平面向量数量积：2性质及应用

PAGEPAGE10平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示1 1 2 设非零向量a＝(x，y)，b＝(x，y1 1 2 数量积数量积两个向量的数量积等它们对应坐标的乘积的，即a·b＝ x1x2＋两个向量垂直y1y2x1x2＋y1y2＝0 []1.公式a·b＝|a||b|cos<a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．2．平面向量的模与夹角的坐标表示设向量a＝，1，＝，2，a与b的夹角为，则有下表：坐标表示坐标表示|a|2＝ x2＋y2 或模1 1x2＋y21 1设A(x，y)，B(x，y)，则|→|＝1 1a·bco|a||b＝2 2ABx－x2＋y－y22 12 1夹角xx＋yy12 12x2＋y2(a，b为非零向量)1 1x2＋y22 2[知识点拨]向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a＝(x，y)，→ A(x，y)OA＝a＝(x，y)，∴|OA|＝|a|＝x2＋y2，→ 即A

，y)，B(x，y

)，则→＝(x－x，y－y)，∴|→|1 1 2 2

AB 2 1 2 1 AB2 1 2 ＝x－x2＋y－y2 1 2 1．若向量a＝(－1,2)，b＝(1，－2)，则a·b＝( D )A．0C．－4

B．2D．－52．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等( B )A．3B．1C．－13a＝(－1,3)，则|a|＝(CD．－3)A．2B．2C．10D．1044．已知a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，则a与b的夹角为3π．4命题方向 数量积的坐标表示典例1 已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．[解析] 解法一：因为＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2＝3×5－7×8＋2×13＝－15．解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)．∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15．『规律总结』进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．〔跟踪练习1向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( C )C．1

B．0D．2[解析] a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1．命题方向 利用坐标解决向量的夹角问题典例2 (1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．[思路分] 本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用向量的坐标运a＝(xb＝(x)a·b＝x

x＋y

和1 1 2 2

12 1a·b

1 1x2＋y22 2xxx2＋y22 2的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝|a||b|＝

12 12 ．x2＋y2· x2＋y2[解析] (1)

(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，

1 1 2 2∵AB＝→AC＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，→→∴AB·AC＝3×(－1)＋3×6＝15．→ 又32＋32＝3 －12＋62＝37，→ →→∴cos∠BAC＝AB·AC

15 5 7474＝ ．74| 3 →| 3 →(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5 2．a·b设a与b的夹角为θ，则cosθ＝

－15 2＝－3π又0≤θ≤π，∴θ＝4

|a||b| 3×5 2 2．『规律总结』用坐标求两个向量夹角的四个步骤：a·b的值；的值；根据向量夹角的余弦公式求出两向量夹角的余弦；(4)〔跟踪练习2设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．[解析] a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)．(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5．|a＋tb|＝4＋2t2＋t－32＝5t＋12＋20．5 2由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，得5t＋5＝2· t＋12＋4，即t2＋2t－3＝0．∴t＝－3或t＝1，经检验t＝－3不合题意，舍去，∴t＝1．利用平行、垂直求参数12 21 12 1y－xy＝012 21 12 11 1 2 ＝(x，y)，b＝(x，y))列关于某参数的方程(或方程组)1 1 2 典例3

→(2,3)

(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．在△ABC[思路分在△ABC[解析] 当

→·→0，

时，ABAC＝2∴k＝－3．当∠B＝90°

→·→

0 → →

(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，BC＝，BC＝AC－AB＝∴2×(－1)＋3×(BC＝，BC＝AC－AB＝当∠C＝90°

→·

∴k＝3．0，时，ACBC＝∴k＝2 ∴－1＋k(k－∴k＝2 2 11 3± 13综上所述或3或2 ．『规律总结』解决本题的关键是要判断△ABC论，不能只认为某个角就是直角，结果只考虑一种情况而导致漏解．〔跟踪练习3〕已知三个点A、B、C的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m，－3－m)，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．→[解析] 由已知，AB＝(3,1)，→AC＝(2－m,1－m)．∵△ABC为直角三角形，且∠A为直角，→ →∴AB⊥AC．→→∴AB·AC＝3(2－m)＋(1－m)＝0，7解得m＝4．忽视向量共线致误典例4 已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(

－2

1 A．(－∞，－2)∪

，2

B．2，＋∞－2 2

1C．

D．－∞，2[错解] ∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ>0，即a·b＝1－2λ>0，得λ1，故选D．<2[]ababcosθ＝1>0λ＝－2，显然是不合理的．[]aθ⇔cosθ>0cosθ≠1⇔a·b>0a≠mb(m>0)；θ⇔cosθ<0cosθ≠－1⇔a·b<0a≠mb(m<0)；θ⇔cosθ＝0⇔a·b＝0．[正解] ∵a与b的夹角θ为锐角，∴cosθ>0且cosθ≠1a·b>0ab方向不同，－2 1即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪ 故选A．[点评] 对于非零向量a与设其夹角为则θ为锐且cosθ≠1⇔a·b>0，且为钝且cosθ≠－1⇔a·b<0，且为直⇔cosθ＝0⇔a·b＝0．4a＝(2，x)，b＝(－4,5)abx的取值范围．8[解析] 由cosθ<0得x<5，a∥b

5 5 (2 5 1，即x＝－2，当x＝－2时，a＝，－2)＝－b，2所以a与b反向＝，故x8 52<5且x≠－2．1

1 1，则下列结论正确的( C )A．|a|＝|b|C．a－bb

(2，2)

2a·b＝D．a∥b21 1 2[解析] 由题

22＋22＝2．1 1 1 1 1a·b＝1×2＋0×2＝2，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝2－2＝0，∴a－bb垂直．2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合( C )A．{2,3}C．{2}

B．{－1,6}D．{6}[解析] 考查向量垂直的坐标表示∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构成的集合是{2}．3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状( A )C．钝角三角形

锐角三角形D[解析] ＝－3,3＝(1,1，·＝．π∴A＝2．4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ( B )C．－2－3D．－1[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件．m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3．5ab同向，b＝(1,2)，a·b＝10(1)a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b．[解析] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0·b＝0．A级基础巩固一、选择题1．已知点A(1,2，B(2,3，C2,5，·等于( B )A．－1C．1

B．0D．2[解析] ∵B＝(2,3)－(1,2)(1,1)，C＝(－2,5)－(1,2＝－3,3)，∴B·C＝1×(－3)＋1×3＝0．2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影( C )135B．13135655C．65 D．655[解析] ∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝65，∴a·b 5 5 65cosθ＝|a||b|＝

.∴ab|a|cosθ＝135＝5．3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝( C )4A．3C 3

4BB3．4[解析] 由题意(ka＋b)·(a－2b)＝0，而ka＋b＝(2－k,3k－1)，a－2b＝(－5,5)，

D．－4故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0 3，解得k＝4．4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，C )2B．2C．2 D．4[解析] 由2a－b与b垂直，(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0．2(－1＋n2)－(1＋n2)＝01＋n2＝1＋3＝2．5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则等于( C )510A． B．510C．5 D．25[解析] 可|b|＝5．已知向量若向量c满则c＝( D )A．7 7

B．( 7 7(9，3) －3，－9)C．7 7

D．( 7 7(3，9) －9，－3)[解析] 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)c⊥(a＋b)3m－n＝0二、填空题

7 7，∴m＝－9，n＝－3，故选7．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝ 2 ．[解析] 因为a＋b＝(－1，3)，所以|a＋b|＝－12＋ 8a＝(3，－1)，b＝(x，－2)

π 1 ．π 3x＋2

，且〈a，b〉＝4，则x＝4[解析] cos＝ ，解得x＝1或x＝－4(舍410×x2＋4三、解答题9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值．[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，(ka＋b)·(a－3b)＝0．即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19．10．已知a＝( 3，1)，b＝(2,2 3)．a·b；ab[解析] (1)a·b＝2 3＋2 3＝4 3．(2)cosθ＝

xx＋yy1212x2＋y2·1212x2＋y2·1 1x2＋y22 23＋1· 4＋12 2，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°．一、选择题

B级素养提升已知向量a＝( 是不平行于x轴的单位向量且a·b＝则b等( B )A． 3 B．1 32C．1 3 3

2，2D．(1,0)4，4[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则x2＋y2＝1， ① 3x＋y＝3，②将②代入①得x2＋( 3－3x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，1 3∴x＝1(舍去，此时或x＝2 y＝2．2y＝0A，不合题意，故选B．2．(2016·全国Ⅲ，文)

→ 1 3

( 3 1)，则∠ABC＝( A )0°C．60°

已知向量BA＝(2，

25°D．120°

2，21 3 3 12 2 2 →→ ×＋×2 2 2 [解析] 由题意得cos∠ABC＝BA·BC＝ ＝

30°，故选|→→ |BA||BC|A．

2，所以∠ABC＝设x向量且则|a＋b|＝( B )5C．2 5D．10[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝2＋12＋1－22＝10． 已知向量则向量b的夹角( A )3π2－θ－2C π－2

θ π．2＋θ

D．θ[解析] 由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限部分上( π∵2<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，3π∴a与b的夹角为2－θ．二、填空题已知两个单位向量b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝ 2 ．[解析] ∵a＝b＝1〈ab〉60，1∴a·b＝2，|b|2＝1，1 1∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝2t＋(1－t)＝1－2t＝0，∴t＝2．A(1,0)B(0,2)O(0,0)

→·→≤0 →→ →→

是坐标平面内一点，满足APOA，BP·OB≥0，OP·AB的最小值为3 ．→→[解析] ∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，→→∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2．→→∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3．三、解答题(1)bc；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．[解析] (1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12．∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3．∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，|m||n|m，nθ，则cosθ＝|m||n|＝ －32＋－4＝ －32＋－42×72＋12∵θ∈[0，π]，

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