高三一轮复习、立体几何空间角空间距离求解（原卷版）

③代入公式求解即可。【题型训练】例题1．（2021•兴宁区校级二模）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，∠BAD＝90°，面EAD⊥面ABCD，AB＝AD＝AE＝ED＝DC＝1，M为EB的中点．（1）求证：DM⊥AE；（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．变式训练1．（2021•南岗区校级三模）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BC⊥AB，AB＝2BC＝4CD＝4．（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）若PA＝2，求直线BD与平面PBC成角正弦值．变式训练2．（2021•盘州市一模）如图，圆锥的顶点为S，AB是底面圆O的直径，C是圆O上异于A、B的一点，D是AC的中点，平面SOD∩平面SBC＝l，SO＝OA＝1．（1）求证：l∥BC；（2）若l与AB所成的角为60°，求l与平面SBD所成角的正弦值．变式训练3．（2021•岳麓区校级模拟）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1＝2AB＝2，E是DD1上的一点且．（1）求证：平面A1B1D⊥平面AEC；（2）求直线A1D与平面AEC所成角的正弦值．例题2．（2021•香坊区校级四模）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝1，，E为PA的中点，D为AC的中点，F为棱PB上靠近B的三等分点．（1）证明：BD∥平面CEF．（2）若PA⊥AC，求二面角E﹣CF﹣B的正弦值．变式训练1．（2021•巴中模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AC＝2，∠ABC＝45°，E是棱PC的中点，F是平面ABE与棱PD的交点．（1）证明：平面PBC⊥平面ABE；（2）求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．变式训练2．（2021•海淀区校级模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝1，PA＝AD＝DC＝2，PD＝2．（1）求证：AB⊥PD；（2）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．变式训练3．（2021•海南模拟）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2AA1，点E，F分别是棱AB，BC的中点．（1）证明：C1F∥平面B1D1E；（2）求平面B1D1E与平面C1D1F所成锐二面角的余弦值．例题3．（2021•朝阳区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝BC．（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）求点F到平面PCD的距离．变式训练1．（2021•淮南二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD＝CD＝BC＝2．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）若直线PD与底面ABCD所成的角为60°，求点B到平面PCD的距离．变式训练2．（2021•全国三模）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝1，AD＝AP＝2，AD∥BC，AB⊥AD．（1）求证：CD⊥PC；（2）E为PB中点，求D到平面ACE的距离．变式训练3．（2021•资阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝AA1＝AB＝2．（1）证明：AC1⊥平面A1BC；（2）求点A到平面A1BC1的距离．【巩固练习】1．（2021•揭阳模拟）某直四棱柱被平面AEFG所截几何体如图所示，底面ABCD为菱形．（1）若BG⊥GF，求证：BG⊥平面ACE；（2）若BE＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，直线AF与底面ABCD所成角为30°，求直线GF与平面ABF所成角的正弦值．2．（2021•南关区校级四模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∠ACB＝∠ACD．（1）证明：AC⊥BD；（2）若直线AC与平面BCD所成的角为45°，AC＝1，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．3．（2021•赤峰模拟）如图，三棱锥A﹣BCD中，AD⊥底面