北京市昌平区昌平五中学2022-2023学年数学九上期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．若一元二次方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣1且k≠02．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（）A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：53．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若，DE＝4，则EF的长是（）A． B． C．6 D．104．如图所示的是太原市某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是双曲线的一部分，其中，矩形中有一个向上攀爬的梯子，米，入口，且米，出口点距水面的距离为米，则点之间的水平距离的长度为（）A．米 B．米 C．米 D．米5．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变6．若点是反比例函数图象上一点，则下列说法正确的是（）A．图象位于二、四象限B．当时，随的增大而减小C．点在函数图象上D．当时，7．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是()A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜18．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n为（）A．20 B．24 C．28 D．309．如图，在平面直角坐标系中，点，y是关于的二次函数，抛物线经过点.抛物线经过点抛物线经过点抛物线经过点则下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当时，四条抛物线表达式中的均随的增大而增大；③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方；④抛物线与轴交点在点的上方.其中正确的是A．①②④ B．①③④C．①②③ D．②③④10．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40° B．50° C．60° D．80°11．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴于点A，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若OA＝1，则k的值为（）A．4 B．2 C．2 D．12．在一个不透明的布袋中有红色、黑色的球共10个，它们除颜色外其余完全相同．小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，则口袋中黑球的个数很可能是()A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在矩形中对角线与相交于点，，垂足为点，且，则的长为___________.14．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长为__________________．15．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．16．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分面积为__________．（结果保留π）17．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）__________．18．如图，P是反比例函数图象在第二象限上一点，且矩形PEOF的面积是3，则反比例函数的解析式为___________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，内接于，直径交于点，延长至点，使，且，连接并延长交过点的切线于点，且满足，连接．(1)求证：；(2)求证：是的切线．20．（8分）阅读下面内容，并按要求解决问题：问题：“在平面内，已知分别有个点，个点，个点，5个点，…，n个点，其中任意三个点都不在同一条直线上.经过每两点画一条直线，它们可以分别画多少条直线？”探究：为了解决这个问题，希望小组的同学们设计了如下表格进行探究：（为了方便研究问题，图中每条线段表示过线段两端点的一条直线）请解答下列问题：（1）请帮助希望小组归纳，并直接写出结论：当平面内有个点时，直线条数为；（2）若某同学按照本题中的方法，共画了条直线，求该平面内有多少个已知点.21．（8分）如图1为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．当，时，如图2，连杆端点离桌面的高度是多少？22．（10分）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（＝1．7）．23．（10分）如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，与x轴交于C点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数值大于反比例函数值？（3）点P是y＝（x＞0）图象上的一个动点，作PQ⊥x轴于Q点，连接PC，当S△CPQ＝S△CAO时，求点P的坐标．24．（10分）如图，正方形的边长为，，，，分别是，，，上的动点，且．（1）求证：四边形是正方形；（2）求四边形面积的最小值．25．（12分）已知正比例函数y=kx与比例函数的图象都过点A（m,1）.求：（1）正比例函数的表达式；（2）正比例函数图象与反比例数图象的另一个交点的坐标.26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线行经过点和点，交轴正半轴于点，连接，点是线段上动点(不与点重合)，以为边在轴上方作正方形，接，将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，过点作轴，交抛物线于点，设点．（1）求抛物线的解析式；（2）若与相似求的值；（3）当时，求点的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝9+9k≥0即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△＝9+9k≥0，∴k≥﹣1，∵k≠0，∴k≥﹣1且k≠0，故选：B．【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求方程中的参数，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式的应用．2、D【解析】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF∥CE得到==，则CE=DF，由DF∥AE得到==，则AE=4DF，然后计算的值．【详解】如图，过点D作DF∥CA交BE于F，∵DF∥CE，∴=，而BD：DC=2：3，BC=BD+CD，∴=，则CE=DF，∵DF∥AE，∴=，∵AG：GD=4：1，∴=，则AE=4DF，∴=，故选D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键.3、C【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【详解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝1．故选：C．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟悉定理是解题的关键．4、D【分析】根据题意B、C所在的双曲线为反比例函数，B点的坐标已知为B（2,5），代入即可求出反比例函数的解析式：y=，C（x，1）代入y=中，求出C点横坐标为10，可以得出DE=OD-OE即可求出答案.【详解】解：设B、C所在的反比例函数为y=B（xB,yB）∴xB=OE=AB=2yB=EB=OA=5代入反比例函数式中5=得到k=10∴y=∵C(xC,yC)yC=CD=1代入y=中∴1=xC=10∴DE=OD-OE=xC-xB=10-2=8故选D【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，根据已知参数求出反比例函数解析式是解题的关键.5、D【解析】试题分析：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选D．【考点】简单组合体的三视图．6、B【分析】先根据点A（3、4）是反比例函数y=图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四个选项进行逐一分析．【详解】∵点A（3，4）是反比例函数y=图象上一点，

∴k=xy=3×4=12，

∴此反比例函数的解析式为y=，

A、因为k=12＞0，所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误；

B、因为k=12＞0，所以在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项正确；

C、因为2×（-6）=-12≠12，所以点（2、-6）不在此函数的图象上，故本选项错误；

D、当y≤4时，即y=≤4，解得x＜0或x≥3，故本选项错误．

故选：B．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键．7、B【分析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，由此可知方程x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y=x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c的不等式组，解不等式组即可求得答案.【详解】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c＝0，所以△=1-4c>0，又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，所以函数y=x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则，解得c＜﹣2，故选B.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.8、D【详解】试题解析：根据题意得=30%，解得n=30，所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．故选D．考点：利用频率估计概率．9、A【分析】根据BC的对称轴是直线x=1.5,的对称轴是直线x=1，画大致示意图，即可进行判定.【详解】解：①由可知，四条抛物线的开口方向均向下，故①正确；②和的对称轴是直线x=1.5,和的对称轴是直线x=1,开口方向均向下,所以当时，四条抛物线表达式中的均随的增大而增大，故②正确；③和的对称轴都是直线x=1.5，D关于直线x=1.5的对称点为(-1,-2)，而A点坐标为(-2,-2),可以判断比更陡，所以抛物线的顶点在抛物线顶点的下方，故③错误；④的对称轴是直线x=1,C关于直线x=1的对称点为(-1,3)，可以判断出抛物线与轴交点在点的上方，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据对称点找到对称轴是解题的关键，充分运用数形结合的思想能使解题更加简便.如果逐个计算出解析式，工作量显然更大.10、D【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选D．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．11、C【分析】作BD⊥AC于D，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到AC＝1BD，再证得四边形OADB是矩形，利用AC⊥x轴得到C（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．【详解】解：作BD⊥AC于D，如图，∵ABC为等腰直角三角形，∴BD是AC的中线，∴AC＝1BD，∵CA⊥x轴于点A，∵AC⊥x轴，BD⊥AC，∠AOB＝90°，∴四边形OADB是矩形，∴BD＝OA＝1，∴AC＝1，∴C（1，1），把C（1，1）代入y＝得k＝1×1＝1．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了等腰直角三角形的性质．12、C【分析】根据题意得出摸出黑球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．【详解】∵小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，∴口袋中黑球的个数可能是10×60%＝6个．故选：C．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】由矩形的性质可得OC＝OD，于是设DE＝x，则OE＝2x，OD＝OC＝3x，然后在Rt△OCE中，根据勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求出x的值，进而可得CD的长，易证△ADC∽△CED，然后利用相似三角形的性质即可求出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，则OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得：x＝，即DE＝，∴，∵∠ADE+∠CDE=90°，∠ECD+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠ECD，又∵∠ADC=∠CED=90°，∴△ADC∽△CED，∴，即，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．14、【分析】由正方形的边长为，，，得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，根据三角函数的定义和正方形的性质，即可得到答案．【详解】∵正方形的边长为，，，∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1=，B2C2==，同理可得：B3C3=，以此类推：正方形的边长为：，∴正方形的边长为：．故答案是：．【点睛】本题主要考查正方形的性质和三角函数的定义综合，掌握用三角函数的定义解直角三角形，是解题的关键．15、k⩾-94【解析】利用判别式，根据不等式即可解决问题.【详解】∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝1有实数根，∴△≥1且k≠1，∴9+4k≥1，∴k⩾-94，且故答案为k⩾-94且【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝1时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜1时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．16、9﹣3π【解析】试题解析：连结AD．∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6，∴∠C=60°，AB=6，∵AD=AC，∴三角形ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∴∠DAE=30°，∴图中阴影部分的面积=17、【分析】根据正五边形的概念可证得，利用对应边成比例列方程即可求得答案.【详解】如图，由边框总长为40cm的五角星，知：，ABCDE为圆内接正五边形，∴，，∴，∴，同理：，∴，∴，设，则，∵，，∴，，即：，化简得：，配方得：，解得：2(负值已舍)，故答案为：2【点睛】本题考查了圆内接正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，判定是正确解答本题的关键.18、【分析】根据从反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段和坐标轴所围成的矩形的面积是，且保持不变，进行解答即可．【详解】由题意得，∵反比例函数图象在第二象限∴∴反比例函数的解析式为y＝－．【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数k的几何意义，即可完成.三、解答题（共78分）19、（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）根据切线的性质得到∠GAF=90°，根据平行线的性质得到AE⊥BC，根据圆周角定理即可得到结论；

（2）由DF=2OD，得到OF=3OD=3OC，由得到OC=OD=3OE，推出△COE∽△FOC，根据相似三角形的性质得到∠OCF=∠OEC=90°，于是得到CF是⊙O的切线．【详解】解：(1)是的切线，是的直径，，，，，，，；(2)，，，，，，是的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据切线的判定和性质去分析所缺条件是解题的关键．20、（1）；（2）8.【分析】（1）根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，由特殊到一般，总结出公式：；（2）将28代入公式求n即可.【详解】解：（1）当平面内有2个点时，可以画条直线；当平面内有3个点时，可以画条直线；当平面内有4个点时，可以画条直线；…当平面内有n（n≥2）个点时，可以画条直线；设该平面内有个已知点.由题意，得解得（舍）答：该平面内有个已知点【点睛】此题是探求规律题并考查解一元二次方程，读懂题意，找出规律是解题的关键，解题时候能够进行知识的迁移是一种重要的解题能力．21、【分析】作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．判断四边形PCHG是矩形，求出DP，CH，再加上AB即可求出DF．【详解】解：如图，作于，于，于，于．则四边形是矩形，，，，，∴，，，.∴连杆端点D离桌面l的高度是.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22、32.2m．【详解】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，根据题意，∠DBE=25°，∠CBE=30°．∵AB⊥AC，CD⊥AC，∴四边形ABEC为矩形，∴CE=AB=12m，在Rt△CBE中，cot∠CBE=，∴BE=CE•cot30°=12×=12，在Rt△BDE中，由∠DBE=25°，得DE=BE=12．∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.2．答：楼房CD的高度约为32.2m．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．23、（1）y＝﹣x+1；（2）当1＜x＜4时，一次函数值大于反比例函数值；（3）【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）由两个函数图象即可得出答案；（3）设P（m，），先求得△AOC的面积，即可求得△CPQ的面积，根据面积公式即可得到|1﹣m|•＝1，解得即可．【详解】解：（1）把A（1，4）代入y＝（x＞0），得m＝1×4＝4，∴反比例函数为y＝；把A（1，4）和B（4，1）代入y＝kx+b得，解得：，∴一次函数为y＝﹣x+1．（2）根据图象得：当1＜x＜4时，一次函数值大于反比例函数值；（3）设P（m，），由一次函数y＝﹣x+1可知C（1，0），∴S△CAO＝＝10，∵S△CPQ＝S△CAO，∴S△CPQ＝1，∴|1﹣m|•＝1，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴P（，）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．24、（1）详见解析；（2）四边形面积的最小值为1．【分析】(1)

由正方形的性质得出.∠A=∠B=∠C=∠D=90°

,AB=

BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=

FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论;

(2)设四边形EFG

H面积为S，AE=xcm,

则

BE=

(8-x)

cm,由勾股定理得出S=x2+

(8-x)2=2

(x-4)

2+1,

S是x的二次函数，容易得出四边形