风险管理1VAR课件

第十章：风险管理-VAR2012年12月1第十章：风险管理-VAR1主要内容VaR的定义VaR的优点VaR的度量VaR的局限VaR的延伸2主要内容VaR的定义2VAR的定义3VAR的定义3上个世纪九十年代，J.P.Morgan尽管经营保守，业务发展缓慢，但仍然不能免疫于各种风险，1989年，J.P.Morgan亏损10亿美元。

DennisWeatherstone

1989年出任J.P.Morgan董事会主席，锐意变革：J.P.Morgan改变保守经营的作风，到更为有利可图的公司金融和证券市场放手一搏，但也要恪守其引以为豪的稳健、诚信的传统。

面临着什么样的风险？这些风险是否可以准确地度量？

VAR的由来4上个世纪九十年代，J.P.Morgan尽管经营保守，业务发DennisWeatherstone

提出一个要求：每天下午四点一刻，财务部门必须准时将一份度量和解释公司全部风险的报告呈放在他的办公桌上。

面临着什么样的风险？这些风险是否可以准确地度量？

TillGuldimann是当时J.P.Morgan的市场风险委员会的主席,他发展出一套后来用于VaR度量系统中的理念，并首先在公司内部推广使用VaR度量系统。VAR的由来5DennisWeatherstone提出一个要求：每天下1993年，Guldimann在一次风险管理会议上，向客户们展示了正在J.P.Morgan内部使用的VaR系统，立即引起了客户们浓厚的兴趣，纷纷询问是否可以购买或者租用这一系统。但J.P.Morgan并不想把出售软件作为自己的业务，因而不愿意答应客户购买或租用系统的要求。不过Guldimann提出了一个折衷方案，即公司可以为客户提供示范，由客户自己组织力量实现他们自己的VaR系统。J.P.Morgan将会公开自己系统的实现方法，发布需要用到的协方差矩阵，并鼓励软件商基于这些资源开发可兼容的应用软件。VAR的由来61993年，Guldimann在一次风险管理会议上，向客户们随后，Guldimann组织了一个团队着手进行开发工作，为第二年的研究会议做准备。他们最终开发出一套方案，RiskMetrics于1994年诞生。这套系统中包含一个详细的技术性说明文档，以及几百个关键影响因素之间的协方差矩阵。这个矩阵每天都要更新，这同几年前的季度更新相比堪称一次飞跃。文档和协方差矩阵被发布到互联网上，任何人都可以免费获得。虽然服务是免费的，但宣传推广过程却是大张旗鼓的。众多财经媒体发布了这项服务的广告和宣传文章，J.P.Morgan代表也到多个城市巡回宣传。VAR的由来7随后，Guldimann组织了一个团队着手进行开发工作，为1994年，“风险矩阵”（RiskMetrics）系统问世；1997年，“信用矩阵”（CreditMetrics）系统问世。后来，客户们对风险管理专业能力的要求越来越高，超出了公司内部现有资源所能达到的程度，于是风险矩阵小组于1998年从J.P.Morgan公司中分离出来，成为独立的咨询和软件公司。VAR的由来81994年，“风险矩阵”（RiskMetrics）系统问世J.P.Morgan在风险管理方面的探索，改变了近年来全球许多金融机构风险管理的思维方式。在BASELII中，不仅J.P.Morgan的RiskMetrics和CreditMetrics成为技术支撑之一，而且J.P.Morgan风险管理思想，用“指引”的方式积极引导各个商业银行去建立具有自己特色的风险管理模型，也得到充分的体现。J.P.Morgan是业界引导风险管理发展的典范。VAR的由来9J.P.Morgan在风险管理方面的探索，改变了近年来全球许所谓风险价值（ValueatRisk）,是指在一主观给定的机率（1-α）下，衡量在一目标期间（T，可能为一天、两星期或十天），因市场环境变动的缘故，使某一投资组合产生最大的期望损失值。

在统计上较严谨的VaR定义为资产资产组合的单尾信赖区间，即Prob（（△P（△t，△x）＜-VaR））＝α上式中△P（△t，△x）为资产组合市场价值的改变量，是预测的时间期间（持有期间）△t与标的资产价格变动△x所组成的函数;α为信赖水准。VAR的定义10所谓风险价值（ValueatRisk）,是指在一主观给定VAR的解释VaR是一种有效的风险管理的方法，采用规范的统计技术来评估风险的大小。风险值的计算涉及目标期间以及信赖水准的选择，不同的持有期间和信赖水准当然会导致不同的风险值。就目标期间而言，期间越短越能及早侦测出问题，但越频繁的监控其成本也就越高，目标期间的选择必须在这两者之间取得平衡点，对于市场风险，巴塞尔监理委员会规定目标期间为十天；商业银行目标期间大多设定为一天；退休基金大多以一个月为风险值的目标期间。而信赖水准的决定则更主观，巴塞尔监理委员会是规定99％的信赖水准;以银行业为例，信孚银行（BankersTrust）亦为99％，花旗银行（Citibank）则是95.4％，J.P.MorganRiskMetrics以及美国银行（BankAmerica）则选择95％的信赖水准。11VAR的解释VaR是一种有效的风险管理的方法，采用规范的统计VaR:市场风险管理的革命以往的风险衡量技术，如标准差、β系数、久期和Delta等方法都只能适应特定的金融工具或在特定的范围内使用，难以综合反映风险承担情况。越来越需要一种既便于掌握和理解，又能全面反映金融机构或投资组合所承担的风险，特别是市场风险的技术方法.VaR就是适应当前风险管理的这种需求而产生的，以规范的统计技术全面衡量市场风险的方法VAR的解释12VaR:市场风险管理的革命VAR的解释12VaR把对预期的未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来，不仅让投资者知道发生损失的规模，而且知道其发生的可能性，这是压力测试和情景分析等其他市场风险衡量方法所不具备的。VAR的特点13VaR把对预期的未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来该风险衡量方法适用面宽不同于β值只适用于衡量股票价格风险，久期和凸性只适用于衡量债券和存贷款的利率风险，Delta等希腊字母方法只适用于衡量期权等衍生金融工具的风险，VaR适用于衡量包括利率风险、汇率风险、股票价格风险以及黄金等商品价格风险和衍生金融工具风险在内的各种市场风险。VAR的特点14该风险衡量方法适用面宽不同于β值只适用于衡量股票价格风险，通过调节置信水平，可以得到不同置信水平上的VaR值，这不仅使管理者能更清楚地了解到金融机构在不同可能程度上的风险状况，也方便了不同的管理需要。VaR是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法，较其他主观性、艺术性较强的传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况，大大增加了风险管理系统的科学性。VAR的特点15通过调节置信水平，可以得到不同置信水平上的VaR值，这不仅VAR的优点VaR以一个简单的金额来表现，比较容易理解。VaR同时包含整个投资组合的所有资产，已经将资产间的相关性纳入考量，一个数字即隐含了投资组合多角化分散风险的程度。VaR用信赖水准的概念，报导出发生最大损失的可能性，这也是传统风险衡量无法做到的。

16VAR的优点VaR以一个简单的金额来表现，比较容易理解。16VAR的优点VaR可应用于投资决策的制定，当欲加入新的投资标的时，可先行将其纳入投资组合中，计算IVaR值，并与原投资组合之VaR比较，若IVaR小于VaR，则可考虑将此投资机会纳入投资组合中。对企业而言，可以设定愿意承担的VaR，把它视为风险目标，在设计投资组合的内容时，将此因素列入考虑，调整投资组合的内容直到符合企业所期望的风险目标，使得投资决策制定者不再一味追求高获利，也要考量高风险。此外，VaR还可以用来做资本配置，藉由分配、控管每个部门、小组，甚至每位交易员的VaR值，使风险能和企业本身的事业活动配合。VaR虽然是用以衡量市场风险，但其方法可以适用于信用风险、操作风险的度量。17VAR的优点VaR可应用于投资决策的制定，当欲加入新的投资标VAR的度量方法18VAR的度量方法18VAR的度量方法VaR的度量方法1：Delta-Normal法

假设（1）投资组合中所有资产的收益率都是正态分布；（2）投资组合的收益率为个别资产收益率的线性组合。投资组合的风险值=Zα

σP

=Zα(∑(Viσi)2+2∑(ViVjCij))1/2。这里Zα是标准正态分布置信度对应的分位数(常用的99%置信度，对应的分位数为2.33）。19VAR的度量方法VaR的度量方法1：Delta-NormalVAR的度量方法Delta-Normal法计算的核心是计算出个别资产收益率的波动率σi。波动率的计算方法1：简单移动平均方法（SMA）其中rt为第t期的收益率，r为从第T-n期到第T-1期的平均收益率。20VAR的度量方法Delta-Normal法计算的核心是计算出VAR的度量方法波动率的计算方法2：指数加权移动平均方法（EWMA).其中λ为衰减因子（decayfactor），μ为指数移动平均收益率。21VAR的度量方法波动率的计算方法2：指数加权移动平均方法（EVAR的度量方法波动率的计算方法3：广义条件异方差自回归模型（GARCH).例如，GARCH(1,1)如下：其中rt为第t期的收益率，μ为平均收益率。22VAR的度量方法波动率的计算方法3：广义条件异方差自回归模型VAR的度量方法Delta-Normal法的优点:正态分布及线性的假设提供了计算便利性。由于正态分布的假设，可以轻易地将一个投资组合的VaR在不同的信赖水准间转换，只要调整适当的α值即可，不需要重新计算个别VaR。可以将一个投资组合的VaR在不同持有期间之间转换，如果假设收益率为序列独立（seriallyindependent），且收益率的方差为同质方差（homoskedasticity），则投资组合的方差每一期都相同，于是当持有期间为T倍时，方差为T倍，标准差就变为时间之根号倍。23VAR的度量方法Delta-Normal法的优点:正态分布及VAR的度量方法Delta-Normal法的缺点：1、未考虑一些事件风险（eventrisk），如股市崩盘或汇率重挫的现象。但这也是使用历史资料估计的模型之通病。2、不能正确地衡量与风险变量呈非线性关系之金融工具，Delta-Normal法只考虑一阶导数的影响，忽略了二阶导数的作用。3、由于正态分布的假设，不能描述金融市场上资产收益率分配经常会呈现的「厚尾」（fattail）现象，低估了极端值（outlier）的比重，这样VaR值也就被低估了。24VAR的度量方法Delta-Normal法的缺点：24VAR的度量方法VaR的度量方法2：Delta-Gamma法

Delta-Gamma法与Delta-Normal法基本假设相同，均视各市场风险因子之价格变动率为联合正态分布。然而，与Delta-Normal法不同的是，当市场风险因子变动后，新的资产组合价值改用二阶泰勒展开式（Second-orderTaylorSeriesExpansion）加以逼近，因此可同时将投资组合的Delta、Gamma以及Vega纳入计算，提高了计算精度。25VAR的度量方法VaR的度量方法2：Delta-Gamma法VAR的度量方法VaR的度量方法3：历史模拟法

假设有N种资产，观察过去T期的历史资料，个别资料在t期时的收益率为Ri,t，权重则每期都固定为ωi（与目前投资组合权重相同），则每一期的观察值都可以模拟出投资组合在该期的收益率Rp,t，由投资组合的收益或损失的次数分配中，再进一步计算出投资组合VaR，作为下一期VaR的估计值。例如，观察过去100天的历史资料，模拟出100个收益率，并转换成100个利润或损失，在95％的信赖水准下，第5高的损失就是VaR。26VAR的度量方法VaR的度量方法3：历史模拟法26VAR的度量方法历史模拟法的优点：

观念上容易了解，没有繁杂的模拟、计算过程，容易执行。不需要对收益率做出正态分布（或其它分布）的假设，不需要假设序列独立，因此，能够处理非线性、非正态分布资产报酬的问题，而且并未排除分配可能具有厚尾的特性。不需要估计额外的参数（如投资组合的协方差矩阵等），不存在选择参数估计方法、或是参数估计发生误差的问题。在使用历史模拟法的过程中，模拟出了投资组合收益的分配，同时也可以算出其偏度、峰度，对投资组合收益的形态可有进一步的了解。27VAR的度量方法历史模拟法的优点：27VAR的度量方法历史模拟法的缺点：

对所有的观察值给予相同权重，高估了早期事件的影响力，也忽略了近期重要事件的影响。所需的历史资料必须够长，否则估计误差会太大。尤其当信赖水准很高的时候，需要更长的观察期间来作为模拟的基础。而如果投资组合中有一些很新的资产，这些资产很有可能根本没有那么多历史资料。因此，观察期间长度的取决，也成为一个难以解决的问题。当投资组合庞大时，计算过程会相当繁杂。同样地，在计算VaR时，必须分别计算加入新资产前、后的投资组合价值，没有办法采取较为简洁的方法。28VAR的度量方法历史模拟法的缺点：28VAR的度量方法VaR的度量方法4：蒙特卡罗模拟法

蒙特卡罗模拟法是模拟未来特定期间，所可能发生的资产价格变化，并依此建立资产收益之分配，进而推估VaR，如此不但涵盖变量的所有可能状况，也可以处理非常态模型。对一个资产组合的所有资产，假设每个资产有若干被观察状态，每次对一个资产随机抽取一种被观察状态，抽出后放回，使得这些被观察状态可被重复抽取，且容许重抽出来的被观察状态数目多于原有的样本数目。重复成千上万次，用模拟出来的资产组合的价值分布来代替真正的分布，计算VaR，以及平均数、标准差、中位数、某个分位数等统计量。当重复模拟的次数愈多时，估计值也就愈接近真实的参数。29VAR的度量方法VaR的度量方法4：蒙特卡罗模拟法29VAR的度量方法蒙特卡罗模拟法的优缺点：

优点：不但可以计算非线性价格风险、波动性风险及模型风险，甚至也可以处理信用风险，更可以融入时间变异的方差、厚尾以及极端状况等。缺点：1、要为资产价格决定适当的模型以及模型参数，这不是一件容易的事情。2、随机数的分配，产生随机数的算法、抽取方式，会影响模拟的结果。3、必须要有足够的重复模拟次数，才能提高结果的正确性。是否使用蒙特卡罗法，需要在速度与正确性做出取舍。30VAR的度量方法蒙特卡罗模拟法的优缺点：30VAR的度量方法VaR的度量方法5：极值估计法

极值法（ExtremeValueEstimation）的基本概念在针对概率分配尾部来估计其函数型态，最早提出相关理论的为Hill（1975），其利用动差的方法估计出一个指数，称为「尾部指数」。

F(x)=1–Ax-α[1+Bx-β

+O(x-β)]asx

→+

∞

31VAR的度量方法VaR的度量方法5：极值估计法31VAR的度量方法VaR的度量方法6：Portfolio-Normal法Portfolio-Normal法假设金融机构资产组合整体之收益（或价格变动）为正态分布，且假设平均收益率等于0，然后依据正态分布的特性，快速地从标准差求得各不同信赖区间的临界值。

Portfolio-Normal法的典型应用是估计消费性贷款、信用卡偿还等的信用风险。例如考虑一个包含许多小额消费借款的资产组合，由于个别消费借款是否偿还为一个二项分布（binomialdistribution），而在贷款笔数趋近于无穷大时，整个标的资产组合价格变动分布（偿还金额）将趋近于正态分布。

优点：计算方便，快；缺点：精度低。32VAR的度量方法VaR的度量方法6：Portfolio-NoVAR的度量方法VaR的度量方法7：压力测试法压力测试法的做法是：假设一些情景，对在情景s假设未来的收益率为Rp,s*，各种不同情景下得到不同的Rp,s*，对于情景s给定概率ps，就能得到投资组合收益的分配，藉以求出VaR。压力测试有两个特色：一，可以评估极端事件发生时对投资组合风险的影响；二，是个较为主观的方法，风险管理者必须判断适当的衡量情景。33VAR的度量方法VaR的度量方法7：压力测试法33VAR的度量方法压力测试法的优缺点：优点是能涵盖了历史资料中没有的情景，能迫使管理阶层去面对过去忽略的事情。

缺点：1、情景的选择、概率的给定过于主观，导致错误的VaR计算。2、无法给出最差情况的机率，无法处理相关性的问题，不能看出投资组合分散风险的好处。因此，压力测试只能用来补足其它度量方式的不足，对最糟状况加以预测评价，但无法取代其它度量方式。34VAR的度量方法压力测试法的优缺点：34VAR度量方法的检验35VAR度量方法的检验35回溯检验（Backtest）所谓回溯检验，是对于给定的一定数量的观察样本，比较这个样本区间发生的损失和估计出来的VaR。损失超过VaR的叫做例外数。按照VaR的定义，例外数应该大体上与置信水平设定的期望目标相接近。另外，1000天置信水平为95%的例外数应该接近50。

36回溯检验（Backtest）所谓回溯检验，是对于给定的一定数模型好坏的一个统计检验一般地可以假设例外服从二项分布，构造如下统计量：这里X是例外数，N是样本总数，p是置信水平，q=1-p。当N足够大，Z服从0，1正态分布。这样可以用来检验模型的好坏。例如如果Z>1.645，可以在95%的水平上拒绝模型。

37模型好坏的一个统计检验一般地可以假设例外服从二项分布，构造如VAR的局限38VAR的局限38VAR的局限VaR主要适用于正常条件下对于风险的衡量，而对于出现极端情况时却强差人意.由于VaR对数据的严格要求，该风险衡量方法对于交易频繁、市场价格容易获取的金融工具的风险衡量效用比较显著，而对于缺乏流动性的资产，如银行的贷款等，由于缺乏每日市场交易价格数据，其衡量风险的能力受到很大的局限。有时，需要将流动性差的金融产品分解为流动性较强的金融产品的组合，然后再使用VaR模型来分析其风险。39VAR的局限VaR主要适用于正常条件下对于风险的衡量，而对使用VaR来衡量市场风险，存在所谓的模型风险(modelrisk)，即由于同样的VaR模型可以使用历史模拟法、蒙特卡罗模拟法和方差一协方差参数法等不同的方法得到资产收益的不同的概率分布，这样会对同样的资产组合得到不同的VaR值，这使得VaR的可靠性难以把握。一项针对VaR的研究曾对三个假定的组合使用八种具体的方法来估算每个组合的VaR值，发现对于同一个组合，这八种方法估算出的VaR值最大相差14倍。这使得无论是监管部门还是金融机构自身都很难对不同的VaR模型进行评价和选择。正是由于这种局限性，巴塞尔银行监管委员会要求使用Backtest来检验金融机构所用的VaR模型的有效性。VAR的局限40使用VaR来衡量市场风险，存在所谓的模型风险(modelVaR模型在衡量市场风险获得很大的成功，在度量信用风险、操作风险也有长足的进步，而对于流动性风险、道德风险、法律风险、经营风险等却难以反映。因此，VaR是一种试图将金融机构或投资组合所面临的利率、汇率、违约可能等不同种类的风险用一个数字表示的方法，但是这个数字远不能反映金融机构或投资组合所面临的全部风险。VAR的局限41VaR模型在衡量市场风险获得很大的成功，在度量信用风险、操VaR模型对历史数据依赖性较大。首先，历史模拟法直接依赖于大量的历史数据；其次，在参数法中，尽管可以通过观测期权市场得到金融工具的所谓隐含波动性(impliedvolatility)，但这种方法在很大程度上受到期权市场发展的制约，并不具有普遍的实用性，目前，巴塞尔银行监管委员会也还没有同意在衡量市场风险资本要求的内部模型使用这种参数估计方法，因此，参数法对方差和协方差的估计也对历史数据有很大的依赖。然而，依赖历史数据的根本缺陷在于历史不一定总能成为未来很好的指引，依据过去的收益数据来确定未来收益的风险存在固有的缺陷。VAR的局限42VaR模型对历史数据依赖性较大。VAR的局限42VaR作为当前金融机构风险管理的标准模式存在的另一个问题在于，在VaR管理体系下，受到重视的只是概率因素，即损失发生的可能性，而根据最新发展的总体风险管理(totalriskmanagement，TRM)的3P理论，风险的价格，即转移或对冲风险付出的代价和投资者对风险的心理偏好在风险管理决策中也发挥着重要的作用，不可不加以考虑。价格(price)、偏好(preference)和概率(probability)三因素共同决定了现代金融风险管理的基本框架。VAR的局限43VaR作为当前金融机构风险管理的标准模式存在的另一个问题在Markowitz理论的最大贡献是分散化经营可降低风险。VaR无法体现分散化经营对风险的降低.如果记u是一个风险度量函数，则资产组合X和Y的分散经营收益定义为:u(X)+u(Y)–u(X+Y)按照Markowitz理论，这个值应该是非负的。但是用VaR则不一定。VAR的局限44Markowitz理论的最大贡献是分散化经营可降低风险。VA假如有一个由资产A和B构造的资产组合,资产A是一个卖出期权,一天后到期,资产B是一个买入期权,也是一天后到期.假设每个期权都有4%的概率损失资金。资产A和B都有96%的机会不损失任何资金.因此置信水平为95%的VaR值都是为0.但是,如果这两个资产组合在一起,则只有92%的机会不损失资金,因此,它在置信水平为95%的VaR值不为零。VAR的局限45假如有一个由资产A和B构造的资产组合,资产A是一个卖出期权,VAR的局限46VAR的局限46VAR的局限基于VaR只对证券组合进行优化时，可能存在多个极值，局部最优解不一定是全局最优解，这在数学上难以处理。考虑一个只有两种特殊资产组成的资产组合。资产i在0时刻价格为pi,在1时候或者以概率πi收益为1，或者以1-πi

概率收益为0,而且只有一个资产在1时刻有收益.假设投资者在0时刻的总财富是W，投资者的效用函数是log(x)。47VAR的局限基于VaR只对证券组合进行优化时，可能存在多个极VAR的局限假设投资者的风险置信水平是δ，目标VaR是K。投资者要在0时刻做投资决策：需要购置两种资产各多少(x1，x2)，满足其财富约束，以及VaR风险约束，并且期望效用最大。maxπ1log(x1)+π2log(x2)s.t.x1p1+x1p1≦W

π11(x1≦K)+π21(x2≦K)

≦

δ

48VAR的局限假设投资者的风险置信水平是δ，目标VaR是K。4VAR的局限49VAR的局限49IVaR：IncrementalVaR当投资组合加入新的资产后，新的VaR值与加入新资产前之VaR的差，被称为IVaR。IVaR(i)=VaRP+i–VaRPIVaR为正时，表示新的资产增加了原资产组合的风险；IVaR为负。表示新的资产减小了原资产组合的风险。因此IVaR可以作为新增资产对资产组合风险影响的判据。当资产数目很多的时候，计算IVaR的过程就会比较繁杂，也就拉长了计算时间50IVaR：IncrementalVaR当投资组合加入新的资MVaR:MarginalValue-at-RiskMVaR度量某一给定头寸的一个微小变化对整个资产组合的VaR的冲击。MVaR(i)=dVaRP/dvivi是资产i在资产组合中的数量，pi是资产I的价格。资产组合的价值RP=∑pi*viMVaR相当于VaR的delta51MVaR:MarginalValue-at-RiskMVaDeltaValue-at-RiskDeltaVaR度量整个资产组合的VaR在每个组成头寸上的分配比例。DVaR=MVaR(i)*viVaR=∑DVaR(ｉ)DeltaVaR是IVaR的线性逼近。52DeltaValue-at-RiskDeltaVaR度量整VaR=∑DVaR(i)的证明记VaR（v1,..,vn）为整个Portfolio的VaR.容易证明VaR

(kv1,..,kvn)=kVaR

(v1,..,vn)于是有dVaR

(kv1,..,kvn)/dk=VaR

(v1,..,vn)记yi=kvi,于是可得dVaR

(kv1,..,kvn)/dk=∑dVaR(y1,..,yn)/dyi*vi=∑MVaR(i)*vi=∑DVaR(i)53VaR=∑DVaR(i)的证明记VaR（v1,..,vnComponentValue-at-RiskComponentVaR度量整个资产组合的VaR在每个组成头寸上的分配比例。ComponentVaR=MVaR(i)*viVaR=∑ComponentVaR(ｉ)ComponentVaR是IVaR的线性逼近。

54ComponentValue-at-RiskCompone一致性风险测度公理公理1(单调性):如果X≤Y，则ρ(X)≤ρ(Y)如果投资组合X1在任意情况下的价值都比投资组合X2的价值大，则一致性风险测度度量的X1的风险至少不应该比X2的风险大。也就是说，优质资产的风险应该比劣质资产的风险小。

55一致性风险测度公理公理1(单调性):如果X≤Y，则一致性风险测度公理公理2(正齐次性):对任意λ>0,ρ(λX)≤λρ(X)公理3(变换不变性):ρ(X+αr)≤ρ(X)─α,其中是r无风险利率即意味着：ρ(X+ρ(X))=ρ(X)−ρ(X)=0上式意味着，如果用数量为ρ(X)的资本或保证金加入到投资组合X之中，则恰好可以抵消投资组合X的风险。因此，不变性公理要求风险测度在数值上就是为抵消投资组合的风险而需要提供的资本或保证金的数量。56一致性风险测度公理公理2(正齐次性):对任意λ>0,ρ(一致性风险测度公理公理4(次可加性):ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)次可加性公理意味着，用一致性风险测度度量出来的所有被监管对象的总体风险A，不能比各单个被监管对象的风险之和B大。否则，即使各个被监管对象都设置了足够的资本或保证金A，也不能保证所有监管对象总的资本或保证金ρ(Xi)足以抵消整体风险B，因此监管措施就可能失效。可见，次可加性公理主要是从保证风险监管有效性的角度提出的，为监管目的而设计的风险测度应该满足次可加性公理。57一致性风险测度公理公理4(次可加性):ρ(X+Y)≤ρ(一致性风险度量一致性风险测度公理中，最重要的一条是次可加性,否则就有ρ(X+Y)>ρ(X)+ρ(Y)。（这正是VaR的最大弱点）。如果这样的话，把一个公司拆开成一系列的小公司就会降低监管风险资本金。从监管的角度而言，这是荒谬的。58一致性风险度量一致性风险测度公理中，最重要的一条是次可加性,一致性风险度量一致性风险测度的一些具体形式：尾部条件期望（tailconditionalexpectation）最差条件期望（worstconditionalexpectation）后悔值期望(expectedregret)条件在险价值（conditionalvalueatrisk）尾部均值（α-tailmean）期望不足（expectedshortfall）条件回落风险(conditionaldrawdownatrisk)59一致性风险度量一致性风险测度的一些具体形式：59一致性风险度量条件在险价值（conditionalvalueatrisk）CVaR是指损失超过VaR的条件期望,代表了超额损失的平均水平.设损失Y的概率密度为f(y),则60一致性风险度量条件在险价值（conditionalvalu1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。1月-231月-23Monday,January2,20232、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。21:45:5321:45:5321:451/2/20239:45:53PM3、越是没有本领的就越加自命不凡。1月-2321:45:5321:45Jan-2302-Jan-234、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。21:45:5321:45:5321:45Monday,January2,20235、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。1月-231月-2321:45:5321:45:53January2,20236、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。02一月20239:45:53下午21:45:531月-237、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。一月239:45下午1月-2321:45January2,20238、业余生活要有意义，不要越轨。2023/1/221:45:5321:45:5302January20239、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。9:45:53下午9:45下午21:45:531月-2310、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。1/2/20239:45:53PM21:45:5302-1月-2311、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。1/2/20239:45PM1/2/20239:45PM1月-231月-2312、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。02-Jan-2302January20231月-2313、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。Monday,January2,202302-Jan-231月-2314、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自己眷恋了。1月-2321:45:5302January202321:45谢谢大家1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。12月-2212月第十章：风险管理-VAR2012年12月62第十章：风险管理-VAR1主要内容VaR的定义VaR的优点VaR的度量VaR的局限VaR的延伸63主要内容VaR的定义2VAR的定义64VAR的定义3上个世纪九十年代，J.P.Morgan尽管经营保守，业务发展缓慢，但仍然不能免疫于各种风险，1989年，J.P.Morgan亏损10亿美元。

DennisWeatherstone

1989年出任J.P.Morgan董事会主席，锐意变革：J.P.Morgan改变保守经营的作风，到更为有利可图的公司金融和证券市场放手一搏，但也要恪守其引以为豪的稳健、诚信的传统。

面临着什么样的风险？这些风险是否可以准确地度量？

VAR的由来65上个世纪九十年代，J.P.Morgan尽管经营保守，业务发DennisWeatherstone

提出一个要求：每天下午四点一刻，财务部门必须准时将一份度量和解释公司全部风险的报告呈放在他的办公桌上。

面临着什么样的风险？这些风险是否可以准确地度量？

TillGuldimann是当时J.P.Morgan的市场风险委员会的主席,他发展出一套后来用于VaR度量系统中的理念，并首先在公司内部推广使用VaR度量系统。VAR的由来66DennisWeatherstone提出一个要求：每天下1993年，Guldimann在一次风险管理会议上，向客户们展示了正在J.P.Morgan内部使用的VaR系统，立即引起了客户们浓厚的兴趣，纷纷询问是否可以购买或者租用这一系统。但J.P.Morgan并不想把出售软件作为自己的业务，因而不愿意答应客户购买或租用系统的要求。不过Guldimann提出了一个折衷方案，即公司可以为客户提供示范，由客户自己组织力量实现他们自己的VaR系统。J.P.Morgan将会公开自己系统的实现方法，发布需要用到的协方差矩阵，并鼓励软件商基于这些资源开发可兼容的应用软件。VAR的由来671993年，Guldimann在一次风险管理会议上，向客户们随后，Guldimann组织了一个团队着手进行开发工作，为第二年的研究会议做准备。他们最终开发出一套方案，RiskMetrics于1994年诞生。这套系统中包含一个详细的技术性说明文档，以及几百个关键影响因素之间的协方差矩阵。这个矩阵每天都要更新，这同几年前的季度更新相比堪称一次飞跃。文档和协方差矩阵被发布到互联网上，任何人都可以免费获得。虽然服务是免费的，但宣传推广过程却是大张旗鼓的。众多财经媒体发布了这项服务的广告和宣传文章，J.P.Morgan代表也到多个城市巡回宣传。VAR的由来68随后，Guldimann组织了一个团队着手进行开发工作，为1994年，“风险矩阵”（RiskMetrics）系统问世；1997年，“信用矩阵”（CreditMetrics）系统问世。后来，客户们对风险管理专业能力的要求越来越高，超出了公司内部现有资源所能达到的程度，于是风险矩阵小组于1998年从J.P.Morgan公司中分离出来，成为独立的咨询和软件公司。VAR的由来691994年，“风险矩阵”（RiskMetrics）系统问世J.P.Morgan在风险管理方面的探索，改变了近年来全球许多金融机构风险管理的思维方式。在BASELII中，不仅J.P.Morgan的RiskMetrics和CreditMetrics成为技术支撑之一，而且J.P.Morgan风险管理思想，用“指引”的方式积极引导各个商业银行去建立具有自己特色的风险管理模型，也得到充分的体现。J.P.Morgan是业界引导风险管理发展的典范。VAR的由来70J.P.Morgan在风险管理方面的探索，改变了近年来全球许所谓风险价值（ValueatRisk）,是指在一主观给定的机率（1-α）下，衡量在一目标期间（T，可能为一天、两星期或十天），因市场环境变动的缘故，使某一投资组合产生最大的期望损失值。

在统计上较严谨的VaR定义为资产资产组合的单尾信赖区间，即Prob（（△P（△t，△x）＜-VaR））＝α上式中△P（△t，△x）为资产组合市场价值的改变量，是预测的时间期间（持有期间）△t与标的资产价格变动△x所组成的函数;α为信赖水准。VAR的定义71所谓风险价值（ValueatRisk）,是指在一主观给定VAR的解释VaR是一种有效的风险管理的方法，采用规范的统计技术来评估风险的大小。风险值的计算涉及目标期间以及信赖水准的选择，不同的持有期间和信赖水准当然会导致不同的风险值。就目标期间而言，期间越短越能及早侦测出问题，但越频繁的监控其成本也就越高，目标期间的选择必须在这两者之间取得平衡点，对于市场风险，巴塞尔监理委员会规定目标期间为十天；商业银行目标期间大多设定为一天；退休基金大多以一个月为风险值的目标期间。而信赖水准的决定则更主观，巴塞尔监理委员会是规定99％的信赖水准;以银行业为例，信孚银行（BankersTrust）亦为99％，花旗银行（Citibank）则是95.4％，J.P.MorganRiskMetrics以及美国银行（BankAmerica）则选择95％的信赖水准。72VAR的解释VaR是一种有效的风险管理的方法，采用规范的统计VaR:市场风险管理的革命以往的风险衡量技术，如标准差、β系数、久期和Delta等方法都只能适应特定的金融工具或在特定的范围内使用，难以综合反映风险承担情况。越来越需要一种既便于掌握和理解，又能全面反映金融机构或投资组合所承担的风险，特别是市场风险的技术方法.VaR就是适应当前风险管理的这种需求而产生的，以规范的统计技术全面衡量市场风险的方法VAR的解释73VaR:市场风险管理的革命VAR的解释12VaR把对预期的未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来，不仅让投资者知道发生损失的规模，而且知道其发生的可能性，这是压力测试和情景分析等其他市场风险衡量方法所不具备的。VAR的特点74VaR把对预期的未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来该风险衡量方法适用面宽不同于β值只适用于衡量股票价格风险，久期和凸性只适用于衡量债券和存贷款的利率风险，Delta等希腊字母方法只适用于衡量期权等衍生金融工具的风险，VaR适用于衡量包括利率风险、汇率风险、股票价格风险以及黄金等商品价格风险和衍生金融工具风险在内的各种市场风险。VAR的特点75该风险衡量方法适用面宽不同于β值只适用于衡量股票价格风险，通过调节置信水平，可以得到不同置信水平上的VaR值，这不仅使管理者能更清楚地了解到金融机构在不同可能程度上的风险状况，也方便了不同的管理需要。VaR是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法，较其他主观性、艺术性较强的传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况，大大增加了风险管理系统的科学性。VAR的特点76通过调节置信水平，可以得到不同置信水平上的VaR值，这不仅VAR的优点VaR以一个简单的金额来表现，比较容易理解。VaR同时包含整个投资组合的所有资产，已经将资产间的相关性纳入考量，一个数字即隐含了投资组合多角化分散风险的程度。VaR用信赖水准的概念，报导出发生最大损失的可能性，这也是传统风险衡量无法做到的。

77VAR的优点VaR以一个简单的金额来表现，比较容易理解。16VAR的优点VaR可应用于投资决策的制定，当欲加入新的投资标的时，可先行将其纳入投资组合中，计算IVaR值，并与原投资组合之VaR比较，若IVaR小于VaR，则可考虑将此投资机会纳入投资组合中。对企业而言，可以设定愿意承担的VaR，把它视为风险目标，在设计投资组合的内容时，将此因素列入考虑，调整投资组合的内容直到符合企业所期望的风险目标，使得投资决策制定者不再一味追求高获利，也要考量高风险。此外，VaR还可以用来做资本配置，藉由分配、控管每个部门、小组，甚至每位交易员的VaR值，使风险能和企业本身的事业活动配合。VaR虽然是用以衡量市场风险，但其方法可以适用于信用风险、操作风险的度量。78VAR的优点VaR可应用于投资决策的制定，当欲加入新的投资标VAR的度量方法79VAR的度量方法18VAR的度量方法VaR的度量方法1：Delta-Normal法

假设（1）投资组合中所有资产的收益率都是正态分布；（2）投资组合的收益率为个别资产收益率的线性组合。投资组合的风险值=Zα

σP

=Zα(∑(Viσi)2+2∑(ViVjCij))1/2。这里Zα是标准正态分布置信度对应的分位数(常用的99%置信度，对应的分位数为2.33）。80VAR的度量方法VaR的度量方法1：Delta-NormalVAR的度量方法Delta-Normal法计算的核心是计算出个别资产收益率的波动率σi。波动率的计算方法1：简单移动平均方法（SMA）其中rt为第t期的收益率，r为从第T-n期到第T-1期的平均收益率。81VAR的度量方法Delta-Normal法计算的核心是计算出VAR的度量方法波动率的计算方法2：指数加权移动平均方法（EWMA).其中λ为衰减因子（decayfactor），μ为指数移动平均收益率。82VAR的度量方法波动率的计算方法2：指数加权移动平均方法（EVAR的度量方法波动率的计算方法3：广义条件异方差自回归模型（GARCH).例如，GARCH(1,1)如下：其中rt为第t期的收益率，μ为平均收益率。83VAR的度量方法波动率的计算方法3：广义条件异方差自回归模型VAR的度量方法Delta-Normal法的优点:正态分布及线性的假设提供了计算便利性。由于正态分布的假设，可以轻易地将一个投资组合的VaR在不同的信赖水准间转换，只要调整适当的α值即可，不需要重新计算个别VaR。可以将一个投资组合的VaR在不同持有期间之间转换，如果假设收益率为序列独立（seriallyindependent），且收益率的方差为同质方差（homoskedasticity），则投资组合的方差每一期都相同，于是当持有期间为T倍时，方差为T倍，标准差就变为时间之根号倍。84VAR的度量方法Delta-Normal法的优点:正态分布及VAR的度量方法Delta-Normal法的缺点：1、未考虑一些事件风险（eventrisk），如股市崩盘或汇率重挫的现象。但这也是使用历史资料估计的模型之通病。2、不能正确地衡量与风险变量呈非线性关系之金融工具，Delta-Normal法只考虑一阶导数的影响，忽略了二阶导数的作用。3、由于正态分布的假设，不能描述金融市场上资产收益率分配经常会呈现的「厚尾」（fattail）现象，低估了极端值（outlier）的比重，这样VaR值也就被低估了。85VAR的度量方法Delta-Normal法的缺点：24VAR的度量方法VaR的度量方法2：Delta-Gamma法

Delta-Gamma法与Delta-Normal法基本假设相同，均视各市场风险因子之价格变动率为联合正态分布。然而，与Delta-Normal法不同的是，当市场风险因子变动后，新的资产组合价值改用二阶泰勒展开式（Second-orderTaylorSeriesExpansion）加以逼近，因此可同时将投资组合的Delta、Gamma以及Vega纳入计算，提高了计算精度。86VAR的度量方法VaR的度量方法2：Delta-Gamma法VAR的度量方法VaR的度量方法3：历史模拟法

假设有N种资产，观察过去T期的历史资料，个别资料在t期时的收益率为Ri,t，权重则每期都固定为ωi（与目前投资组合权重相同），则每一期的观察值都可以模拟出投资组合在该期的收益率Rp,t，由投资组合的收益或损失的次数分配中，再进一步计算出投资组合VaR，作为下一期VaR的估计值。例如，观察过去100天的历史资料，模拟出100个收益率，并转换成100个利润或损失，在95％的信赖水准下，第5高的损失就是VaR。87VAR的度量方法VaR的度量方法3：历史模拟法26VAR的度量方法历史模拟法的优点：

观念上容易了解，没有繁杂的模拟、计算过程，容易执行。不需要对收益率做出正态分布（或其它分布）的假设，不需要假设序列独立，因此，能够处理非线性、非正态分布资产报酬的问题，而且并未排除分配可能具有厚尾的特性。不需要估计额外的参数（如投资组合的协方差矩阵等），不存在选择参数估计方法、或是参数估计发生误差的问题。在使用历史模拟法的过程中，模拟出了投资组合收益的分配，同时也可以算出其偏度、峰度，对投资组合收益的形态可有进一步的了解。88VAR的度量方法历史模拟法的优点：27VAR的度量方法历史模拟法的缺点：

对所有的观察值给予相同权重，高估了早期事件的影响力，也忽略了近期重要事件的影响。所需的历史资料必须够长，否则估计误差会太大。尤其当信赖水准很高的时候，需要更长的观察期间来作为模拟的基础。而如果投资组合中有一些很新的资产，这些资产很有可能根本没有那么多历史资料。因此，观察期间长度的取决，也成为一个难以解决的问题。当投资组合庞大时，计算过程会相当繁杂。同样地，在计算VaR时，必须分别计算加入新资产前、后的投资组合价值，没有办法采取较为简洁的方法。89VAR的度量方法历史模拟法的缺点：28VAR的度量方法VaR的度量方法4：蒙特卡罗模拟法

蒙特卡罗模拟法是模拟未来特定期间，所可能发生的资产价格变化，并依此建立资产收益之分配，进而推估VaR，如此不但涵盖变量的所有可能状况，也可以处理非常态模型。对一个资产组合的所有资产，假设每个资产有若干被观察状态，每次对一个资产随机抽取一种被观察状态，抽出后放回，使得这些被观察状态可被重复抽取，且容许重抽出来的被观察状态数目多于原有的样本数目。重复成千上万次，用模拟出来的资产组合的价值分布来代替真正的分布，计算VaR，以及平均数、标准差、中位数、某个分位数等统计量。当重复模拟的次数愈多时，估计值也就愈接近真实的参数。90VAR的度量方法VaR的度量方法4：蒙特卡罗模拟法29VAR的度量方法蒙特卡罗模拟法的优缺点：

优点：不但可以计算非线性价格风险、波动性风险及模型风险，甚至也可以处理信用风险，更可以融入时间变异的方差、厚尾以及极端状况等。缺点：1、要为资产价格决定适当的模型以及模型参数，这不是一件容易的事情。2、随机数的分配，产生随机数的算法、抽取方式，会影响模拟的结果。3、必须要有足够的重复模拟次数，才能提高结果的正确性。是否使用蒙特卡罗法，需要在速度与正确性做出取舍。91VAR的度量方法蒙特卡罗模拟法的优缺点：30VAR的度量方法VaR的度量方法5：极值估计法

极值法（ExtremeValueEstimation）的基本概念在针对概率分配尾部来估计其函数型态，最早提出相关理论的为Hill（1975），其利用动差的方法估计出一个指数，称为「尾部指数」。

F(x)=1–Ax-α[1+Bx-β

+O(x-β)]asx

→+

∞

92VAR的度量方法VaR的度量方法5：极值估计法31VAR的度量方法VaR的度量方法6：Portfolio-Normal法Portfolio-Normal法假设金融机构资产组合整体之收益（或价格变动）为正态分布，且假设平均收益率等于0，然后依据正态分布的特性，快速地从标准差求得各不同信赖区间的临界值。

Portfolio-Normal法的典型应用是估计消费性贷款、信用卡偿还等的信用风险。例如考虑一个包含许多小额消费借款的资产组合，由于个别消费借款是否偿还为一个二项分布（binomialdistribution），而在贷款笔数趋近于无穷大时，整个标的资产组合价格变动分布（偿还金额）将趋近于正态分布。

优点：计算方便，快；缺点：精度低。93VAR的度量方法VaR的度量方法6：Portfolio-NoVAR的度量方法VaR的度量方法7：压力测试法压力测试法的做法是：假设一些情景，对在情景s假设未来的收益率为Rp,s*，各种不同情景下得到不同的Rp,s*，对于情景s给定概率ps，就能得到投资组合收益的分配，藉以求出VaR。压力测试有两个特色：一，可以评估极端事件发生时对投资组合风险的影响；二，是个较为主观的方法，风险管理者必须判断适当的衡量情景。94VAR的度量方法VaR的度量方法7：压力测试法33VAR的度量方法压力测试法的优缺点：优点是能涵盖了历史资料中没有的情景，能迫使管理阶层去面对过去忽略的事情。

缺点：1、情景的选择、概率的给定过于主观，导致错误的VaR计算。2、无法给出最差情况的机率，无法处理相关性的问题，不能看出投资组合分散风险的好处。因此，压力测试只能用来补足其它度量方式的不足，对最糟状况加以预测评价，但无法取代其它度量方式。95VAR的度量方法压力测试法的优缺点：34VAR度量方法的检验96VAR度量方法的检验35回溯检验（Backtest）所谓回溯检验，是对于给定的一定数量的观察样本，比较这个样本区间发生的损失和估计出来的VaR。损失超过VaR的叫做例外数。按照VaR的定义，例外数应该大体上与置信水平设定的期望目标相接近。另外，1000天置信水平为95%的例外数应该接近50。

97回溯检验（Backtest）所谓回溯检验，是对于给定的一定数模型好坏的一个统计检验一般地可以假设例外服从二项分布，构造如下统计量：这里X是例外数，N是样本总数，p是置信水平，q=1-p。当N足够大，Z服从0，1正态分布。这样可以用来检验模型的好坏。例如如果Z>1.645，可以在95%的水平上拒绝模型。

98模型好坏的一个统计检验一般地可以假设例外服从二项分布，构造如VAR的局限99VAR的局限38VAR的局限VaR主要适用于正常条件下对于风险的衡量，而对于出现极端情况时却强差人意.由于VaR对数据的严格要求，该风险衡量方法对于交易频繁、市场价格容易获取的金融工具的风险衡量效用比较显著，而对于缺乏流动性的资产，如银行的贷款等，由于缺乏每日市场交易价格数据，其衡量风险的能力受到很大的局限。有时，需要将流动性差的金融产品分解为流动性较强的金融产品的组合，然后再使用VaR模型来分析其风险。100VAR的局限VaR主要适用于正常条件下对于风险的衡量，而对使用VaR来衡量市场风险，存在所谓的模型风险(modelrisk)，即由于同样的VaR模型可以使用历史模拟法、蒙特卡罗模拟法和方差一协方差参数法等不同的方法得到资产收益的不同的概率分布，这样会对同样的资产组合得到不同的VaR值，这使得VaR的可靠性难以把握。一项针对VaR的研究曾对三个假定的组合使用八种具体的方法来估算每个组合的VaR值，发现对于同一个组合，这八种方法估算出的VaR值最大相差14倍。这使得无论是监管部门还是金融机构自身都很难对不同的VaR模型进行评价和选择。正是由于这种局限性，巴塞尔银行监管委员会要求使用Backtest来检验金融机构所用的VaR模型的有效性。VAR的局限101使用VaR来衡量市场风险，存在所谓的模型风险(modelVaR模型在衡量市场风险获得很大的成功，在度量信用风险、操作风险也有长足的进步，而对于流动性风险、道德风险、法律风险、经营风险等却难以反映。因此，VaR是一种试图将金融机构或投资组合所面临的利率、汇率、违约可能等不同种类的风险用一个数字表示的方法，但是这个数字远不能反映金融机构或投资组合所面临的全部风险。VAR的局限102VaR模型在衡量市场风险获得很大的成功，在度量信用风险、操VaR模型对历史数据依赖性较大。首先，历史模拟法直接依赖于大量的历史数据；其次，在参数法中，尽管可以通过观测期权市场得到金融工具的所谓隐含波动性(impliedvolatility)，但这种方法在很大程度上受到期权市场发展的制约，并不具有普遍的实用性，目前，巴塞尔银行监管委员会也还没有同意在衡量市场风险资本要求的内部模型使用这种参数估计方法，因此，参数法对方差和协方差的估计也对历史数据有很大的依赖。然而，依赖历史数据的根本缺陷在于历史不一定总能成为未来很好的指引，依据过去的收益数据来确定未来收益的风险存在固有的缺陷。VAR的局限103VaR模型对历史数据依赖性较大。VAR的局限42VaR作为当前金融机构风险管理的标准模式存在的另一个问题在于，在VaR管理体系下，受到重视的只是概率因素，即损失发生的可能性，而根据最新发展的总体风险管理(totalriskmanagement，TRM)的3P理论，风险的价格，即转移或对冲风险付出的代价和投资者对风险的心理偏好在风险管理决策中也发挥着重要的作用，不可不加以考虑。价格(price)、偏好(preference)和概率(probability)三因素共同决定了现代金融风险管理的基本框架。VAR的局限104VaR作为当前金融机构风险管理的标准模式存在的另一个问题在Markowitz理论的最大贡献是分散化经营可降低风险。VaR无法体现分散化经营对风险的降低.如果记u是一个风险度量函数，则资产组合X和Y的分散经营收益定义为:u(X)+u(Y)–u(X+Y)按照Markowitz理论，这个值应该是非负的。但是用VaR则不一定。VAR的局限105Markowitz理论的最大贡献是分散化经营可降低风险。VA假如有一个由资产A和B构造的资产组合,资产A是一个卖出期权,一天后到期,资产B是一个买入期权,也是一天后到期.假设每个期权都有4%的概率损失资金。资产A和B都有96%的机会不损失任何资金.因此置信水平为95%的VaR值都是为0.但是,如果这两个资产组合在一起,则只有92%的机会不损失资金,因此,它在置信水平为95%的VaR值不为零。VAR的局限106假如有一个由资产A和B构造的资产组合,资产A是一个卖出期权,VAR的局限107VAR的局限46VAR的局限基于VaR只对证券组合进行优化时，可能存在多个极值，局部最优解不一定是全局最优解，这在数学上难以处理。考虑一个只有两种特殊资产组成的资产组合。资产i在0时刻价格为pi,在1时候或者以概率πi收益为1，或者以1-πi

概率收益为0,而且只有一个资产在1时刻有收益.假设投资者在0时刻的总财富是W，投资者的效用函数是log(x)。108VAR的局限基于VaR只对证券组合进行优化时，可能存在多个极VAR的局限假设投资者的风险置信水平是δ，目标VaR是K。投资者要在0时刻做投资决策：需要购置两种资产各多少(x1，x2)，满足其财富约束，以及VaR风险约束，并且期望效用最大。maxπ1log(x1)+π2log(x2)s.t.x1p1+x1p1≦W

π11(x1≦K)+π21(x2≦K)

≦

δ

109VAR的局限假设投资者的风险置信水平是δ，目标VaR是K。4VAR的局限110VAR的局限49IVaR：IncrementalVaR当投资组合加入新的资产后，新的VaR值与加入新资产前之VaR的差，被称为IVaR。IVaR(i)=VaRP+i–VaRPIVaR为正时，表示新的资产增加了原资产组合的风险；IVaR为负。表示新的资产减小了原资产组合的风险。因此IVaR可以作为新增资产对资产组合风险影响的判据。当资产数目很多的时候，计算IVaR的过程就会比较繁杂，也就拉长了计算时间111IVaR：IncrementalVaR当投资组合加入新的资MVaR:MarginalValue-at-RiskMVaR度量某一给定头寸的一个微小变化对整个资产组合的VaR的冲击。MVaR(i)=dVaRP/dvivi是资产i在资产组合中的数量，pi是资产I的价格。资产组合的价值RP=∑pi*viMVaR相当于VaR的delta112MVaR:MarginalValue-at-RiskMVaDeltaValue-at-RiskDeltaVaR度量整个资产组合的VaR在每个组成头寸上的分配比例。DVaR=MVaR(i)*viVaR=∑DVaR(ｉ)DeltaVaR是IVaR的线性逼近。113DeltaValue-at-RiskDeltaVaR度量整VaR=∑DVaR(i)的证明记VaR（v1,..,vn）为整个Portfolio的VaR.