2017名师一号文科-第2章11节3课时

第二章函数、导数及其应用第十一节多维探究专题导数的应用第三课时导数的综合应用T探究·命题热点【例1】

已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2。(1)求a；(2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点。考点一利用导数研究函数的零点或方程的根

(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2。设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4。由题设知1－k>0。当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根。当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)。h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0。所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根。综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点。对应训练1

已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx。(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围。解由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)。(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)。解得a＝0，b＝f(0)＝1。考点二

利用导数研究恒成立问题

【规律·方法】

利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。对应训练2

(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝emx＋x2－mx。(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围。解(1)证明：f′(x)＝m(emx－1)＋2x。若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)>0。若m<0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1>0，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1<0，f′(x)>0。所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增。故g(t)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增。又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故当t∈[－1,1]时，g(t)≤0。当m∈[－1,1]，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；当m>1时，由g(t)的单调性，g(m)>0，即em－m>e－1，不符题意；当m<－1时，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1，不符题意。综上，m的取值范围是[－1,1]。利用导数研究不等式问题主要体现在以下三方面。(1)利用导数研究函数单调性，解不等式；(2)利用导数研究函数单调性，比较大小；(3)利用导数研究函数单调性，证明不等式。考点三利用导数研究不等式问题

发散1：利用导数解不等式【例3】

(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(

)A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)对应训练3

函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是(

)A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0<x<1}解析构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex－1，求导得到g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]。由已知f(x)＋f′(x)>1，可得到g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数；又g(0)＝e0·f(0)－e0－1＝0，所以ex·f(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集为{x|x>0}。答案A发散2：利用导数比较大小【例4】

已知f(x)是可导的函数，且f′(x)<f(x)，对于x∈R恒成立，则(

)A．f(1)<ef(0)，f(2016)>e2016f(0)B．f(1)>ef(0)，f(2016)>e2016f(0)C．f(1)>ef(0)，f(2016)<e2016f(0)D．f(1)<ef(0)，f(2016)<e2016f(0)对应训练4

若0<x1<x2<1，则(

)A．ex2－ex1>lnx2－lnx1 B．ex2－ex1<lnx2－lnx1C．x2ex1>x1ex2 D．x2ex1<x1ex2对应训练5

(2015·福建卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝kx(k∈R)。(1)证明：当x>0时，f(x)<x；(2)证明：当k<1时，存在x0>0，使得对任意的x∈(0，x0)，恒有f(x)>g(x)。【规律·方法】

(1)利用导数解不等式及比较大小，关键是根据题意构造函数，利用导数确定函数单调性，然后解不等式或进行大小比较。(2)利用导数证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性或函数的最值证明函数h(x)>0。其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口。1．对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决。这