2002年高考全国卷理科数学试题及答案1

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．（1）圆（x-1）2+y2=1的圆心到直线y=13x的距离是TOC\o"1-5"\h\z（A）—（B）——（C）1（D）v32、四八（2）复数（-+--i）3的值是（A）-i（B）i（C）-1（D）1（3）不等式（1+x）（1-IxI）>0的解集是（A）{xI0<x<1}（B）{xIx<0且xW-1}（C）{xI-1<x<1}（D）{xIx<1且xW-1}（4）在（0,2兀）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是、/兀兀5兀、，、/兀、、/兀5兀、、/兀5兀3兀、（A）（—,—）U（兀,—-）（B））（C）（―,---）（D）（—,兀）U（—,—）TOC\o"1-5"\h\z424444442k1k1（5）设集合M={xIx=一十—,kgZ}，N={xIx=+—,kgZ}，贝|2442（A）M=N（B）MuN（C）MnN（D）MDN=0x=12（6）点P（1,0）到曲线〈八（其中参数tgR）上的点的最短距离为Iy=2t(A)0(A)0(B)1(c)<2(D)2(7)一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是3(A3(A)一44(B)53(C)5⑻正六棱柱ABCDEF-A1BCD1E1F1的底面边长为，侧棱长为、;2，则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是(A)90。(B)60。(c)45。(D)30。(9)函数y=x2+bx+c(e[0,+8))是单调函数的充要条件是(A)b>0(B)b<0(C)b>0(D)b<0(11)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(A)8种(B)12种(C)16种(D)20种(12)据3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间(一)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为(A)115000亿元(B)120000亿元(C)127000亿元(D)135000亿元第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．(13)函数y=0x在［0,1］上的最大值与最小值这和为3,则a=(14)椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=(15)(x2+1)(x—2)7展开式中x3的系数是(16)已知f(x)=£，那么f(1)+f⑵+f(2)+f(3)+f(3)+f⑷+f(4)=三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

兀.（17）已知sm22a+sm2acosa-cos2a=1,ae（0,一），求sina、tga的值21（18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0<a<22）（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角a的大小.（19）设点P到点（—1,0）、（1,0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围.（20）某城市末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（21）设a为实数，函数f（x）=x2+Ix-aI+1，xeR（1）讨论f（x）的奇偶性;（2）求f（x）的最小值.n+1n（22）设数列｛a｝满足：a=a2—na+1，n=n+1n求a,a,a并由此猜测a的一个通项公式;234（II（II）当a1>3时,证明对所的n>1,有（i）a>n+2n（ii）+++…+1+a1+a1+a1+a123n参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACDCBBCBABBC、填空题7(13)2(14)1(15)1008(16)—2三、解答题(17)解：由sin22a+sin2acosa-cos2a=1,得4sin2acos2a+2sinacos2a_2cos2a=02cos2a(2sin2a+sina_1)=02cos2a(2sina_1)(sina+1)=0ag(0,一)2sina+1丰0,cos2aw=02sina_1=0,即sina=—一..a——6,—品•tga--3-(18)解(I)作MP〃AB交BC于点P,NQ//AB交BE于点Q，连结PQ,依题意可得MP/NQ，且MP-NQ,即MNQP是平行四边形.•.MN-PQ由已知CM-BN-a,CB-AB-BE-12AC-BF=\2,CP-BQ--2-aMN-PQ-.v'(1_CP)2+BQ2--v(1+(言)2--'(a_22+1(0<ad)22

(II)由(I)MN(II)由(I)MN=所以，当a=所以，当a=时，MN=——22即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为(III)取MN的中点G，连结AG、BG,•・•AM=AN,BM=BN，G为MN的中点・•.AG±MN,BG±MN,即ZAGB即为二面角的平面角a又AG=BG=二］，所以，由余弦定理有4TOC\o"1-5"\h\z八6、,66()2+(―)2-144cosa=-―什-6%6+62・・441故所求一面角为a=兀一arccosq(19)解：设点P的坐标为(％,y)，依题设得善—2，即y=±2%,x丰0I%I因此，点P(%,y因M因1,0)、N(1,0)三点不共线，得IIPMI-IPNII<IMNI―2VIIPMI-IPNII―2ImI>00<ImI<1因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2ImI的双曲线上，故X2y2——————1m21-m2-%2y2将y―±2x代入——————1,并解得m21-m2

m2(1-m2)x2二1一5m2所以1一5m2>0即m的取值范围为(一噂,0)U(0,辛TOC\o"1-5"\h\z(20)解：设末汽车保有量为b万辆，以后各年末汽车保有量依次为b万辆，b万辆，…，123每年新增汽车x万辆，则b=30，b=bx0.94+x121对于n>1，有b=bx0.94+xn+1n=bx0.942+(1+0.94)xn一1所以b=bx0.94n+x(1+0.94+0.942+…+0.94n)n+111一0.94nbx0.94n+x10.06x0.06+(30x0.06+(30一x0.06)x0.94nx当30一>0，即x<1.8时0.06b<b<-<b=30.n+1n1x当30一<0，即x>1.8时0.06x数列｛b｝逐项增加，可以任意靠近二TOC\o"1-5"\h\zn0.06xxxlimb=lim[——+(30一——)x0.94n-1]=——n~nn*0.060.060.06因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b<60(n=1,2,3,-)nx则0-06<60，即x<3.6万辆综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆,(21)解：(I)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+I-xI+1=f(x)此时，f(x)为偶函数当a牛0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2IaI+1,f(a)丰f(-a),f(a)丰-f(-a)此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数13(II)(i)当x<a时，f(x)=x2-x+a+1=(x-—)2+a+—24当a<1,则函数f(x)在(-8,a］上单调递减，从而函数f(x)在(-8,a］上的最小值为TOC\o"1-5"\h\z1131若a>-，则函数f(x)在(-8,a］上的最小值为f(-)=+a，且f(-)<f(a).乙乙I乙13(ii)当x>a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+—)2-a+—241131若a<--，则函数f(x)在(-8,a］上的最小值为f(--)=-a，且f(--)<f(a)乙乙I乙若a>-1,则函数f(x)在［a,+8)上单调递增，从而函数f(x)在［a,+8)上的最小值为13综上，当a<--时，函数f(x)的最小值为z-a乙I当-1<a<1时，函数f(x)的最小值为a2+113当a>5时，函数f(x)的最小值为工+a.

LI(22)解⑴由4=2，得a2=a「a1+1=3由a=3，得a=a2-2a+1=42322由a=4，得a=a2-3a+1=53433由此猜想a的一个通项公式：a=n+1(n>1)nn(II)(i)用数学归纳法证明：①当n=1时，a>3=1+2，不等式成立.1②假设当n=k时不等式成立，即a>k+2，那么ka