离散时间信号与系统基础讲义

第一章离散时间信号与系统学习目标

掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。作业练习

P42:2(2)(3)(4)34(1)6(2)78(3)(4)(5)(6)(7)101214(1)(2)x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有意义一、离散时间信号—序列序列：对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

n取整数。对于不同的n值，是一个有序的数字序列：该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。如何表示一个有限长序列？序列x(n)={2,1.2,-1.4,3,1,4,3.1,7}用向量表示序列：位置n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4]数值x=[2,1.2,-1.4,3,1,4,3.1,7]

若采样从n=0开始，可用x向量表示序列x(n)(注意：Matlab数组的下标是从1开始)n为整数1、序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和1）移位序列x(n)，当m>0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位2）翻褶

x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n)

加以翻褶3）和

同序列号n的序列值逐项对应相加4）积同序号n的序列值逐项对应相乘5）累加6）差分前向差分：：后后向差分分：7）时间尺尺度变换抽取插值8）卷积和和设两序列x(n)、、h(n)，则其卷积和和定义为：：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：举例说明卷卷积过程y(n)卷积和与两两序列的前前后次序无无关2、几种典典型序列1）单位抽样序序列2）单位阶阶跃序列与单位抽样样序列的关关系3）矩形序序列与其他序列列的关系4）实指数数序列为实数5）复指数数序列为数字域频率例：6）正弦序序列模拟正弦信信号：数字域频率率是模拟域域频率对采采样频率的的归一化频频率7）任意序序列x(n)可以表示成成单位取样样序列的移移位加权和和，也可表表示成与单单位取样序序列的卷积积和。例：3、序列的的周期性若对所有n存在一个最最小的正整整数N，满足则称序列x(n)是周期性序序列，周期期为N。例：因此，x(n)是周期为8的周期序序列讨论一般正正弦序列的的周期性分情况讨论论1）当为为整数数时2）当为为有理理数时3）当为为无理理数时例：判断是否是周期序列讨论：若一一个正弦信信号是由连连续信号抽抽样得到，，则抽样时时间间隔T和连续正弦弦信号的周周期T0之间应是什什么关系才才能使所得得到的抽样样序列仍然然是周期序序列？设连续正弦弦信号：抽样序列：：当为整数或有有理数时，，x(n)为周期序列列令：例：N，k为互为素数数的正整数数即N个抽样间隔隔应等于k个连续正弦弦信号周期期4、序列的的能量序列的能量量为序列各各抽样值的的平方和二、线性移移不变系统统一个离散时时间系统是是将输入序序列变换成成输出序列列的一种运运算。离散时间系统T[·]x(n)y(n)1、线性系系统若系统满足叠加原原理：或同时满足足：可加性：比例性/齐齐次性：其中：则此系统为为线性系统统。例：证明由由线性方程程表示的系系统是非线性系系统线性系统满满足叠加原原理的直接接结果：零零输入产生生零输出。。增量线性系系统线性系统x(n)y0(n)y(n)2、移不变变系统若系统响应应与激励加加于系统的的时刻无关关，则称为为移不变系系统（或时时不变系统统）例：试判断是否是移不变系统同时具有线线性和移不不变性的离离散时间系系统称为线线性移不变变系统LSI：LinearShiftInvariant3、单位抽抽样响应与与卷积和单位抽样响响应h(n)是指输入为为单位抽样样序列时时的系统统输出：T[·]对LSI系统，讨论论对任意输输入的系统统输出T[·]x(n)y(n)一个LSI系统可以用用单位抽样样响应h(n)来表征，任任意输入的的系统输出出等于输入入序列和该该单位抽样样响应h(n)的卷积和。。LSIh(n)x(n)y(n)例：思考:当x(n)的非零区间间为[N1,N2]，h(n)的非零区间间为[M1,M2]时，求解系系统的输出出y(n)又如何分段段？结论：若有限长序序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和和的长度L为：L=N+M-14、LSI系统的性质质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)5、因果系系统若系统(指指任意系统统)n时刻的输出出，只取决决于n时刻以及n时刻以前的的输入序列列，而与n时刻以后的的输入无关关，则称该该系统为因因果系统。。LSI系统是因果果系统的充充要条件：：6、稳定系系统稳定系统(指任意系系统)是有有界输入产产生有界输输出的系统统若LSI系统是稳定定系统的充充要条件：：则例：某LSI系统，其单位抽样响应为试讨论其是否是因果的、稳定的。结论：因果稳定的的LSI系统的单位位抽样响应应是因果的的，且是绝绝对可和的的，即：三、常系数数线性差分分方程用差分方程程来描述时时域离散系系统的输入入输出关系系。一个N阶常系数线线性差分方方程表示为为：其中：求解常系数数线性差分分方程的方方法：1）经典解解法2）递推解解法3）变换域域方法例1：已知知常系数线线性差分方方程若边界条件件求其单位抽抽样响应。。例2：已知知常系数线线性差分方方程同上例例若边界条件件求其单位抽抽样响应。。例3：已知知常系数线线性差分方方程同上例例若边界条件件讨论系统的的线性性和和移不变性性。一些关于差差分方程的的结论：一个差分方方程不能唯唯一确定一一个系统常系数线性性差分方程程描述的系系统不一定定是线性移移不变的不一定是因因果的不一定是稳稳定的差分方程系系统结构Z-1ax(n)y(n)四、连续时时间信号的的抽样讨论：采样前后信信号频谱的的变化什么条件下下，可以从从采样信号号不失真地地恢复出原原信号1、理想抽抽样冲激函数：：理想抽样输输出：抽样信号的的频谱是模模拟信号频频谱以抽样样频率为周周期进行周周期延拓而而成频谱幅度是是原信号频频谱幅度的的1/T倍倍若信号的最最高频率则延拓分量量产生频谱谱混叠奈奎斯特抽抽样定理要想抽样后后能够不失失真地还原原出原信号号，则抽样样频率必须须大于两倍倍信号谱的的最高频率率2、抽样的的恢复利用低通滤滤波器还原原满足奈奎奎斯特抽样样定理的抽抽样信号。。ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)H[jΩ]理想低通滤滤波器:输出：讨论3、实际抽抽样抽样脉冲不不是冲激函函数，而是是一定宽度度的矩形周周期脉冲其中系数数Ck随k变化抽样信号号频谱抽样信号号的频谱谱是连续续信号频频谱的周周期延拓拓，周期期为Ωs若满足奈奈奎斯特特抽样定定理，则则不产生生频谱混混叠失真真抽样后频频谱幅度度随着频频率的增增加而下下降幅度变化化并不影影响信号号恢复，，只要取取解：4、正弦弦信号的的抽样连续时间间正弦信信号：9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。12月月-2212月-22Sunday,December25,202210、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。19:13:3619:13:3619:1312/25/20227:13:36PM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。12月-2219:13:3619:13Dec-2225-Dec-2212、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。19:13:3619:13:3619:13Sunday,December25,202213、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。12月月-2212月月-2219:13:3619:13:36December25,202214、他乡乡生白白发，，旧国国见青青山。。。25十十二二月20227:13:36下下午19:13:3612月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。十二月227:13下午午12月-2219:13December25,202216、行动出出成果，，工作出出财富。。。2022/12/2519:13:3619:13:3625December202217、做前，，能够环环视四周周；做时时，你只只能或者者最好沿沿着以脚脚为起点点的射线线向前。。。7:13:36下午午7:13下午午19:13:3612月-229、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。12月-2212月-22Sunday,December25,202210、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。19:13:3619:13:3619:1312/25/20227:13:36PM11、成功就是是日复一日日那一点点点小小努力力的积累。。。12月-2219:13:3619:13Dec-2225-Dec-2212、世间成事事，不求其其绝对圆满满，留一份份不足，可可得无限完完美。。19:13:3619:13:3619:13Sunday,December25,202213、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。12月-2212月-2219:13:3619:13:36December25,202214、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。25十十二月20227:13:36下午午19:13:3612月-2215、楚塞三湘接接，荆门九派派通。。。十二月227:13下下午12月-2219:13December25,202216、少年十五二二十时，步行行夺得胡马骑骑。。2022/12/2519:13:3619:13:3625December202217、空山山新雨雨后，，天气气晚来来秋。。。7:13:36下下午7:13下下午午19:13:3612月月-229、杨柳柳散和和风，，青山山澹吾吾虑。。。12月月-2212月月-22Sunday,December25,202210、阅读读一切切好书书如同同和过过去最最杰出出的人人谈话话。19:13:3619:13:3619:1312/25/20227:13:36PM11、越越是是没没有有本本领领的的就就越越加加自自命命不不凡凡。。12月月-2219:13:3719:13Dec-2225-Dec-2212、越越是是无无能能的的人人