初等数学研究(六)初等几何基础课件

第六讲

初等几何基础(一)1第六讲

初等几何基础(一)1二、初等几何的内容体系①.初等几何研究的内容②.初等几何研究的方法③.初等几何的内容体系④.初等几何研究问题的主要类型§1.初等几何简介一、初等几何的研究对象2二、初等几何的内容体系§1.初等几何简介2三、学习初等几何的重要性1.培养人的逻辑思维能力2.逻辑能力的培养不能被数学的其他科目完全取代3.学习初等几何可发展人的空间想象能力和识图能力4.学习初等几何有助于在生活现实中独立自主，提高动手能力，更是继续学习的基础5.你认为学习初等几何还有哪些重要性？(讨论题)3三、学习初等几何的重要性1.培养人的逻辑思维能力31.几何发展大约经过四个阶段(1)实验几何(大约公元前七世纪前)(2)初步推理几何(大约公元前四世纪前)(3)解析几何的产生与发展(4)现代几何的发展2.欧几里得《几何原本》中的不足3.欧几里得不可磨灭的贡献(1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料整理成了系统严明的读本(2)《原本》是人类历史上的一部杰作(3)两千年来，人类对初等几何的研究仍以《原本》为依据(4)欧几里得成了“几何”的代名词欧几里德(前330～前260)毕达哥拉斯(约前580～约前500)四、初等几何学发展简史41.几何发展大约经过四个阶段欧几里德(前330～前260)毕约前486～前376

5约前486～前37654.《几何原本》译成中文简介(1)明万历年间(明万历三十五年(1607))徐光启(1562－1633)与意大利传教士利玛窦(R·Matte1552-1610)首次合译前6卷[“几何学”一词由徐光启引入]；(2)清人李善兰(1810－1882)与英人伟烈亚力(W·Lexanbler1805-1887)于1852-1856年合译后9卷。5.公理化方法

从尽可能少的无定义的原始概念和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用逻辑的法则，把一门数学建成为演绎系统的方法。徐光启(1562-1633)李善兰(1810－1882)64.《几何原本》译成中文简介5.公理化方法徐光启(1562-《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。定义(1)点是没有部分的。(2)线是只有长度而没有宽度的。(3)线的界限是点。(4)直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。(5)面是只有长度和宽度的。(6)面的界限是线。(7)平面是这样的面，它对于它的所有直线有同样的位置。(8)平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度(9)当形成一角度的两线是一直线的时候，那角度成为平角。……(23)平行线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交的直线。7《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。第6.希尔伯特的公理体系希尔伯特(1862～1943)86.希尔伯特的公理体系希尔伯特(1862～1943)8§2.几何证明概述一、现行中学几何教材的逻辑结构特征1.扩大公理系统，删减繁杂内容，适应中学生接受2.利用图形直观降低几何学习入门难度二、几何证明的要求和特点1.充分利用一般数学证明的方法、思路、技巧2.严格规范证题的基本要求3.作一般图形，尽量避免将特殊图形的某些直观特征引入几何证题4.作图准确，帮助启发探索证题思路9§2.几何证明概述一、现行中学几何教材的逻辑结构特征二、几何三、几何证题的步骤1审题：2.寻求思路：3.选择证法：4.叙述证明：EBACDFHGMPQK四、几何证题的基本思路1.如何选择适当的定理2.怎样创造条件用好选用的定理3.定理选择的多样性和特殊性4.引用定理的相关性和灵活性10三、几何证题的步骤1审题：2.寻求思路：EBACDFHGMP§3.几何证明的一般方法1.直接证法(1)叠合法(2)合一法2.间接证法(1)反证法：①归谬法②穷举法(2)同一法

证明方法小结：一、直接证法与间接证法11§3.几何证明的一般方法1.直接证法证明方法小结：一☆

二、综合法与分析法1.综合法(由因导果)

从题设的已知出发，通过逻辑推理，导出所给命题的结论，即“由因导果”的思维方法。AC1C2C3D1D3D2D4D5B

12☆二、综合法与分析法1.综合法(由因导果)AC1C2C3D2.分析法(执果索因)

是指从待证的结论出发，寻找结论成立的充分条件，如此逐步往追溯，一直到已知条件为止，即“执果索因”的方法。AC1C2C3C4C5D1D2D3B132.分析法(执果索因)AC1C2C3C4C5D1D2D3B1三、演绎法与归纳法1.演绎法(三段论法)

是由演绎推理组成的证明方法，要求演绎推理中的三段论的大、小前提都是正确真实的，是一种由一般原理推出特殊事实结论的证明方法。例1.题略证明：同圆半径相等(大前提)OA、OB都是⊙O的半径(小前提)∴OA＝OB(结论)∵线段中点平分线段(大前提)C、D分别是OA、OB的中点(小前提)∴OC＝OA，OD=OB(结论)∵等量的同分量相等(大前提)OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)∴OC＝OD(结论)平时证题我们用简略的三段论。14三、演绎法与归纳法1.演绎法(三段论法)例1.题略平时证题我2.归纳法

是由归纳推理组成的证明方法。归纳法又分为不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。

注意：不完全归纳法有时不太可靠

如：x=1,2,3,……,39时，式子x2+x+41的值都是质数，若就此得出“当x∈N+时，式子x2+x+41的值都是质数”的结论便是错误的。其实当x＝40时，402＋40＋41＝412是合数。152.归纳法(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得(2)完全归纳法－－在研究事物的一切特殊情况(通常只有有限多种)所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。(如圆周角定理的证明)(3)数学归纳法－－在研究事物的一切特殊情况(可数多种，即可用自然数来一一编号种情况)所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。16(2)完全归纳法－－在研究事物的一切特殊情况(通常只有有限多§4.度量关系与位置关系的证明(1)何谓度量关系的证明？(2)何谓位置关系的证明？一、关于两线段(角)相等的证明1.有关证明的主要定理2.证明的一般思考方法(1)(2)(3)(4)①②③(5)(6)3.例题选讲17§4.度量关系与位置关系的证明(1)何谓度量关系的证明？1例2：题略分析：因为a是一条直线，OA⊥a，可联想到连OE、OF.若能证得△OEF为等腰三角形即可。凭经验应连OB、OC，发现只要能证Rt△EBO≌Rt△FCO即可。它有一边OB＝OC，设法再找一组锐角或另一条直角边对应相等。另外还有哪些证明的途径？可分别在O、C、A、F和B、E、A、O共圆的条件下有：∠1＝∠2＝∠3＝∠4

△OEF为等腰三角形或∠1＝∠2＝∠3(及OB＝OC)△EBO≌△FCO，OE＝OF，AE＝AFAEFBCOa341223118例2：题略分析：因为a是一条直线，OA⊥a，可联想到连OE、例3：已知B为线段AC内任一点,分别以AB、BC为边在同一侧作等边三角形ABD和BCE,BD与AE交于F,BE与CD交于G.求证:BF=BG.·

BACDEF··G分析：

要证BF=BG，可在△BFE、△BGC中考虑，它们已有∠1=∠2，BE=BC，若再有∠3=∠4即可。这时可考虑是否有△ABE≌△DBC.这是易证的。1234当然也可由证得△BAF≌△BDG，BF＝BG.同时，此题可改造成求证：FG∥AC，或△BFG为正三角形等。上述问题可供大家课后研究。19例3：已知B为线段AC内任一点,分别以AB、BC为边在同一二、关于线段(角)的和、差、倍、分的证明1.有关证明的重要定理2.关于证明的一般思考方法［通常有“截长”、“补短”、“加倍”、“减半”、“n倍”、“1/n”等。］20二、关于线段(角)的和、差、倍、分的证明20ABC·PD3.例题选讲例4.已知P是正△ABC外接圆BC弧上任一点.求证：PA=PB+PC.

这是一个传统的题目，不少教材都有这个例子。

不少书上通常使用截长法、补短法，我们也可从不同的地方截长或补短。这样可有8种不同的方法。此外，在△PAB，△PAC中用余弦定理，或正弦定理()，或托勒密定理(最简)等可解本题。21ABC·D3.例题选讲这是一个传统的题目，不少教材都有这三、关于线段(角)不等的证明1.有关证明的重要定理2.关于证明的一般方法思考3.例题选讲例5.已知在△ABC中AB＝AC，P是△ABC内一点，且∠APB＞∠APC.求证：PB＜PC.ABCPP′小大本题的结论也可改为求证：∠BAP<∠CAP大小22三、关于线段(角)不等的证明1.有关证明的重要定理3.例题选

例6.若AD为△ABC的角平分线，过A、D的圆切BC于D，且与AB、AC分别相交于E、F.试证：EF∥BCABCDEF3124分析：本例思路：要证：EF∥BC(连ED)只要证得∠3＝∠4即可。由图易知：∠3＝∠1＝∠2＝∠4四、关于平行线的证明23例6.若AD为△ABC的角平分线，过A、D的圆切BC于D五、关于垂直直线的证明1.有关证明的重要定理2.有关证明的一般方法3.例题选讲

例7.以△ABC的边AB和AC为一边向外分别作正方形ABDE和工ACFG，试证：BC的中线AM与EG垂直。EBACFDGM24五、关于垂直直线的证明1.有关证明的重要定理例7.以△例8.设BD、CE为△ABC的两条高线，若M为ED的中点，N为BC的中点，试证NM⊥DE.ABCDEMN证法1.连接ND、NE，∵BN＝NC，∠BDC＝90°，∠BDC＝90°∴ND＝BC=NE.又∵DM＝ME，∴NM⊥DE。证法2.∵∠BDC＝∠BEC＝90°，∴B、C、D、E四点共圆，且BC为圆的直径。∵BN＝NC，∴N为圆心。∵M为弦DE的中点，∴NM⊥DE。25例8.设BD、CE为△ABC的两条高线，若M为ED的中点，第六讲

初等几何基础(一)26第六讲

初等几何基础(一)1二、初等几何的内容体系①.初等几何研究的内容②.初等几何研究的方法③.初等几何的内容体系④.初等几何研究问题的主要类型§1.初等几何简介一、初等几何的研究对象27二、初等几何的内容体系§1.初等几何简介2三、学习初等几何的重要性1.培养人的逻辑思维能力2.逻辑能力的培养不能被数学的其他科目完全取代3.学习初等几何可发展人的空间想象能力和识图能力4.学习初等几何有助于在生活现实中独立自主，提高动手能力，更是继续学习的基础5.你认为学习初等几何还有哪些重要性？(讨论题)28三、学习初等几何的重要性1.培养人的逻辑思维能力31.几何发展大约经过四个阶段(1)实验几何(大约公元前七世纪前)(2)初步推理几何(大约公元前四世纪前)(3)解析几何的产生与发展(4)现代几何的发展2.欧几里得《几何原本》中的不足3.欧几里得不可磨灭的贡献(1)《几何原本》是人类第一次把丰富散漫的几何材料整理成了系统严明的读本(2)《原本》是人类历史上的一部杰作(3)两千年来，人类对初等几何的研究仍以《原本》为依据(4)欧几里得成了“几何”的代名词欧几里德(前330～前260)毕达哥拉斯(约前580～约前500)四、初等几何学发展简史291.几何发展大约经过四个阶段欧几里德(前330～前260)毕约前486～前376

30约前486～前37654.《几何原本》译成中文简介(1)明万历年间(明万历三十五年(1607))徐光启(1562－1633)与意大利传教士利玛窦(R·Matte1552-1610)首次合译前6卷[“几何学”一词由徐光启引入]；(2)清人李善兰(1810－1882)与英人伟烈亚力(W·Lexanbler1805-1887)于1852-1856年合译后9卷。5.公理化方法

从尽可能少的无定义的原始概念和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用逻辑的法则，把一门数学建成为演绎系统的方法。徐光启(1562-1633)李善兰(1810－1882)314.《几何原本》译成中文简介5.公理化方法徐光启(1562-《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。第一卷以23个定义、5个公设和5个公理开始的。定义(1)点是没有部分的。(2)线是只有长度而没有宽度的。(3)线的界限是点。(4)直线是这样的线，它对于它的所有各个点都有同样的位置。(5)面是只有长度和宽度的。(6)面的界限是线。(7)平面是这样的面，它对于它的所有直线有同样的位置。(8)平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相互的倾斜度(9)当形成一角度的两线是一直线的时候，那角度成为平角。……(23)平行线是在同一平面上而且尽管向两侧延长也决不相交的直线。32《几何原本》的每一卷都以一些概念的定、公设、和公理为基础。第6.希尔伯特的公理体系希尔伯特(1862～1943)336.希尔伯特的公理体系希尔伯特(1862～1943)8§2.几何证明概述一、现行中学几何教材的逻辑结构特征1.扩大公理系统，删减繁杂内容，适应中学生接受2.利用图形直观降低几何学习入门难度二、几何证明的要求和特点1.充分利用一般数学证明的方法、思路、技巧2.严格规范证题的基本要求3.作一般图形，尽量避免将特殊图形的某些直观特征引入几何证题4.作图准确，帮助启发探索证题思路34§2.几何证明概述一、现行中学几何教材的逻辑结构特征二、几何三、几何证题的步骤1审题：2.寻求思路：3.选择证法：4.叙述证明：EBACDFHGMPQK四、几何证题的基本思路1.如何选择适当的定理2.怎样创造条件用好选用的定理3.定理选择的多样性和特殊性4.引用定理的相关性和灵活性35三、几何证题的步骤1审题：2.寻求思路：EBACDFHGMP§3.几何证明的一般方法1.直接证法(1)叠合法(2)合一法2.间接证法(1)反证法：①归谬法②穷举法(2)同一法

证明方法小结：一、直接证法与间接证法36§3.几何证明的一般方法1.直接证法证明方法小结：一☆

二、综合法与分析法1.综合法(由因导果)

从题设的已知出发，通过逻辑推理，导出所给命题的结论，即“由因导果”的思维方法。AC1C2C3D1D3D2D4D5B

37☆二、综合法与分析法1.综合法(由因导果)AC1C2C3D2.分析法(执果索因)

是指从待证的结论出发，寻找结论成立的充分条件，如此逐步往追溯，一直到已知条件为止，即“执果索因”的方法。AC1C2C3C4C5D1D2D3B382.分析法(执果索因)AC1C2C3C4C5D1D2D3B1三、演绎法与归纳法1.演绎法(三段论法)

是由演绎推理组成的证明方法，要求演绎推理中的三段论的大、小前提都是正确真实的，是一种由一般原理推出特殊事实结论的证明方法。例1.题略证明：同圆半径相等(大前提)OA、OB都是⊙O的半径(小前提)∴OA＝OB(结论)∵线段中点平分线段(大前提)C、D分别是OA、OB的中点(小前提)∴OC＝OA，OD=OB(结论)∵等量的同分量相等(大前提)OC、OD是等量OA＝OB的同分量(小前提)∴OC＝OD(结论)平时证题我们用简略的三段论。39三、演绎法与归纳法1.演绎法(三段论法)例1.题略平时证题我2.归纳法

是由归纳推理组成的证明方法。归纳法又分为不完全归纳法、完全归纳法和数学归纳法。(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。

注意：不完全归纳法有时不太可靠

如：x=1,2,3,……,39时，式子x2+x+41的值都是质数，若就此得出“当x∈N+时，式子x2+x+41的值都是质数”的结论便是错误的。其实当x＝40时，402＋40＋41＝412是合数。402.归纳法(1)不完全归纳法－－在研究事物的某些特殊情况所得(2)完全归纳法－－在研究事物的一切特殊情况(通常只有有限多种)所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。(如圆周角定理的证明)(3)数学归纳法－－在研究事物的一切特殊情况(可数多种，即可用自然数来一一编号种情况)所得到的共同属性的基础上，作出一般性结论的推理方法。41(2)完全归纳法－－在研究事物的一切特殊情况(通常只有有限多§4.度量关系与位置关系的证明(1)何谓度量关系的证明？(2)何谓位置关系的证明？一、关于两线段(角)相等的证明1.有关证明的主要定理2.证明的一般思考方法(1)(2)(3)(4)①②③(5)(6)3.例题选讲42§4.度量关系与位置关系的证明(1)何谓度量关系的证明？1例2：题略分析：因为a是一条直线，OA⊥a，可联想到连OE、OF.若能证得△OEF为等腰三角形即可。凭经验应连OB、OC，发现只要能证Rt△EBO≌Rt△FCO即可。它有一边OB＝OC，设法再找一组锐角或另一条直角边对应相等。另外还有哪些证明的途径？可分别在O、C、A、F和B、E、A、O共圆的条件下有：∠1＝∠2＝∠3＝∠4

△OEF为等腰三角形或∠1＝∠2＝∠3(及OB＝OC)△EBO≌△FCO，OE＝OF，AE＝AFAEFBCOa341223143例2：题略分析：因为a是一条直线，OA⊥a，可联想到连OE、例3：已知B为线段AC内任一点,分别以AB、BC为边在同一侧作等边三角形ABD和BCE,BD与AE交于F,BE与CD交于G.求证:BF=BG.·

BACDEF··G分析：

要证BF=BG，可在△BFE、△BGC中考虑，它们已有∠1=∠2，BE=BC，若再有∠3=∠4即可。这时可考虑是否有△ABE≌△DBC.这是易证的。1234当然也可由证得△BAF≌△BDG，BF＝BG.同时，此题可改造成求证：FG∥AC，或△BFG为正三角形等。上述问题可供大家课后研究。44例3：已知B为线段AC内任一点,分别以AB、BC为边在同一二、关于线段(角)的和、差、倍、分的证明1.有关证明的重要定理2.关于证明的一般思考方法［通常有“截长”、“补短”、“加倍”、“减半”、“n倍”、“1/n”等。］45二、关于线段(角)的和、差、倍、分的证明20ABC·PD3.例题选讲例4.已知P是