高中数学(苏教版选修1-2)活页规范训练：1-2回归分析

1.2回归分析双基达标限时15分钟1．已知线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1＋eq\o(b,\s\up6(^))x，若eq\x\to(x)＝2，eq\x\to(y)＝9，则eq\o(b,\s\up6(^))＝________.解析样本点的中心为(2,9)，因回归直线过样本点的中心，所以9＝1＋eq\o(b,\s\up6(^))×2，eq\o(b,\s\up6(^))＝4.答案42．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使它贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))及其回归系数eq\o(b,\s\up6(^))，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确的序号是____________．解析①是线性回归分析的最小二乘法思想求回归直线方程，正确；②反映了散点图的作用，也正确；③反映回归模型，也正确；④错误，只有具有相关关系的两个变量求得的回归直线才有意义，即必须要进行相关性检验．答案①②③3．已知方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，eq\o(y,\s\up6(^))的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的随机误差是________．答案－0.294．已知对一组观测值(xi，yi)(i＝1,2，…，n)作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，求得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.51，eq\x\to(x)＝61.75，eq\x\to(y)＝38.14，则线性回归方程为______________．解析∵eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝38.14－0.51×61.75＝6.6475≈6.65.∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋6.65.答案eq\o(y,\s\up6(^))＝0.51x＋6.655．若线性回归方程中的回归系数eq\o(b,\s\up6(^))＝0，则相关系数r＝________.解析eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2)，r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up8(n),\s\do8(i＝1))yi－\x\to(y)2))若eq\o(b,\s\up6(^))＝0，则r＝0.答案06．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x的一组数据如下表所示：x/秒510152030405060y/微米610111316171923y与x具有线性相关关系吗？解法一作散点图：由图可知x与y是具有线性相关关系的两个矢量，因为8个点大致分布在一条直线附近．法二由题意，可求得r＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2\i\su(i＝1,8,y)\o\al(2,i)－8\x\to(y)2))≈0.9793.由于r非常接近1，故认为y与x具有较强的线性相关关系．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，且y关于x的回归直线的斜率是eq\o(b,\s\up6(^))，那么eq\o(b,\s\up6(^))与r的符号__________(填写“相同”或“相反”)．解析由eq\o(b,\s\up6(^))与r的计算公式可知，eq\o(b,\s\up6(^))与r同号．答案相同8．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x/℃171382月销售量y/件24334055由表中数据算出线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为__________．解析∵样本点的中心为(10,38)，∴38＝－2×10＋eq\o(a,\s\up6(^)).∴eq\o(a,\s\up6(^))＝58，即eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58.∴当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝46.答案469．一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，任从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下资料eq\i\su(i＝1,10,x)i＝28，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝303.4，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝75，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝598.5，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为____________．解析r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(237－10×2.8×7.5,\r(303.4－10×2.82)·\r(598.5－10×7.52))≈0.3.答案0.310．对具有线性相关关系的变量x、y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋20，若eq\i\su(i＝1,10,x)i＝18，则eq\i\su(i＝1,10,y)i＝____________.解析由于eq\i\su(i＝1,10,x)i＝18，∴eq\x\to(x)＝1.8，回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋20，过(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．∴eq\x\to(y)＝3×1.8＋20＝25.4.∴10eq\x\to(y)＝eq\i\su(i＝1,10,y)i＝254.答案25411．已知某商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753(1)画出y关于x的散点图；(2)若相关，求线性回归方程．参考数据：eq\x\to(x)＝18，eq\x\to(y)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝1660，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝327，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝620，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝53.2解(1)散点图如图：(2)由散点图知，x与y线性相关∵eq\x\to(x)＝18，eq\x\to(y)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝1660，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝327，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝620，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)≈－1.15，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝28,1，eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.12．某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据见下表：x3456789y66697381899091已知：eq\i\su(i＝1,7,)xeq\o\al(2,i)＝280，eq\i\su(i＝1,7,)yeq\o\al(2,i)＝45309，eq\i\su(i＝1,7,)xiyi＝3487，此时r0.05＝0.754.(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y).(2)判断纯利润y与每天销售件数x之间是否线性相关．如果线性相关，求出回归直线方程．解(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1,7)×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)根据已知eq\i\su(i＝1,7,)xeq\o\al(2,i)＝280，eq\i\su(i＝1,7,)yeq\o\al(2,i)＝45309，eq\i\su(i＝1,7,)xiyi＝3487，得相关系数r＝eq\f(3487－7×6×79.86,\r(280－7×6245309－7×79.862))≈0.972.由于0.972>0.754，所以纯利润y与每天销售件数x之间具有显著线性相关关系．利用已知数据可求得回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.13．(创新拓展)测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：父亲身高(x)60626465666768707274儿子身高(y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170(1)对变量y与x进行相关性检验；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．解(1)eq\x\to(x)＝66.8，eq\x\to(y)＝67.01，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝44794，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝44941.93，eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝4476.27，eq\x\to(x)2＝4462.24，eq\x\to(y)2＝4490.34，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝44842.4.所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(44842.4－10×4476.27,\r(44794－44622.444941.93－44903.4))＝eq\f(79.7,\r(6611.748))≈eq\f(79.7,81.31)≈0.9801.又查表得r0.05＝0.632.因为r>r0.05，所以y与x之间具有线性相关关系．(2)设回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).由eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(4