数据模型与决策概率分布

数据、模型与决策丁邦俊

第二讲离散概率分布离散概率基础概率第一定律:任何事件的概率都是0和1之间的数.例将一枚均匀的硬币抛出，观察是正面向上还是反面向上，由完备性和对称性，这两个结果出现的可能性相等，即P（出现正面）=0.5；P（出现反面）=0.5概率：是指不确定的结果出现的可能性。例从一副扑克牌（通常去掉大小猴）中任取一张，取到的是A，这种可能性就是概率。概率第二定律:如果事件A和事件B是互斥的,那么P(A或B)=P(A)+P(B)举例：从一副扑克牌中随机抽取一张，记A=“方快10”，B=“K”，那么，事件A和事件B是互斥的，于是P(A或B)=P(A)+P(B)=1/52+4/52=5/52离散概率基础离散概率基础概率第三定律:符号A|B表示事件B发生的情况下出现了事件A,则

P(A|B)例：从一副扑克牌中随机抽取一张，记

A=“该牌是任何花色K”，

B=“该牌是花牌（J、Q、K）”则P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=离散概率基础

中国学生（C）外国学生(I)合计男生（M）251540女生（W）451560合计7030100例一个班级学生情况统计如下，求P（C|M）解：P（C|M）=离散概率基础

中国学生（C）外国学生(I)合计男生（M）0.250.150.4女生（W）0.450.150.6合计0.700.301这个班学生的概率分布为另解：P（C|M）=离散概率基础同理，可求P（M|C）=25/70第三定律也可以写成:或:这就是概率的乘法公式。公式中的符号“∩”也可省去。离散概率基础概率第四定律:如果A、B是相互独立的事件P(A|B)=P(A)举例：从一副扑克牌中随机抽取一张，记

A=“该牌是一张5”，B=“该牌是梅花”

“AB”=“该牌是梅花5”所以，P(A）=P(A|B)则P(A)=4/52=1/13P(A|B)=P(A和B)/P(B)=离散概率基础第四定律也可以写成:或:即：独立的两个事件乘积的概率等于概率的乘积。这也叫概率的乘法公式。如何何计计算算决决策策树树中中的的概概率率CarolineJanse是一一家家消消费费品品公公司司市市场场销销售售经经理理，，她她正正在在考考虑虑是是否否生生产产一一种种无无泡泡沫沫的的新新型型自自动动洗洗碗碗清清洁洁剂剂。。为为了了使使得得该该问问题题简简化化，，我我们们假假设设市市场场要要么么是是疲疲软软的的，，要要么么是是坚坚挺挺的的。。如如果果市市场场是是坚坚挺挺的的，，那那么么公公司司将将赢赢利利1800万美美元元，，如如果果市市场场是是疲疲软软的的，，那那么么公公司司将将亏亏损损800万美美元元，，根根据据经经验验和和直直觉觉的的综综合合考考虑虑，，卡卡罗罗林林估估计计市市场场是是坚坚挺挺的的概概率率为为30%在决决定定是是否否生生产产之之前前，，她她可可以以对对无无泡泡沫沫市市场场进进行行一一项项全全国国性性的的调调查查测测试试，，费费用用将将达达到到240万美美元元。。这种种市市场场调调查查测测试试不不可可能能完完全全准准确确预预测测新新产产品品市市场场，，也也就就是是说说，，它它可可能能会会误误导导新新产产品品市市场场。。过过去去的的这这类类调调查查结结果果表表明明：：如如果果市市场场是是疲疲软软的的(weakly)，那那么么有有10%的可可能能性性测测试试结结果果对对市市场场是是肯肯定定的的(Yes)，同同样样，，如如果果市市场场是是坚坚挺挺的的(strong)，那那么么有有20%的可可能能性性测测试试结结果果对对市市场场是是否否定定的的(No)。卡罗罗林林可可以以决决定定要要么么不不生生产产无无泡泡沫沫产产品品，，要要么么在在决决定定是是否否生生产产之之前前，，进进行行调调查查测测试试；；要要么么不不进进行行调调查查测测试试，，直直接接进进行行生生产产。。利用用第第一一讲讲的的方方法法，，我我们们对对Caroline问题题构构造造了了如如下下的的决决策策树树：：ACG不生生产产市场场调调查查测测试试否定定的的调调查查结结果果不生生产产不调调查查，，生生产产市场场坚坚挺挺市场场疲疲软软BF生产产不生生产产D生产产市场场坚坚挺挺市场场疲疲软软E市场场坚坚挺挺市场场疲疲软软0.30.71800-800-240-10401560-10401560-240p1=?p2=?p3=?p4=?p5=?p6=?答案p1=0.310p2=0.690p3=0.774p4=0.226p5=0.087p6=0.913肯定的调调查结果果解：记S=市场坚挺挺，W=市场疲软软Y=调查结果果是肯定定的N=调查结果果是否定定的P(W)=1-P(S)=1-0.3=0.7,由已知：：P(S)=0.30,P(Y|W)=0.1,P(N|S)=0.20P(Y和W)=P(Y|W)P(W)=0.1*0.7=0.07,P(Y|S)=1-P(N|S)=1-0.20=0.80，P(N|W)=1-P(Y|W)=1-0.10=0.90.P1=0.31P2=0.69P3=P(S|Y)=P(S∩∩Q)/P(Y)=0.24/0.31=0.774P4=P(W|Y)=P(W∩∩Q)/P(Y)=0.07/0.31=0.226P5=P(S|N)=P(S∩∩N)/P(N)=0.06/0.69=0.087P6=P(W|N)=P(W∩∩N)/P(N)=0.63/0.69=0.913

市场坚挺(S)市场疲软(W)合计市场调查是坚挺的(Y)

0.24

0.070.31市场调查是疲软的(N)

0.06

0.630.69

合计0.300.701.00ACG不生产市场调查查测试否定的调调查结果果不生产不调查，，生产市场坚挺挺市场疲软软BF生产不生产D生产市场疲软软E市场坚挺挺市场疲软软0.30.71800-800-240-10401560-1040-240p1=0.31p2=0.69P3=0.774p4=0.226P5=0.087p6=0913肯定的调调查结果果1560市场坚挺挺972.4-813.8-240972.4135.84-20135.84Caroline的最佳策策略是：：首先选择择市场调调查测试试；当市场调调查测试试给出肯肯定的结结果时，，她选择择生产；；当市场场调查测测试给出出否定的的结果时时，她选选择不生生产；这一决策策的EMV是$135.84。随机变量量及其分分布斯隆学院院的学生生暑期工工作的收收入资料料假定被被收集到到了，去去年的情情况是这这样的（（指第一一年的MBA学生的收收入）：：总的工资（12周）获得此类工资的学生所占百分比$21,6005%$16,80025%$12,00040%$6,00025%$05%随机变量量及其分分布上面的表表格就是是斯隆学学院的学学生暑期期工作的的周收入入(假设为X)的分布随机变量量：一个个概率模模型中可可以用数数值表示示一个个不确定定的量。。用大写写的字母母X、Y、W等表示如：X=“斯隆学院院的学生生暑期工工作的周周收入”Y=“一个硬币币抛2次，出现现的正面面数”W=“上海市明明年7月份的降降雨的毫毫米数””随机变量量及其分分布随机变量量的分布布需要指指出其取取值和相相应的概概率，通通常用表表格或函函数表示示表格法：：X=Bill参加校园园招聘计计划的收收入X21600168001200060000Pr0.050.250.400.250.05函数法：：设Y=“一个硬币币抛2次，出现现的正面面数”,p=抛一次硬硬币出现现正面的的概率二项分布布每次试验验只有两两个可能能的结果果，即“成功”和“失败”出现“成功”的概率p对每次试试验结果果是相同同，进行行n次重复试试验，出出现“成功”的次数的的概率分分布称为为二项分分布设X为n次重复试试验中事事件A出现的次次数，X取x的概率为为二项分布布（Excel）计算二项项分布的的函数是是BINOMDIST（k,n,p,cumulative）,它有两种种形式例生产产过程的的质量控控制假如一个个生产过过程的产产品为合合格品的的概率是是0.83，为废品品的概率率是0.17，现在假假设生产产5个这样的的产品，，求其中中至少有有一个是是废品的的概率。。解p=二项分布布的应用用案例分析析：航空空公司机机票超售售问题整概率分分布的体体指标平均值方差与标标准差概率分布布的整体体指标平均值：：也称期期望，定定义为随随机变量量的取值值与相应应的概率率相乘，，再将所所有乘积积求和的的结果，，公式是是：例：X=Bill参加校园园招聘计计划的收收入X21600168001200060000Pr0.050.250.400.250.05这个数字字含义非非常清楚楚，它就是Bill能够获得得期望收收入期望值与与轮盘赌赌长期来看看，庄家家必赢概率分布布的整体体指标方差：定定义为随随机变量量与其期期望偏差差的平方方的期望望公式是是：例：X=Bill参加校园园招聘计计划的收收入X21600168001200060000Pr0.050.250.400.250.05这个数字字特别大大，其单单位是平平方美元，与X的单位不不一致，，它的算算术平方根是3458.60美元，与与X的单位一一致，人们更喜喜欢使用用，并称称它为标标准差随机变量量的线性性函数考虑到Bill参加校园园招聘计计划有一一定的成成本（与与接收John的机会相相比，有有时间成成本），，假如该该成本是是600美元，那那么Bill暑期打工工12周的实际际收入R1为：R1=X-600如果换成成月收入入，那么么Bill暑期打工工每月的的实际收收入R2为R2=⅓R1=⅓X-200，这是随随机变量量X的线性函函数随机变量量的线性性函数我们可以以求出R2的分布：：R12100016200114005600-600Pr0.050.250.400.250.05R17000540038001866-200Pr0.050.250.400.250.05我们也可可以求出出R1的分布：：有了R1的分布，，我们自自然能够够求出R1的期望和和标准差差，并且且可以用用下面的的简化公公式。随机变量量的线性性函数例R1的期望和和标准差差分别是是：协方差与与相关性性实例：太太阳镜和和雨伞的的销售量量概率pi太阳镜的销售量xi雨伞的销售量yi0.135410.1578100.058100.130130.216420.0529220.13510.114260.152110.054623问题：太太阳镜和和雨伞的的销售量量之间有有关系系吗？协方差与与相关性性X与Y的相关性性定义为为其中分子子COV（X,Y）叫做X与Y的协方差差，定义义为例太阳阳镜的销销售量与与雨伞的的销售量量的相关关性为：：联合概率率分布与与独立性性两个事件件A与B的独立性性是指P(AB)=P(A)P(B)考虑随机机变量（（X，Y）的概率率，记（（X，Y）的取值值为（xi，yi），相应应的概率率为pi，将它们们列出一一个表，，就是（（X，Y）的联合合分布例记记X=“抛一枚枚均匀硬硬币出现现的正面面数”Y=“抛一枚枚均匀硬硬币出现现的正面面数减去去反面数数”则X可能的取取值是0、1；Y的可能取取值是-1,1联合概率率分布与与独立性性X与Y的联合分分布为：：XY-11010.500.50合计合计0.50.510.50.5联合概率率分布与与独立性性两个变量量相互独独立，当当且仅当当对所有x、y都是成立立的。例（（1）上面抛抛硬币的的例子中中，X与Y独立。（2）太阳镜镜的销售售量与雨雨伞的销销售量不不独立。。您能验证证一下吗吗？提示：（（1）需要写写出四个个式子验验证。（2）只要找找到一个个式子不不成立即即可。P(X=35,Y=1)=0.1,P(X=35)=0.2,P(Y=1)=0.1不相关就就是指没没有任何何关系，，比如两个个股票，，一个涨涨跌不影响另一一个涨跌跌。两个随机机变量的的和在投资市市场里，，通常要要考虑资资产组合合配置，，这就涉涉及到随随机变量量和的概概念，最最简单的的情况是是两个随随机变量量之和假设X、Y是两个随随机变量量，Z=aX+bY，其中a、b是已知常常数，那那么从该表达达式可以以看出：：（1）若COV（X，Y）>0,则Var（aX+bY）>a2Var（X）+b2Var（Y）（2）若COV（X，Y）>0,则Var（aX+bY）<a2Var（X）+b2Var（Y）由此可见见，选择择负相关关的两个个资产组组合投资资，可以以降低风风险。见见P91案例两个随机机变量的的和例假假设AB两个资产产的投资资收益率率分别为为8%和15%，方差分分别是100元和400元，且它它们的协协方差为为-150，现在将将1万元投资资AB两个资产产，求最最佳分配配比例。。解设设投资资资产A、B的比例分分别为x、1-x，则资产产组合的的方差为为