导数解答题专练六 有解问题 学案- 高三数学二轮复习专题

高考导数解答题专练六（有解问题）在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为(2)若可导函数在处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立(5)函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，则;若，恒成立，则若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D若D恒成立则有(10)若对、，恒成立，则.若对，，使得,则.若对，，使得，则.（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①②③1．已知函数，其中a≥0（1）当时，求函数的最值；（2）若存在唯一整数，使得f(x0)≤2．已知函数．（1）当时，判断函数在区间内极值点的个数；（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解．3．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数．．（1）若函数为，上的凸函数，求的取值范围；（2）若方程在，上有且仅有一个实数解，求的取值范围．4．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若是函数的极值点，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．5．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值．6．已知函数．（1）设曲线在处的切线方程为，求证：f(x)≥g(x)；（2）若方程有两个根，，求证：．7．已知函数的导函数为．（1）当时，求证：；（2）若只有一个零点，求的取值范围．8．已知函数，，，．（1）当时，求证：f(x)≥0（2）若函数有两个零点，求的取值范围．9．已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．10．已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围．11．已知实数，设函数，．（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围．12．已知函数和．（Ⅰ）若曲线和在处的切线斜率都为，求和；（Ⅱ）若方程在区间，上有解，求的取值范围．13．已知函数，其中，令．（1）求证：当a≤−1时，（2）若函数，是否存在实数，使得在处取得极小值？并说明理由．14．已知函数，．（1）若时，函数有极小值，试确定的取值范围；（2）当时，函数在，上的最大值为，若存在，，使得g(x)≥M成立，求实数的取值范围．高考导数解答题专练六（有解问题）解析1．已知函数，其中a≥0（1）当时，求函数的最值；（2）若存在唯一整数，使得f(x0)≤解：（1）当时，，，且为定义在，，上的偶函数，令，解得，且当，，时，，当，，时，，（1），无最大值；（2）即，令，，作出函数与的大致图象如下，易知恒过点，且，由图象可知，要使存在唯一整数，使得，则，即，解得．故实数的取值范围为．2．已知函数．（1）当时，判断函数在区间内极值点的个数；（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解．解：（1）当时，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以函数在区间内有且仅有1个极值点．（2）方程，即为方程，即为方程，令，，则，又，所以在上恒成立，所以在上单调递减，又因为（1），时，，令，可得，所以，所以存在，，使，即方程在区间上有唯一解．3．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数．．（1）若函数为，上的凸函数，求的取值范围；（2）若方程在，上有且仅有一个实数解，求的取值范围．解：（1），，若为，上的凸函数，则对恒成立，即对恒成立，而在，单调递增，，，解得：，故的取值范围是．（2）由得，令，（1），，当时，对恒成立，在，上单调递增，又（1），在，上有且只有1个实数根，符合题意，当时，令得，，若即时，对恒成立，在，单调递减，在，上有且只有1个实数根，符合题意，若即时，在，递增，在，递减，，，，故存在，，即在，上有2个零点，综上，的取值范围是，，．4．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若是函数的极值点，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．解：（Ⅰ），，，当时，，函数在单调递增，当时，令，解得：，当时，，函数在递增；综上：当时，函数的递增区间是，当时，函数的递增区间是．（Ⅱ），是函数的极值点，（1），解得：，，方程即，设，则，故在递增，在递减，故（1），，，设，则，，故函数在递减，在递增，故（1），又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，故，故实数的取值范围是，．5．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值．解：（1）时，，，，（1），（1），故切线方程是，即；（2），当时，由可得，由得，由，得，①若时，在上单调递增，至多1个零点，不合题意，②若时，函数在上单调递减，在上单调递减，（1），故若函数有2个零点，则，令，，则，在递减，又（2），（3），（4），故存在使得，则的解集是，，综上，的取值范围是，，，故正整数的最小值是4．6．已知函数．（1）设曲线在处的切线方程为，求证：f(x)≥g(x)；（2）若方程有两个根，，求证：．证明：（1），则，故，，故切线方程是：，即，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，即；（2）不妨设，直线与相交于点，又由（1）知：，则，从而，当且仅当，时取“”，下面证明：，由于，故，即证，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（e），即成立，当且仅当，时取“”，由于等号成立的条件不同时满足，故．7．已知函数的导函数为．（1）当时，求证：；（2）若只有一个零点，求的取值范围．解：，（1）证明：当时，，设，则，故在单调递增，在单调递减，又由于，故，由于，故，即；（2）注意到（1），①若，，故在上单调递减，取，则，故存在使得（a），即在上只有1个零点，②若，当时，，而，故，当时，，故，即在上无零点，③当时，，，在上单调递增，设且，当时，，故存在使得（b），即在上只有1个零点，综上：若只有1个零点，，，．8．已知函数，，，．（1）当时，求证：f(x)≥0（2）若函数有两个零点，求的取值范围．解：（1）证明：当时，，则，，因为，，所以，，因此，所以在，上单调递增，于是，因此在，上单调递增，所以．（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，此时函数仅有1个零点，当时，因为，所以，，当，时，，单调递增，当，时，，因为，，所以，所以单调递增，又，，因此在，上存在唯一的零点，且．当时，，所以单调递减，当，时，，所以单调递增，又，，，因此在，上存在唯一的零点，且，，当时，，所以单调递减，当，时，，所以单调递增，又，，，所以在，上存在唯一零点，因此在，上有两个零点，综上，的取值范围是，．9．已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．解：（1）当时，，，因为，，所以曲线在点，处的切线方程为．（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解，当时，方程不成立，所以，令，则与的图象有两个交点，且，令，得或，令，得或，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，当时，取得极小值（1），因为，且当时，，所以的取值范围是．10．已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围．解：（1）依题可得，定义域为，所以．当时，由，得，由，得，则的单调递减区间为，单调递增区间为．当时，由，得，由，得或，则的单调递减区间为，单调递增区间为和．当时，恒成立，则的单调递增区间为．当时，由，得，由，得或，则的单调递减区间为，单调递增区间为和．（2）．方程在有且只有两个解，即关于方程在上有两个不相等的实数根．令，，则．令，，则，因为在上恒成立，故在上单调递增．因为（1），所以当时，有，即，所以单调递减；当，时，有，即，所以单调递增．因为，（1），，所以的取值范围是．11．已知实数，设函数，．（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）若，则，令，令，解得或，令，解得，函数在，单调递增，在单调递减；（Ⅱ）①当时，显然只有一个零点，即方程有唯一实根；②当时，令，则，即有唯一实数解，当时，则，，而，显然无解；当时，若，则，而，显然无解，则，令，则它们的图象有且仅有一个交点，注意到，且在处取得等号，考虑的情况，可得，即直线与函数，分别交于点和，（A）若，则；（B）若，则，时，，则存在唯一交点；（C）若，则（a）（a），，由零点存在性定理可知，存在唯一交点；综上所述，实数的取值范围为，．12．已知函数和．（Ⅰ）若曲线和在处的切线斜率都为，求和；（Ⅱ）若方程在区间，上有解，求的取值范围．解：（Ⅰ）函数的导数为，所以曲线在处的切线的斜率为①，的导数为，所以曲线在处的切线的斜率为②，由①②，解得，；（Ⅱ）方程在区间，上有解，则在区间，上有解，设，则，当时，，递增；当时，，，递减．所以的最大值为（1），所以，所以．令，则，由的导数为，可得在递增，递减，则的最小值为（1），即有恒成立，所以，所以，所以在，递减，在，递增，所以在处取得最小值1，因为与相交有解，．（e），（e），所以（1），所以，所以的取值范围为．13．已知函数，其中，令．（1）求证：当a≤−1时，（2）若函数，是否存在实数，使得在处取得极小值？并说明理由．解：（1）证明：，则，显然，，当时，，在上为增函数，无极值点；（2）存在，使得在处取得极小值．理由如下：，则，显然是的极小值点的必要条件为，解得，此时，显然当时，；当时，，故，令，则，故在上为减函数，故当时，，即，令，则，当时，，故在单调递增，故当时，，即，故当时，，因此，当时，是的极小值点，即充分性也成立．综上，存在，使得在处取得极小值．14．已知函数，．（1）若时，函数有极小值，试确定的取值范围；（2）当时，函数在，上的最大值为，若存在，，使得g(x)≥M成立，求实数的取值范围．解：（1