直线平行．真命题．(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．中档题已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(A)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个如正方形网格中的若小方格边长为1，则△ABC的形状A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．以上答案都不对13．(2017·)和△A′B′CA′A点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6C．3 2 D. 2114．(2017·)在△ABC，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB(D)第18页共175页A．2 B．2 3 C. 3 1 D. 3＋13＋在△ABC中，AB＝10，AC＝2 10，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等(C)A．10 B．8C．6或10 D．8或1018244cm的点B2cm与蜂蜜相对的点A，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B20cm.17．(2016·益阳)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：在△ABC中BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.1 1∴SAB＝2BC·A2×1412＝84.综合题，根据你，请写出：a＝19，则b，c的值是多少？a＝2n＋1，的值．你能证明所发现的规律吗？解：(1)a＝19，设b＝k，c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.故b＝180，c＝181.(2)a＝2n＋1，b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.证明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴a2＋b2＝c2.∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.第2课时直角三角形全等的判定基础题知识点1 用HL判定直角三角形全等第19页共175页P是∠BAC于点于点的理由是(A)A．HL B．ASAAS D．SAS如已知AD是△ABC的边BC上的，下列能使的条件A．AB＝AC B．∠BAC＝90°D＝AC D．∠B＝45°A．40° B．50°C．60° D．75°D，A，El，AB＝AC，BD⊥lD，CE⊥lE，BD＝AE.BD＝3，CE＝5，则DE＝8．，AD⊥BE于点是BE，AB＝DE，求证：AB∥DE.证明：∵AD⊥BE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∵C是BE，∴BC＝EC.Rt△ABC和Rt△DEC中，AB＝DE，BC＝EC，∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠A＝∠D.∴AB∥DE.知识点2 用其他方法证明直角三角形全等6．(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是(C)第20页共175页A．两条直角边分别对应相等B．C．两个锐角对应相等D．斜边和一直角边分别对应相等，如：∠BAC＝∠ABD．(只需)Rt△ABCD在边AB上D作AC于点E，CB的延长线于点求证：AB＝BF.∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.知识点3 HL在实际问题中的应用CAB，小明和小红两人从C，D，E，DA⊥ABA，EB⊥ABB.此时小明到路段AB50米则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB于A，EB⊥ABB，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．中档题已知在Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC(A)第21页共175页在△ABC，AB＝AC，BD⊥ACD，CE⊥ABE，BDCEO，AOBC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)A．3对 B．4对 C．5对 D．6对过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，Ca，垂足分别为点AE＝1，CF＝3，则AB的长度为10．在Rt△ABC线段两点分别在AC和过点A且垂直AC的射线AO，当AP＝510时，△ABC和△PQA全等．在△ABC，AB＝CB，∠ABC＝90°，FABE在BC上且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.Rt△ABE和Rt△CBF中，AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.第22页共175页∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.综合题分别为线段ACDE⊥AC若交AC于点M.求证：AE＝CF，MB＝MD；当E，F2请说明理由．解：(1)证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.∠DEM＝∠BFM，在△DEM和△BFM中，∠DME＝∠BMF，DE＝BF，∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．∴AF＝CE.∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.∠DEM＝∠BFM，在△DEM和△BFM中，∠DME＝∠BMF，DE＝BF，∴△DEM≌△BFM(AAS)．∴MD＝MB.一、选择题(432分)

周周练(1.1～1.2)(时间：45分钟满分：100分)在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A(C)第23页共175页A．70° B．55° C．50° D．40°若△ABC，A．∠A＝2∠B＝3∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A＝∠B＋∠CD．∠A＋∠B＝∠CA．a2＝b2，a＝bB．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．对顶角相等如，△ABC，AB＝AC，D是BC中，下列结论中不正确的A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BD5．(2017·平顶山市宝丰县期中)若等边三角形的一条高为3，其边长为(A)A．2 B．1 C．3 D．46．(2017·中P是BC，AP(D)A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．77．(2017·在△ABC，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边ABBE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(D)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个在Rt△ABE延长BE到使分别过点作两线相交于点D，连接AD.若AB＝3，DC＝4，则AD(C)B．7 C．5 2 D．无法确定二、填空题(每小题4分，共24分)第24页共175页在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件答案不唯一，如：BC＝FE．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于6060°，180°，这与三角形内角和定理相矛盾．在△ABC中已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3．3，坡面线段距离AB5，7米．，△ABC和△DCE4B，C，EBD，BD的长为4 3．，点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(8，0)，若点Py轴上，且△PAB，则点P的坐标为(0，4)或(0，－4)．三、解答题(共44分)15．(8分)(2017·，在△ABC和△DCB，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，ACBD相交于点O.求证：△ABC≌△DCB；△OBC是何种三角形？证明你的结论．解：(1)证明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，∴△ABC和△DCB都为直角三角形．AC＝DB，Rt△ABC和Rt△DCB中，BC＝CB，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．(2)△OBC是等腰三角形．证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC.∴OB＝OC.∴△OBC是等腰三角形．16．(10分)(2017·)，∠A＝∠B，AE＝BE，点DAC，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；第25页共175页(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．解：(1)和BD相交于点O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.∴∠1＝∠BEO.∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.17．(12分，A，B，C，D(B，C外，公共已知各城镇间公共汽车票价如下：为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价．解：AD为16，AB为20，BD为12，∵122＋162＝202，∴∠ADB＝90°.∵AC＝25，AD＝16，CD＝9，即AC＝AD＋DC，∴A，D，C，又∵BD＝12，DC＝9，∴BC＝122＋92＝15.故B，C之间的公共汽车票价为15元．18．(14分)在等边△ABC，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点OD∥AB，OE∥AC.(1)求证：△ODE是等边三角形；线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；，)第26页共175页解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形．BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD＝∠BOD.∴DB＝DO.同理，EC＝EO.由(1)知，△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.，如：①连接AO，并延长交BC于点求证：△ABF是直角三角形；②若等边△ABC1，求BC边上的高．第27页共175页基础题

1.3 线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理知识点1 线段的垂直平分线的性质直线CD是线段AB，P为直线CD，已知线段cm，则线段PB的长为(D)cm B．5cmC．4cm D．3cm，AB是CD若AC＝2.3cm，BD＝1.6cm，则四边形ACBD(B)A．3.9cm B．7.8cmC．4cm D．4.6cm在四边形ABCD，AC垂直平分垂足为E，(C)A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC4．(2017·西安期如图所，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(B)A．50° B．100°C．120° D．130°在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE6．Rt△ABC，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.第28页共175页又∵∠AED＋∠EAB＝90°，∴∠CAB＝∠AED.知识点2 线段的垂直平分线的判定A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CDD．CD平分∠ACB，D是△ABC的边BCBD＝BC＋AC，则点C在线段AD的垂直平分线上．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABCACD.DAB上．证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°－30°＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD 1 ABC＝30°.＝2∠∴∠A＝∠ABD.∴DA＝DB.∴点D在AB的垂直平分线上．中档题平面直角坐标系已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点，在线段AB的垂直平分线上的点A．(0，2) B．(－3，1)C．(1，2) D．(1，0)PEABEA＝EBPE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PAB的垂直(C)A．1个 B．2个C．3个 D．4个在Rt△ABC分别以

1为圆心，大于2AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，(1)∠ADE＝90°；(2)AE＝EC；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝7．第29页共175页于点BC的平分线交AD于点OC.若∠AOC＝125°，则∠ABC＝70°．Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BCD，ABADB点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．15．(2017·朝阳市建平县期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE

7的长为6．在△ABCBC是BD垂直平分线与AB交AC于E在AF的垂直平分线上．是BD，∴EB＝ED.∴∠B＝∠D.又∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．综合题在△ABC的垂直平分线交AB于点BC求∠NMB的大小；如果将(1)70°，，再求∠NMB的大小；你发现了什么样的规律？试证明；将(1)，对这个问题的规律性认识是否需要修改．第30页共175页解：(1)∵∠B 1 °－∠A)＝70°，＝2(180∴∠NMB＝90°－∠B＝20°.(2)同理得∠NMB＝35°.发现的规律是1 A.＝2∠证明：设则有1 °－α)．＝2(1801 1∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－2(180°－α)＝2α1＝2∠A.∠A改为钝角，∠NMB 1 A这个规律仍成立．上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边＝2∠的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．第2课时三角形三边的垂直平分线基础题知识点1 三角形三边的垂直平分线的性质1．三角形纸片ABC上有一点P，量得cm，PB＝3cm，则点P一(D)A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上2．(2017·郑州期末)在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点如若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数A．20° B．40° C．50° D．60°△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC且，O为△ABC点O到顶点A5cm，则AO＋BO＋CO＝15_cm．在△ABC，∠B＝32°，∠C＝48°，ABAC的垂直平分线分别交BCD，E，BC＝6cm，请计算出∠DAE的周长．第31页共175页解：∵AB和AC的垂直平分线交BC于点D，E，∴BD＝AD，CE＝AE.∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6cm.知识点2 作图，能作(A)A．1条 B．2条C．3条 D．无数条(D)过点P作线段AB的中垂线在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝AC过直线a和直线b外一点P作直线MN∥a∥b过点P作直线AB的垂线已知线段使且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，则△ABC(C)A．① B．② C．③ D．④准备在某镇新建一个医疗点P到该镇A村所属的村请你用尺规作图的方法确定点P，保留作图痕迹．求作：作一点P，使点P即为所求的点．中档题到三点A，B，C(D)只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则A．点P在三角形内点P在三角形外第32页共175页点P在三角形底边上点P的位置与三角形的边长有关13．(2017·西安期中)如图，已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，∠BAC＝80°，则∠BOC＝160°.在△ABC中分别是在BC则∠EAM＝28°．，B，CA，这就需要A，B，C管道，，AD垂直BC于点D；在，OA＝OB＝OC.，已知△ABC恰好是一个边长为a，，你认为最好的铺设方案是方案③．已知线段a，b，使高为a，腰长为b(a＜b，解：作法：(1)作线段AD＝a；过点D作直线MN⊥AD于点D；以点A，bMN于B，C两点连接AB，AC，△ABC，如图所示．在△ABC，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB两点，DM与EN相交于点F.(1)若△CMN15AB的长；(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN.∴△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15cm，∴AB＝15cm.(2)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.第33页共175页∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°.∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.综合题ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，BC，CD使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为(B)A．130° B．120° D．100°A关于BC和CDBC于点CD于点A′A″周长的最小值．基础题知识点1 角平分线的性质

1．4 角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理1．(2017·台州)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(A)A．2 B．3 C. 3 D．42．，OP是∠MONE，F，G分别在射线OM，ON，OP，则可以解释定理“角平分线(D)3．(2016·怀化如，OP为∠AOB的平分，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是则下列结论错误的(B)A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD，∠AOC＝∠BOC，POC，PD⊥OAD，PE⊥OBE.OD＝8，OP＝10，PE的长为(B)A．5 B．6 C．7 D．8第34页共175页，OP于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PQ(B)A．1 B．2 C．3 D．46．(2017·在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝5，AC＝4，则D点到AB3．Rt△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)DE的长；(2)求△ADB的面积．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD.又∵CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.∴S ＝1 1

10×3＝15.△ADB(或S

2AB·DE＝2×＝1 1

(8－3)×6＝15.)△ADB

2BD·AC＝2×知识点2 角平分线的判定，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为(A)A．30° B．40° C．50° D．60°，P是∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点求证：(1)PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上．第35页共175页证明：(1)连接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°.又∵AE＝AF，AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)．∴PE＝PF.(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴点P在∠BAC的平分线上．中档题，∠AOB到∠AOB(A)A．M点 B．N点 点 D．Q点在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于(C)3cm B．2cm C．3cm D．4cm12．(2017·)，△ABC中，AB＝AC，AD，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，上任一点到上任一点到(D)A．仅①② B．仅③④C．仅①②③ D．①②③④13．(2017·)，P是∠AOB垂足为D，PC∥OBOAC.若∠AOB＝30°，PD＝2cm，则PC＝4cm.四边形ABCD中为BCAM平分∠ADC.(1)求证：AM⊥DM；(2)BC＝8，求点M到AD的距离．第36页共175页解：(1)证明：∵AM平分∠BAD，OM平分∠ADC，∴∠MAD＝1∠BAD，∠ADM 1

ADC.2∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.

＝2∠∴∠MAD＋∠ADM 1∠BAD＋∠ADC)＝90°.＝2(又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°，∴∠AMD＝90°.∴AM⊥DM.(2)过M作MN⊥AD于点N.∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝90°.即BM⊥AB，MC⊥DC.又∵AM，DM分别平分∠BAD，∠ADC，∴BM＝MN，MN＝MC.∴MN 1 ＝4.＝2BC∴M到AD4.，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．解：(1)证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.又∵∠EOB＝∠DOC，∴∠ABD＝∠ACE.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(2)点O在∠BAC的平分线上．理由：∵∠BOE＝∠COD，∠BOE＋∠EBO＝90°，∠COD＋∠DCO＝90°，∴∠EBO＝∠DCO.又∵∠BEO＝∠CDO＝90°，OB＝OC，∴△BOE≌△COD(AAS)．∴OE＝OD.第37页共175页又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴点O在∠BAC的平分线上．综合题16．(2017·西安交大二附中期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝6，若点P是AD且作PN⊥AC于点则PN＋PC

3 2．的最小值是2第2课时三角形三个内角的平分线基础题知识点三角形的角平分线的性质1．(2017·西安交大二附中期)与三角形三边距离相等的，是这个三角形A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点，△ABC的三边AB，BC，CA20，30，40，SS S S S △ABO △BCO △CAOA．1∶1∶1 B．1∶2∶3C．2∶3∶4 D．3∶4∶53．(2017·郑州月考)如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，(C)△ABC三条中线的交点△ABC三边的中垂线的交点△ABC三条角平分线的交点△ABC三条高所在直线的交点点O在△ABC内，60°.中档题在△ABC中分别是∠ABC和∠ACB且相交于点则下列说法错误的是(D)A．BF＝CF B．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BD D．点F到点A，B，C三点的距离相第38页共175页6．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．一处 B．二处 C．三处 D．四处如在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90 1 BAC.°＋2∠证明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，∴点P是△ABC三个内角平分线的交点．∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC.∴∠PCB＝1∠ACB，∠PBC 1

ABC.2 ＝2∠∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC＝180 1 ACB 1 ABC°－2∠ －2∠＝180 1∠ACB＋∠ABC)°－2(＝180 1 °－∠BAC)°－2(180＝90 1 BAC.°＋2∠综合题Rt△ABC，∠C＝90°，BD是Rt△ABC，点O，E，FBD，BC，AC，且四边形OECF是正方形．求证：点O在∠BAC的平分线上；AC＝5，BC＝12，OE的长．解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M.∵四边形OECF为正方形，∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.∵BD是∠ABC的平分线，∴OE＝OM.∴OM＝OF.第39页共175页∴AO即点O在∠BAC的平分线上．(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13.易证：BE＝BM，AM＝AF.∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，且CE＝CF＝OE，∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.∵BM＋AM＝AB，即BE＋AF＝13，∴12－OE＋5－OE＝13.解得OE＝2.章末复习一) 三角形的证明基础题知识点1 三角形全等1．，△ABC≌△BAD，A和B，CD是对应顶点．如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于(A)A．4 B．6C．5 D．无法确定2．(2017·)B，F，C，EFB＝CE，AC∥DF，∠D(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEF.知识点2 等腰三角形3．(2016·赤峰等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别A．30°，60° B．45°，45°C．45°，90° D．20°，70°在△ABC中，AB＝AC，DBC，∠BAD＝35°，则∠C55°．，△ABC，BDE在BCCE＝1，∠E＝30°，DC＝1．知识点3 直角三角形，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D，∠C＝55°，则∠ABC(D)A．35° B．55° C．60° D．70°第40页共175页如在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长(D)A. 3－1 B. 3＋1C. 5－1 D. 5＋1BCDABC，且BEBCCBEH知识点4 线段的垂直平分线和角平分线Rt△ABC的垂直平分线交BC于点AD，则△ACD(A)A．7 B．8 C．9 D．10在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD是△ABCCD＝2，则△ABD8．在△ABC中，BD是∠ABC，EFBD.求证：∠ABD＝∠BDF.证明：∵EF垂直平分BD，∴FB＝FD.∴∠FBD＝∠BDF.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD.∴∠ABD＝∠BDF.中档题在△ABC，∠B＝∠C，与△ABC那么在△ABC100的角是(A)A．∠A B．∠BC．∠C D．∠B或∠C在单位正方形组成的网格图中标有段是(B)第41页共175页A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．AB，CD，GH14．(2016·)在△ABC为BC与∠ACE的平分线相交于点D，(A)A．15° B．17.5°C．20° D．22.5°在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，DBCB，C)AD的长为正整数，则点D(C)A．5个 B．4个C．3个 D．2个如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠CBD＝30°，∠BCD＝45°.若AB＝2 2，则四边ABCD的面积为6＋2 3．在四边形ABCD为CD连接延长AE交BC的延长线于求证：FC＝AD；证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴FC＝AD.∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，AD＝FC.又∵BE⊥AE，第42页共175页∴BE是线段AF的垂直平分线．∴AB＝BF＝BC＋FC.∵AD＝FC，∴AB＝BC＋AD.综合题在△ABC，AD且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥ACF.(1)求证：AB＝AC；(2)若DC＝4，∠DAC＝30°，求AD的长．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝8，AD＝AC2－DC2＝82－42＝4 3.第43页共175页北师大版八年级下册数学第二章一元一次不等式与一元一次不等式组同步课时练习题2．1 不等关系基础题知识点1 不等式的意义1．(2017·453045x辆30座y辆，则不等式“45x＋30y≥500(A)500人B．500人C．两种客车总的载客量不足500人D．5002．有下列数学表达式：①3<0；②4x＋5>0；③x＝3；④x2＋x；⑤x≠－4；⑥x＋2>x＋1.其中是不等式的有4个．知识点2 列不等式某电梯标明“载客不超过13人”，若载客人数为x，x为自然则“载客不超过13人”用不等式表示A．x＜13 B．x＞13C．x≤13 D．x≥1313.52表示汽车的宽度满足的关系为l≤3．用适当符号表示下列关系：x解：|x|≥0.

限制高度 限制宽图1 图2a3倍与

1的5的和不大于3；解：3a 1≤3.＋5bx175解：x＋17<5x.中档题小新买了一罐八宝看到外包装标明：净含量为330±10g，那么这罐八宝粥的净含量x的范围A．320＜x＜340 B．320≤x＜340C．320＜x≤340 D．320≤x≤340102”可表示为10”可表1示为x＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2＋b2＞0.其中正确的个数是(C)B．2C．3 D．4点A点B点C在线段AB点C表示的数为a≤2．20道题10，590分设她答对了n道题，则根据题意可列不等式为10n－5(20－n)＞90．第44页共175页综合题请设计不同的实际背景来表示下列不等式：(1)x>y；(2)2.0≤x≤2.6；(3)3a＋4b≤560.解：答案不唯一，如：八年级(1)其中男生x，女生y人．某班级男生立定跳远成绩x2.02.6米之间．34560元其中长裤单价a元上衣单价b元．不等式的基本性质基础题知识点1 不等式的基本性质1．若a<b，(B)A．－3a<－3b B．a－3<b－3C．a＋c>b＋c D．2a>2b2．(2017·成都期末)若x>y，则下列式子中错误的是(D)A．x－3>y－3

xyB.3>3C．x＋3>y＋3 D．－3x>－3y3．(2017·株洲已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的A．a＞b B．a＋2＞b＋2C．－a＜－b D．2a＞3b(C)A．a＋c＞b＋c，ac2＞bc2ac2＞bc2，a＞b由不等式a＞b得到am＜bm的条件是m＜0.6．已知m＜n，下列关于m，n的命题：①6m＞6n；②－3m＜－3n；③m－5＜n－5；④2m＋5＞2n＋5.其中正确命题的序号是③．7．小燕子竟然推导出了0＞5，两边都乘5，得5x＞5y.①两边都减去5x，得0＞5y－5x.②即0＞5(y－x)．③两边都除以(y－x)，得0＞5.④解：错在第④步．∵x＞y，∴y－x＜0.不等式两边同时除以负数(y－x)，不等号应改变方向才能成立．知识点2 将不等式化“x＞a”或“x＜a”的形式8．(2017·太原期中)下列不等式的变形过程中，正确的是(D)A．不等式－2x＞4的两边同时除以－2，得x＞2B．1－x＞31，得x＞2C．不等式4x－2＜3－x移项，得4x＋x＜3－2x xD．不等式3＜1－2去分母，得2x＜6－3x“x>a”或“x<a”的形式．(1)x－5<1； 解：x<6. 解：x>－2.第45页共175页1(3)2x>－3; (4)－5x<－2.解：x>－6. 解：2x>5.中档题若点P(x－2，y－2)在第二象则x与y的关系正确的A．x≥y B．x＞yC．x≤y D．x＜y(C)A．■●▲ B．▲■●C．■▲● D．●▲■若实数a，b，c，(B)A．a－c＞b－c B．a＋c＜b＋cb C．ac＞bc D.a＜b 已知y＜1，则x的取值范围是x＜4．下列变形是怎样得到的？(1)由x＞y 1－3

1－3；，得2x解：两边都除以2

＞2y1 1，得2x＞2y.3

1－3 1－3.2x ＞2y(2)由x＞y 1 －3) 1 －3)；，2(x ＞2(y解：两边都减去3，得x－3＞y－3.2

1 －3) 1 －3)．2(x ＞2(y(3)x＞y，得－x＜－y.3，3－x＜3－y.两边都乘2，得2(3－x)＜2(3－y)．第46页共175页，再解题．已知a＞b，试比较－2018a＋1与－2018b＋1的大小．解：因为a＞b，①所以－2018a＞－2018b.②故－2018a＋1＞－2018b＋1.③问：(1)上述解题过程中，从第②步开始出现错误；错误的原因是什么？请写出正确的解题过程．解：(2)错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变．(3)因为a＞b，所以－2018a＜－2018b.故－2018a＋1＜－2018b＋1.综合题比较大小：(1)如果a－1>b＋2，那么a>b；(2)试比较2a与3a的大小：①当a>0时，2a<3a；②当a＝0时，2a＝3a；③当a<0时，2a>3a；试比较a＋ba的大小；试判断x2－3x＋1与－3x＋1解：(3)b>0，a＋b>a；当b＝0时，a＋b＝a；当b<0时，a＋b<a.(4)∵x2≥0，∴x2－3x＋1≥－3x＋1.不等式的解集基础题知识点1 不等式的解和解集5x≥2x＋9(D)A．5 B．4 C．3 D．2，(C)不等式x＜2的正整数解只有一个－2的一个解不等式－3x＞9的解集是x＞－3不等式x＜10的整数解有无数个3．(2016·安徽不等式x－2≥1的解集是知识点2 用数轴表示不等式的解集，(C)A．x＞－2 B．x＜－2C．x≥－2 D．x≤－2在数轴上表示不等式x－1＜0，(B)第47页共175页将下列不等式的解集分别表示在数轴上：(1)x≤2；解：如图所示：(2)x>－2.解：如图所示：中档题7．(2017·太原期末)若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是(D)如果关于x的不等式，(C)A．a＞0 B．a＜0C．a＝－2 D．a＝29．(2017·西安期中)若关于x的不等式(a＋1)x＞a＋1的解集为x＞1，则a的取值范围是a＞－1．2x≥－9有多少个负整数解？请全部写出来．解：由题得x 9≥－2，所以不等式有4个负整数解：－1，－2，－3，－4.综合题小华在解不等式x＞2x－1于是他有理有据地说：“如果那么x>2x，而x>2x－1的解集是x<0.解：小华前面说明负数是不等式x＞2x－1的解是对，但结论不对．因为解集包含所有的，如x 1 x2＞2x－1的解，但1＞0，所以x<0不是x>2x－1的解集．2

＝2是不等式第48页共175页基础题知识点1 一元一次不等式的概念

一元一次不等式第1课时一元一次不等式的解法1．(2017·西安月考)下列不等式中是一元一次不等式的是(D)1A.2x－y＜1 B．x2＋5x－1≥0C．x＋y2＞3 D．2x＜4－3x21x2－8＞5是关于x，则m的值为(B)2A．0 B．1 C．2 D．3写出一个解集为x＞1x＋2＞3．知识点2 一元一次不等式的解法2x－6＞0(C)A．x＞1 B．x＜－3C．x＞3 D．x＜35．(2017·眉山不等式1

(A)A．x 1

＞2的解集是B．x＜－1C．x

＜－41

D．x＞－1＞－46．不等式3x≤2(x－1)的解集(C)A．x≤－1 C．x≤－2 D．x≥－22＋x2x－17．下列不等式3 > 5 的变形过程：①去分得5(2＋x)>3(2x－1)；②去括得10＋5x>6x－3；③移，得5x－6x>－3－10；④系数化为1，得x>13.其中错误的步骤是(D)A．① B．② C．③ D．④8．(2017·成都月考)不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是(D)x－29．不等式3 ＞1的解集是x＞5．10．(2017·西安期末)不等式3x－1≤2(x＋2)的最大整数解是5．11．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．(1)2(x＋3)－4>0；解：去括号，得2x＋6－4＞0.合并同类项，得2x＋2＞0.移项，得2x＞－2.1，得x＞－1.这个不等式的解集在数轴上表示为：第49页共175页1＋x(2) 3 ＜x－1.解：去分母，得1＋x＜3x－3.移项x－3x＜－3－1.，1，得x＞2.将解集在数轴上表示为：中档题12．(2017·遵义)不等式6－4x≥3x－8的非负整数解为(B)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个a a b 1 阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝ad－bc，例如 ＝1×4－2×3c d＝－2.2 则(A)

c d 2 41 x A．x＞1 B．x＜－1C．x＞3 D．x＜－3k

11 2 5k－1≥9时代数3(k－1)的值不小于代数式1－6 的值．并把它们的解集分别表示在数轴上：3x－1(1)2x－1＞2 ；解：去分母，得4x－2＞3x－1.移项，得4x－3x＞2－1.合并同类项，得x＞1.将不等式的解集在数轴上表示为：1 2 1(2)2x－1≤3x－2；解：去分母，得3x－6≤4x－3.移项，得－x≤3.1，得x≥－3.这个不等式的解集在数轴上表示为：2x－1 3x＋2(3) 3 ≤4 －1.解：去分母，得4(2x－1)≤3(3x＋2)－12.得移项8x－9x≤4＋6－12.，得－x≤－2.1，得x≥2.第50页共175页16．(1)解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7；(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．解：(1)去括号，得5x－10＋8<6x－6＋7.1，得x>－3.(2)由(1)得，最小整数解为x＝－2，由题意，得2×(－2)－a×(－2)＝3，解得a 7＝2.综合题17．请你与小明、小华一起研究：小明在学习时，遇到以下两题，被难住了，于是就和小华一起研究起来．不等式a(x－1)>x＋1－2a的解集是x<－1，请确定a的值；4x－3a>－12(x－1)＋3>5请确定a解：(1)不等式a(x－1)>x＋1－2a(a－1)x>1－a.∵原不等式的解集为x<－1，∴a－1<0，即a<1.(2)解不等式2(x－1)＋3>5，得x>2.3a－1解不等式4x－3a>－1，得x> 4 .∵两个不等式的解集相同，3a－1∴4 ＝2.解得a＝3.第2课时一元一次不等式的应用基础题知识点一元一次不等式的应用45，30，直到他至少有300元．设x月后他至少有300元则符合题意的不等式A．30x－45≥300 B．30x＋45≥300C．30x－45≤300