物理老师-下册第15章

大学物理学北京交通大学2015-2016第一学期张福俊110:44第十五章机械波

波是振动的传播，它是自然界中一种常见的物质运动形式，可分为两种：机械波和电磁波。

各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子—光子的运动。

我们能够看到周围的物体，因为物体上的反射光线进入我们眼睛;隔墙有耳、水面泛起涟漪……

波不仅传播信息，还可以传播能量。210:44第十五章机械波本章内容：

§15-1平面简谐波

§15-2波的速度和能流

§15-3惠更斯原理波的衍射

§15-4波的叠加原理干涉现象

§15-5多普勒效应310:44【教学目的】理解机械波产生的条件。掌握根据已知质点的谐振动方程建立平面简谐波的波动方程的方法，以及波动方程的物理意义。理解波形图线。了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件,能应用相位差或波程差概念分析和确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。理解驻波及其形成条件。了解驻波和行波的区别。【重点、难点】※本章重点：波动方程的建立；波的能量及能流、能流密度；惠更斯原理和波的叠加原理；波的相干；驻波※本章难点：波动方程的建立；波的相干；驻波410:44§15-1简谐波简谐波(余弦波或正弦波)是一种最简单最重要的波,其它复杂的波都可以看成是若干个简谐波合成的结果。本节内容：15-1-1机械波的形成和传播15-1-3平面简谐行波的波函数15-1-2波的特征量510:4415-1-1机械波的形成和传播

机械波产生的条件1、能产生机械振动的波源:2、弹性介质:

机械波是机械振动在媒质中的传播。例如：声波、水波、地震波等。注意：

波在介质中传播时，介质中各点仅在它的平衡位置附近振动，并不沿波的传播方向迁移。介质中存在的回复力可以是弹性力，也可以是非弹性力。真空例如水面波的回复力是重力和表面张力。610:441.横波——振动方向与传播方向垂直，如绳波。2.纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。疏密波!

横波和纵波

横波在介质中的传播，需要介质有切向变形，因而只有在固体中传播，液体和气体都没有切变弹性。波峰、波谷!710:44横波和纵波是波的两种基本类型。以水面波为例：兼有横，纵波特点

水波、地表波都能分解为横波与纵波来进行研究。

无论横波或纵波只是振动状态的传播，弹性介质中的各质点仅在各自的平衡位置附近振动，并不随波逐流。810:44

横波的传播过程质点振动方向时刻t

各质点位置——波形曲线t=0波传播方向tt=T/4t=T/2t=3T/4t=T910:44波动的基本特征：1、波动只是振动状态的传播，而振动状态是用相位来描述的，所以波的传播也是相位的传播。波的传播速度就是相位的传播速度（相速）。2、不论波源自身是做自由振动还是受迫振动，空间某点的振动都是在波源策动下进行的，都是受迫振动。3、空间某点受迫振动的能量来源于前一点的振动，同时又传给下一点。可见，能量随波的传播而向前传播。波动过程也是能量传播的过程。4、质点不会“随波逐流”。1010:4415-1-2波的特征量1.波阵面(或相面、波面)

某时刻介质内振动相位相同的点组成的面,称为波面。2.波射线(或波线)

波的传播方向称为波射线或波线。平面波球面波波面波线在各向同性均匀介质中,波线与波阵面垂直!波线波面波的几何描述：3.

波前—某时刻处在最前面的波阵面1110:441波长—振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离为一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称为波长，用

表示。

波的特征物理量

有时也用2π长度中所包含的波长数κ来描述波动的空间周期性，称为波数。以表示波的传播方向，则k=κ

成为波矢量，于是

k=κ,κ=

波长是指一个完整波形的长度，也就是在同一时刻，同一波线上，振动相位相差2π的两点间的距离。波长描述了波在空间上的周期性。1210:44波的周期用T表示；波的频率用表示；2频率—单位时间经过波线上一点完整波的数目

波动的频率，等于介质中质点的振动频率,或波源的振动频率。它们只与波源有关，而与波通过何种介质无关，所以称它们为固有周期、固有频率。3波速—单位时间某种振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速，也称相速。波速取决于波传播空间的性质。电磁波的波速为，机械波的波速取决于介质的弹性模量及密度。三者之间的关系：1310:44注意：1.波的T或等于波源的T或；2.波速与质点的振动速度的区别。——波在空间中的周期性——波在时间上的周期性通过波速联系起来。

说明波长是由反映波源特性Ｔ和传播空间性质ｕ共同决定的。思考题：周期为T的简谐波，其波线上任意一点，t=0时刻的相位为ɸ1，求Δt时间后，该点的相位增加量，该点振动状态向前传播的多远？1410:4415-1-3平面简谐行波的波函数

设:有一平面余弦行波，在无吸收的均匀无限大介质中沿x

轴（一维）传播，波速为u。已知:O点振动表达式

下面用数学表达式描述波线上任一质点在某一时刻的位移，以横波为例，说明平面简谐波的波动方程(质点在y方向振动)。这样的函数

=(x,t

)称为行波的波函数

波函数的表达式1510:44则

设波动沿x轴正方向传播,O点运动传到p点需用时间P点的振动相位落后于O点1610:44略去角标P,

由p点的任意性,x视为变量,——平面简谐行波的波函数如果波沿x轴负向传播，则波动方程为

1710:44平面简谐波的波动方程可写成多种等价的形式:

利用关系式及(k又称为角波数)1810:44讨论：波函数的物理意义(1)当x

一定时,给出x

处的位移—时间曲线(振动曲线)(2)当t一定时,给出确定时刻的

—x曲线即波形图

ux1

x2..

仅是

x的函数——同一时刻波线各质点的位移分布情况1910:44Dlpjx=D2同一时刻x1

和x2

两质点相位分别为:—波程差ux1

x2..2010:44(3)当t和x都变化时,波动方程描述了波形的传播.波传播方向t时刻的波形T+t时刻的波形波函数反映了不同时刻、不同空间点的振动情况。经时间波向前传播了，也就是说，波函数描述的是波形随时间向前行进的波，因而也称为行波。2110:44例题1、

空气中音叉以400Hz频率振动，声速320m/s，求1)音叉完成30次振动时，声波传播的距离;2)把声源振动看成振幅1mm的谐振动，则某点空气元振动的最大速度是多少？；3)从a点沿波线传播到b点为20cm，则b点振动比a点落后多长时间?4)同一时刻，两点的相位差是多少？解：1）这个音叉产生的声音波长波源完成一次全振动，波向前传播一个波长2）注意研究的是振动速度，不是波速2210:443)从a点沿波线传播到b点为20cm，则b点振动比a点落后多长时间?a,b两点相差四分之一波长距离，显然从时间上b点振动要落后于a点四分之一周期。4)同一时刻，两点的相位差是多少？2310:44例题2一平面简谐波，t=0时的波形曲线为浅绿色曲线所示，波以4m/s的速度向X轴正方向传播，经过时间后，波形曲线如红色曲线所示。波源的振幅为0.01m,周期为0.01s,求1)质点o、b的振动方向，两点的相位差和距离；2)o、b两点的振动方程；3)波函数；4)当波沿X轴负方向传播时，波函数。解：对于Ｏ点而言：t=0A>x>0x=AO点的振动方向是向上对于b点：b点的振动方向是向下2410:44根据两点的振动状态，由旋转矢量法应很容易得到：负号说明b点振动相位小于a点振动相位m2)简谐振动的三要素：振幅、角频率、初相位2510:443)以o点为参考点，建立波函数：以b点为参考点，建立波函数：4)当波沿X轴负方向传播时，波函数t=0时，u2610:44由波函数推导波动方程波函数分别对t

和

x求二阶偏导数得到一维波动方程上式对任何平面波都成立。2710:4415-2波的速度和能流以弦上的横波为例：

平衡时弦是沿X轴的直线，考虑原长为dx的一个小段弦ＡＢ，t时刻离开平衡位置的位移是，ＡＢ两端张力分别为F(x),F(x+dx),其合力Ｆ就是回复力，指向x轴，从而形成沿y方向的振动。

对A端而言，，，为F与x轴的夹角。对弹性形变，很小，也很小，故

可见，这一小段弦而言，水平方向合力为零，在y方向合力为。2810:44设弦线的密度为，则该段弦线的质量为Y方向上加速度为，有牛顿定律有：根据波动方程：

可见，波速仅与波传播介质的两个物理量有关，介质的密度及弹性模量。2910:44

机械波的传播速度完全取决于介质的弹性性质和惯性性质。即介质的弹性模量和介质的密度，而与振源无关。

描述弹性的物理量—弹性模量1.杨氏弹性模量YS为棒之横截面积应力应变

物体的弹性*

在弹性限度内应力与应变成正比,比例系数称为材料的弹性模量。3010:44弹性势能：2.切变弹性模量G

切应力切应变产生切变时，单位体积的弹性势能：Dk为弹性系数或劲度系数.3110:443.体积模量Ｋf表示正压力;S为受力面积.体应力

体应变体积模量定义为：产生