文都考研数学基础班概率统计讲义题目答案总结

13/13文都考研数学基础班概率统计讲义题目答案总结2016年考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率

例题选讲

一、填空题

1、设7.0)(,4.0)(=?=BAPAP，

（1）若BA,不相容，则_______)(=BP；（2）若BA,相互独立，则_______)(=BP。

【解】（1）因为BA,不相容，()P(A)P(B)0.7PAB?=+=,(B)0.3P=

（2）由BA,相互独立知道(AB)P(A)P(B)P=，即0.70.4(B)0.4P(B)P=+-?，得(B)0.5P=.

【解】

3、设两两相互独立的事件CBA,,满足：2

1

)()()(,=?≤?

因为3120

2

()()213

xfxfxdxedx+∞

+∞

--∞

==

≠?

?，所以12()()fxfx不是密度函数.2、设随机变量X的密度函数)(xf为偶函数，其分布函数为)(xF，则[]

)()(xFA为偶函数；1)(2)()(-=-aFaFB；

?

-=-a

dxxfaFC0

)(1)()(；?-=-a

dxxfaFD0

)(21)()(

【解】由()FX的单调不减性，可知A不对；

00

()()()()1()1()

11()()()2tu

a

a

a

a

aa

FaftdtfuduftdtftdtFaftdtftdtftdt

=--+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

-==

-==-=-=--=-??

?

?

?

?

?

所以D正确.

3、设)5,(~),4,(~22μμNYNX，令}5{},4{+≥=-≤=μμYPqXPp，则[]

)(A对任意实数μ都有qp=；)(B对任意实数μ都有qp.【解】{4}P{

1}(1)1(1)4

xu

pPXμ-=≤-=≤-=Φ-=-Φ{5}1{5}1{1}1(1)5

xu

qPYPYPμμ-=≥+=-根据题意，

1

{X4}4.2

Pu>=

?=2、______}1{,9

5

}1{),,3(~),,2(~=≥=≥YPXPpBYpBX则若设.

【解】00

22

5{X1}1{X0}1(1p)9PPCp≥=-==--=得13p=，于是0

03319{Y1}1{Y0}1C(1p)27

PPp≥=-==--=.

三、解答题

1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球2个黑球，第3个盒子有2个红球3个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以X表示红球个数。

（1）写处X的分布律；（2）求红球个数不少于2个的概率。

【解】（1）令kA={任取一盒为(k1,2,3)k=}，则1(A)(k1,2,3)3

k

P==，随机变量X可能的取值有0,1,2,3.

33333512213232223333

551122332112213

2

3

2

4

1

3

3355511

(X0){X0A}P(A),

330

119

(X1){X1A}P(A){X1A}P(A),3330

(X2){X2A}P(A){X1A}P(A){X1A}P(A)11115

,33330

CPPCCCCCPPPCCPPPPCCCCCCCCCP===|=?====|+=|=?+?====|+=|+=|=

?+?+?=33

3411223355115

(X3){X3A}P(A){X3A}P(A),

3330

CCPPCC===|+=|=?+?=

则X的分布律为：

01231915530303030X

???????

(2)1552(X2)30303

P≥=

+=2、设离散型随机变量X的分布函数为????

???≥>=+-其他,00

,0,),()2(yxAeyxfyx，求

（1）常数A；（2）),(YX的分布函数；（3）YXZ2+=的分布函数；（4）}{}12{YXPYXP>=?

?其他，

(x2y)

00

0,0,0,(x,y)P{Xx,Yy}(x,y)2,x0,y0,xy

xyFFdxedy-+≤≤??

=≤≤?=?>>????所以20,

0,0,(x,y)(1e)(1e),0,0,

xy

xyFxy--≤≤?=?-->>?

（3）2(Zz)P{X2Yz}(x,y)dxdy.Zxyz

Ff+≤≤=+≤=??

当0z>时，(x2y)200

(z)21;zxz

zzZFdxedyeze--+--==--??

当0z≤时，(z)0.ZF=

所以1,z0,

(z)0,0.zzZezeFz--?-->=?≤?

（4）1(X2Y1)(1)12e,ZPF-+≤==-

201

(XY)(x,y)dxdy2.3

x

yxxy

Pfedxedy+∞

+∞

--

1P{xy}P{2y},=->>

当2y≥时，{2}0,F(y)1;YPy>==

当2y==->==?-≥?所以0,0,(y)1,

01,1,1.

yYyFeyyλ-=?≤?，

21,0,

(y)0,

0,yYeyFyλ-?->=?

≤?，由分布函数定义可知(z)P{Zz}P{max(X,Y)z}P{Xz,Yz}P{Xz}P{Yz}ZF=≤=≤=≤≤=≤≤

所以12zz

0,

0,(z)(1e)(1e),0,

ZzFzλλ--≤?=?-->?1

212z

z()z1212

0,

0,(z)ee()e,0,Zzfzλλλλλλλλ+≤?=?+-+>?（2）因为12~(),~()XEYEλλ，所以11,0,

(x)0,

0,xXexFxλ-?->=?≤?，

21,0,

(y)0,

0,yYeyFyλ-?->=?

≤?，由分布函数定义可知(z)P{Zz}P{min(X,Y)z}1P{min(X,Y)z}1P{Xz,Yz}ZF=≤=≤=->=->>

1P{Xz}P{Yz}1[1P{Xz}][1P{Yz}]=->>=--≤-≤

当0Z≤时，(z)0ZF=；当0Z>时，12()z(z)1eZFλλ-+=-；

于是12()z

0,

0,(z)1e,0,ZzFzλλ-+≤?=?->?

，所以12()ZEλλ+.

12()z

120,

0,(z)()e

,0,Zzfzλλλλ-+≤?=?+>?第四章随机变量的数字特征

例题选讲

一、填空题

1、设随机变量YX,相互独立，且2,3==DYDX，则______)23(=-YXD。【解】(32)9427835DXYDXDY-=+=+=

2、随机变量)(~λEX，则______}{=>

DXXP。

【解】因为)(~λEX，所以00()10x

xFxe

xλ-≤?=?->?，且21DXλ=,于是

11111

{{}1{}1F()1(1e)PXPXPXeλλλ->=>=-≤=-=--=

。

3、设YX,独立同分布，且都服从)2

1

,0(N，则______||______,||=-=-YXDYXE。

【解】因为11

(0,),(0,),22

XNYNYX,独立，则(0,1)XYN-，令

VXY=-，则

22222

2

2

||||()2vvvtvEVve

dvve

dve

dedt+∞

+∞

+∞

+∞

-

-

-

--∞

=

=

=

==

22||(||)DVEVEV=-，又因为22()1EVDVEV=+=，所以2

||1DVπ

=-

4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为4.0，则

______2=EX。

【解】由题意~(10,0.4)XB，得4,

2.EX

npDX

npq====，于是

22(X)18.4EXDXE=+=

5、设随机变量X的密度为1

22

1

)(-+-=

xx

ex

fπ

，则__________,==DXEX。

【解】因为

2

2

2

(1)

2

21

1

()

x

xx

fxe

-

-

?

-+-

==

，所以

1

~(1,)

2

XN

，于是

1

1,DX

2

EX==

6、设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且1

)]

2

)(

1

[(=

-

-X

X

E，则______

=

λ。【解】由~P()

Xλ得,DX

EXλλ

==，于是222

DX()

EXEXλλ

=+=+。

再有[(1)(2)]1

EXX

--=得2321

EXEX

-+=，即()210

λ-=

，故

1

λ=。

二、解答题

1、设)1(

~E

Y，)2,1

(

,1

,0

=

?

?

?

>

≤

=k

k

Y

k

Y

X

k

，

（1）求

12

(,)

XX的联合分布律；（2）)

(

2

1

X

X

E+。

【解】因为)1(

~E

Y，所以Y的分布函数为

1,0,

0,0,

y

Y

ey

Fy

y

-

?->

?

≤

?

()=

（1）

12

(,)

XX的可能取值为,0,1,0,1

(0),(0),(1）,(1）

1

12

12

12

12

2

12

,0,2;

,1,20;

,0,2;

,1,2;

YY

PXXPYYPY

PXXPYY

PXXPYYPYFF

PXXPYYPY

-

--

-

=≤≤≤

=≤>

=>≤≤-

=>>>

{=0}={1}={1}=1-e

{=0}={1}=

{=1}={1}={1≤-=??

?->-≤-=-1

,11

,1,1,11,1],2,2[~UUYUUXUU，求（1）YX,的联合分布律；（2）)(YXD+。

【解】（1）,XY（）的可能取值为,1,1,1,1--(-1),(-1),(1）,(1）

1

,1,114

,1,10

1,1,1121

,1,4PXYUUUPXYUUPXYUUUPXYUUU=-≤≤≤-=≤>=->≤≤=>>>{=-1}=P{-1}=P{}={=-1}=P{-1}={=1}=P{-1}=P{-1

=-≤

=-=-=

?，

1

(4,)

2YB所

以2,1EYnpDYnpq====，于是22

()5EYDYEY=+=

第五章大数定律与中心极限定理

例题选讲

1、设随机变量)5(~EX，用车比雪夫不等式估计_________}3|5|≤≥-XP。

【解】由)5(~EX得，11

==

525EXDX，

2、设)5,2(~),4,0(~2

2YNX，且YX,相互独立，用车比雪夫不等式估计

_______}4|2{|≥=>=-Φ=Φ≥，

又(1.96)0.975Φ=

，所以

1.9615.42

n≥?≥即样本容量至少为16时，才能使样本均值大于54的概率不小于975.0。

第七章参数估计

例题选讲

1、设总体X的密度为(1),01

()0,xxfxθθ?+θ是未知参数，nXX,,1是

来自总体的简单样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。【解】（1）1

10

2

()(1),1

EXxfxdxxdxθθθθ+∞+-∞

+==+=

+?

?令EXX=，得θ的矩估计量21

?1XX

θ-=

-。（2）似然函数为1212

()()()

()(1)nnn

Lfxfxfxxxxθθ

θ

θθ==+，取对数得12ln()ln(1)ln()nLnxxxθθθ=+++++，

由

12ln()ln()01

ndn

Lxxxdθθθ=++++=+得，θ的最大似然估计量为

1

?1lnn

i

in

X

θ

==--∑

2、某元件使用寿命X的密度为???≤>=--θθθxxexfx,0,2)()(2，其中0>θ为未知参数，设

nXX,,1为来自总体X的简单样本，求θ的最大似然估计量。

【解】似然函数为1

2

212()()()()2e

n

iixnn

nLfxfxfxθ

θ=-+∑==，

取对数得1

ln()ln22

2n

iiLnxnθθ==-+∑，因为

ln()20d

Lndθθ

=>，所以得()Lθ为θ的增函数，当θ取最大时，()Lθ最大，于是θ的最大似然估计值为1?min{}iin

xθ≤≤=，θ的最大似然估计值为1?min{}i

in

Xθ≤≤=。3、设总体X的概率密度为?????<<-=其他

,00),(6)(3θ

θθxxx

xf，nXX,,1为来自总体X的简

单样本。

（1）求θ的矩估计量θ

?；（2）求θ?D。【解】（1）

2

2

3

3