悬索桥近似计算课件

悬索桥结构计算理论主要内容

概述☻悬索桥的近似分析悬索桥主塔的计算悬索桥成桥状态和施工状态的精确计算悬索桥结构计算理论主要内容概述11.概述1.1

悬索桥的受力特征

悬索桥是由主缆、加劲梁、主塔、鞍座、锚碇、吊索等构件构成的柔性悬吊体系，其主要构成如下图所示。成桥时，主要由主缆和主塔承受结构自重，加劲梁受力由施工方法决定。成桥后，结构共同承受外荷作用，受力按刚度分配。1.概述1.1悬索桥的受力特征悬索桥是由主缆、加劲梁、主2主缆是结构体系中的主要承重构件，受拉为主；主塔是悬索桥抵抗竖向荷载的主要承重构件，受压为主；加劲梁是悬索桥保证车辆行驶、提供结构刚度的二次结构，主要承受弯曲内力；吊索是将加劲梁自重、外荷载传递到主缆的传力构件，是连系加劲梁和主缆的纽带，受拉。锚碇是锚固主缆的结构，它将主缆中的拉力传递给地基。悬索桥各部分的作用主缆是结构体系中的主要承重构件，受拉为主；悬索桥各部分的作用31.概述(续)悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有着密切联系

早期，结构分析采用线弹性理论(由于桥跨小，索自重较轻，结构刚度主要由加劲梁提供。中期(1877),随着跨度的增加，梁的刚度相对降低,采用考虑位移影响的挠度理论。现代悬索桥分析采用有限位移理论的矩阵位移法。

跨度不断增大的同时，加劲梁相对刚度不断减小，线性挠度理论引起的误差已不容忽略。因此，基于矩阵位移理论的有限元方法应运而生。应用有限位移理论的矩阵位移法，可综合考虑体系节点位移影响、轴力效应，把悬索桥结构非线性分析方法统一到一般非线性有限元法中，是目前普遍采用的方法。

1.概述(续)悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有着密切4弹性理论（1）悬索为完全柔性，吊索沿跨密布；（2）悬索线性及座标受载后不变；（3）加劲梁悬挂于主缆，截面特点不变；仅有二期恒载、活载、温度、风力等引起的内力。

计算结果：悬索内力及加劲梁弯距随跨经的增大而增大。几种计算理论的基本假定

弹性理论几种计算理论的基本假定5挠度理论与弹性理论不同之处仅在于：考虑悬索竖向变形对内力的影响（不考虑剪力变形、吊杆倾斜及伸缩变形，影响较小）。线性挠度理论：忽略挠度理论中活载引起的主缆水平分力与竖向位移之间的非线性关系。

计算结果：加劲梁弯距铰弹性理论结果要小。有限位移理论

综合考虑各种非线性因素的影响，适于大跨径。几种计算理论的基本假定

挠度理论几种计算理论的基本假定61.概述(续)悬索桥设计的计算内容精确合理地确定悬索桥成桥内力状态与构形；合理确定悬索桥施工阶段的受力状态与构形，以期在成桥时满足设计要求；精确分析悬索桥运营阶段在活载及其它附加荷载作用下的静力响应；★悬索桥的设计计算要根据不同的结构形式、不同的设计阶段、不同的计算内容和要求来选用不同的力学模式和计算理论。基本上以计算主缆为主。

1.概述(续)悬索桥设计的计算内容71.概述(续)悬索桥成桥状态的确定小跨径悬索桥：确定桥成状态采用抛物线法。由于主缆自重轻，成桥态主缆近似呈抛物线形。大跨径悬索桥：主缆线型呈多段悬链线组成的索多边形，计算主缆线型主要有非线性循环迭代法和基于成桥状态的反算法。

1.概述(续)悬索桥成桥状态的确定小跨径悬索桥：确定桥成状82.悬索桥的近似分析2.1

成桥状态的近似计算法成桥状态近似计算作如下基本假定：主缆为柔性索，不计其弯曲刚度；加劲梁恒载由主缆承担；在主缆吊梁段，主缆、索夹、吊杆和加劲梁自重都等效为沿桥长均布的荷载q；在无梁段，主缆自重沿索长均匀分布。

什么是成桥状态计算?

2.悬索桥的近似分析2.1成桥状态的近似计算法成桥状态近92.悬索桥的近似分析(续)2.1

成桥状态的近似计算法主缆设计计算步骤：导出主缆成桥态的线形、张力以及几何长度的计算公式；扣除加劲梁恒载作用下主缆产生的弹性伸长量，得到主缆自由悬挂态的缆长，即自重索长；在索鞍两边无应力索长不变的情况下，用主缆在空挂状态塔顶左、右水平力相等的条件求索鞍预偏量；由自由悬挂状态下的缆长扣除主缆自重产生的弹性伸长，得到主缆无应力长度。以中跨为例，说明成桥状态的计算。

2.悬索桥的近似分析(续)2.1成桥状态的近似计算法主102.悬索桥的近似分析(续)2.2加劲梁在竖向荷载作用下的近似分析悬索桥加劲梁先铰接后固结的施工特点，决定了加劲梁在一期恒载作用下没有整体弯矩。加劲梁竖向荷载主要指二期恒载和活载等.如图所示。假定:忽略梁体剪切变形、吊杆的伸缩和倾斜变形对结构受力的影响，将离散的吊杆简化为一连续膜。微小索段的平衡方程为：(18)

2.悬索桥的近似分析(续)2.2加劲梁在竖向荷载作用下的112.悬索桥的近似分析(续)(19)

悬索桥计算模型

在成桥后竖向荷载p(x)作用下，荷载集度由q变为qp，外力作用下主缆和加劲梁产生挠度，主缆挠度由y变为(y+)，主缆水平拉力Hq变为(Hp+Hq)，根据式(18)有：(20)

将(18)、(19)两式相减得：

2.悬索桥的近似分析(续)(19)悬索桥计122.悬索桥的近似分析(续)(22)

以加劲梁为研究对象，在p(x)作用下加劲梁上的竖向荷载为：(23)

加劲梁的弹性方程为：设EI为常数，将(22)代入(20)整理得：式(23)就是挠度理论的基本微分方程。q(x)=p(x)-（-q＋qp）(21)

2.悬索桥的近似分析(续)(22)以加劲梁为研究对象，在132.悬索桥的近似分析(续)(24)

讨论：(25)

由于Hp是p(x)的函数，因此这一微分方程是非线性的。此外，方程中Hq、Hp和均为未知，求解时还需要一个补充方程。

利用全桥主缆长度变化的水平投影为零这一边界条件：式中：L－两锚碇间的水平距离式(25)中第三项进行分部积分，并利用x=0和x=L时=0的边界条件，有：或

2.悬索桥的近似分析(续)(24)讨论：(25)由于H142.悬索桥的近似分析(续)(28)

代入式(25)整理后得：式中：为线胀系数；t为温度变化；ECAC为主缆轴向刚度。(27)

(26)

2.悬索桥的近似分析(续)(28)代入式(25)整理后得152.悬索桥的近似分析(续)最后，非线性微分方程要通过(23)和(27)两式迭代才能求解，尚达不到实用计算的要求。针对大跨径悬索桥活载远比恒载为小的特点，Godard提出了在式(23)中只考虑恒载索力对竖向荷载的抗力，形成了线性挠度理论。此时线性叠加原理和影响线加载均可应用，使计算得到了简化。李国豪教授在此基础上于1941年提出了等代梁法和奇异影响线的概念，揭示了悬索桥受力的本质，使挠度理论变为实用计算成为可能。下面对等代梁法作一简要介绍。应该指出：线性挠度理论忽略了竖向荷载本身引起的主缆水平力对加劲梁受力的影响，这将使计算结果绝对值增大。因而，用于设计加劲梁是偏安全的。2.悬索桥的近似分析(续)最后，非线性微分方程要通过(23162.悬索桥的近似分析(续)2.3水平静风荷载作用下的实用计算水平静风荷载作用下悬索桥的变形如图所示。风载荷在桥上的实际分布是相当复杂的，在静风计算中，一般假定风荷载为沿桥跨方向均布的已知荷载。这样，作用在悬索桥上的风载将分别通过主缆和加劲梁传到基础。风荷在主缆与加劲梁之间的传递是由吊索完成的，其受力根据刚度分配。可见研究静风荷载的计算问题，首先必须研究风载在主缆和加劲梁上的分配问题。简单的计算方法有均等分配法。

水平静风荷载作用下的悬索桥

2.悬索桥的近似分析(续)2.3水平静风荷载作用下的实用172.悬索桥的近似分析(续)这种方法假定横向风荷在加劲梁和主缆间产生的重分配力(实质上就是吊杆沿梁长每延米的水平分力)为沿梁长的均布荷载q，索面和梁体在位移时保持刚性转动。于是，加劲梁和主缆跨中的水平位移d和c可写成：式中：c，d分别为索、梁横向风荷集度；l，EI分别为悬索桥跨径和梁横向抗弯刚度；H为主索水平拉力。(33)

2.悬索桥的近似分析(续)这种方法假定横向风荷在加劲梁和主182.悬索桥的近似分析(续)根据索面刚性转动的假定，有：式中：f，h分别为主缆的矢高，加劲梁形心到吊点距离。由式(33)、(34)得：将式(35)得到的q值代回式(33)，就可算出加劲梁和主缆的横向静风响应。(35)

(34)

2.悬索桥的近似分析(续)根据索面刚性转动的假定，有：式中192.悬索桥的近似分析(续)实际上风的重分配力q并不会沿梁长均匀分布，而是梁长座标x的函数，记为q(x)，索面和梁的位移也不满足刚性转动假定。因此，均等分配法的计算精度较差。相比之下，弹性分配法就有较高的计算精度。按照弹性分配法，悬索桥在横向风荷及重分配力q(x)的作用下，主缆和加劲梁的平衡微分方程为：

q(x)是一个未知荷载，可以根据梁、塔的位移协调条件，通过迭代计算求解。(36)

2.悬索桥的近似分析(续)实际上风的重分配力q并不会沿梁长203.主塔的计算3.1受力特点悬索桥主塔承受的主要荷载有:直接作用于塔身的自重、风荷、地震荷载、温变荷载；由主缆传来的荷载,它一方面改变加劲梁和主缆传至塔上的竖向荷载，另一方面将在塔顶产生顺桥向和横桥向的水平位移，当两根主索受力不一致时，主塔还会受扭。

工程中桥塔的设计流程如图示，下面结合设计流程逐一介绍主塔在纵向和横向荷载作用下的静力计算和稳定计算。

3.主塔的计算3.1受力特点悬索桥主塔承受的主要荷载有:213.主塔的计算(续)3.2主塔在纵向荷载作用下的实用计算纵向荷载是指顺桥向的风荷载、地震荷载、加劲梁和主缆传到主塔的活载等。在活载作用下，桥塔将发生水平位移，由于主塔纵向抗推刚度相对较小，塔顶水平位移的大小，主要是由主缆重力刚度的水平分量决定，而与塔的抗弯刚度关系不大。活载计算中常忽略塔的弯曲刚度，先求出主塔水平位移，再将它作为已知条件计算主塔内力。在计算中，必须考虑两种加载状态：最大竖向荷载与相应塔顶位移状态；最大塔顶位移与相应竖向荷载状态。一般来说，后一种状态可能更为不利。

3.主塔的计算(续)3.2主塔在纵向荷载作用下的实用计算223.主塔的计算(续)图14.9为纵向荷载作用下桥塔的计算模式。塔顶作用着主缆竖向分力p，活载或其它荷载引起的塔顶水平位移、加劲梁传来的集中力R，塔身受有塔自重、顺桥向风载或其它广义纵向纵向荷载，用带有几何非线性的平面杆系程序，可以直接对塔进行分析。为了定性分析，将塔自重集中于塔顶，讨论等截面塔在活载作用下的受力情况。x处的弯矩为：

式中：F使塔顶位移达到时的水平力。对于给定的悬索桥，通过缆梁体系分析可以求得p和，这里假定为一已知常量。纵向载作用下桥塔的计算模式

(37)

3.主塔的计算(续)图14.9为纵向荷载作用下桥塔的计算模233.主塔的计算(续)由塔的弯曲平衡微分方程：边界条件：

得：

得：

由

(43)

(42)

(38)

(44)

3.主塔的计算(续)由塔的弯曲平衡微分方程：边界条件：243.主塔的计算(续)

由式(43)可知，塔内弯矩主要与分母有关，当EI增大时，h减小，弯矩就急剧增大，为了经济地设计塔与塔基，h一定要比/2大。才能将塔内弯矩控制在较小的范围内。当然，确定h时也应考虑塔的纵向稳定性。对于变截面的主塔在各种荷载作用下的计算，也可按图示力学模型，用几何非线性有限元方法进行计算。3.主塔的计算(续)由式(43)可知，塔内弯矩主要253.主塔的计算(续)3.3主塔在横桥向荷载作用下的计算在横桥向荷载作用下，桥塔的计算模式如图示：塔顶作用着主缆的竖向分力，主缆传来的横向水平力Hc，下横梁上作用着加劲梁传来的竖向力Rs和横向水平力Hs，塔上还受有横向风载w、地震等广义荷载(y)和主塔自重。由于主塔受到主缆传来的巨大竖向分力P，因此分析时仍需用带有几何非线性的杆系程序。图14.10的分析模式中忽略了主缆对塔的水平约束(非保向力)作用，因此，其结果是偏安全的。

桥塔横桥向荷载作用下的计算模式3.主塔的计算(续)3.3主塔在横桥向荷载作用下的计算263.主塔的计算(续)3.4主塔在横桥向荷载作用下的组合主塔是在纵横桥向荷载共同作用下工作的,其响应可以用直接用空间有限元计算,也可以用上面两个平面问题来计算采用后者计算,内力(应力)组合时必须注意,竖向荷载引起的轴向力不能重复迭加3.5主塔的稳定计算塔在挂索前和成桥后作用纵向荷载时都有失稳的可能，必须对这两种状态进行稳定验算。挂索前主塔可看成是一单端固定受自重作用的变截面柱。可将变截面柱问题等效成等截面柱问题来计算。令等效荷载集度为q，等效刚度为EI，根据Eular稳定理论，易得：

3.主塔的计算(续)3.4主塔在横桥向荷载作用下的组合273.主塔的计算(续)在成桥状态下，必须考虑主缆对塔顺桥向失稳的约束作用。在计算中偏安全地将塔自重荷载移到塔顶作为集中荷载，与主缆竖向分力共同作用下，令其合力为P，根据14-3.1的推导，主塔挠度由式(14-43)表示，当主塔失稳时，v(x)，因此有

此式与一端简支，一端固定的压杆临界荷载相一致。对塔稳定问题更精确的计算，可按有限元方法并考虑砼徐变、收缩及塔施工初始缺陷的不利因素影响进行求解。否则应在安全系数取值时加以考虑。

(47)

(46)

(45)

h为主塔高度解得：

3.主塔的计算(续)在成桥状态下，必须考虑主缆对塔顺桥向失28以中跨为例，说明成桥状态的计算1)中跨主缆索形与张力计算图示，中跨主缆微小单元dx与主缆竖向分力的平衡条件为：(2)

(3)

(1)

所以有：

以中跨为例，说明成桥状态的计算1)中跨主缆索形与张力计291)中跨主缆索形与张力计算(续)若座标系如图选取，式(3)的解为：(5)

(4)

式中：f为索端连线在跨中到主缆的竖向距离，即矢高；

l为跨径；Hq为主缆水平力式(4)是一抛物线方程，用这种方法计算主缆也称抛物线法。将式(4)代入式(3)，得：可知：成桥态主缆水平分力处处相等。对于不吊梁的主缆段，其索形为悬链线。用抛物线法确定的索形是近似的，误差来自基本假定3。

8fqlH=21)中跨主缆索形与张力计算(续)若座标系如图选取，式(3302)中跨主缆成桥态和自由悬挂态的中心索长计算根据中跨索形方程积分，可得成桥态主缆中心线有应力索长为：(13)

(11)

将其展开为级数形式，则：

S=l(1+8/3n2

－32/5n4+......)

其中:n=f/l，为矢跨比；S为索长。加劲梁自重作用下主缆产生的弹性伸长量为：

式中：H=ql2/8f，为一、二期恒载引起的主缆近似水平拉力；

Ec为主缆弹性模量；Ac为主缆面积。

成桥态缆长扣除加劲梁自重引起的主缆弹性伸长量，可得自由悬挂态的缆长为：

S1=S－△S1

(12)

(14)

2)中跨主缆成桥态和自由悬挂态的中心索长计算根据中跨索形方31主缆自由悬挂状态下，索形为悬链线。取中跨曲线最低点为坐标原点，则对称悬链线方程为：(16)

(15)

式中：c=H/q；H为索力水平投影；q为主索每延米重。主缆自重引起的弹性伸长为：

3)主缆与吊索的无应力索长计算则主缆无应力长度为:S0=S－S1－S2

根据成桥状态主缆的几何线型、桥面线型，求得各吊索的有应力长度，扣除弹性伸长量，即得吊索无应力长度。

(17)

主缆自由悬挂状态下，索形为悬链线。取中跨曲线最低点为坐标原点32为了保证成桥态主塔不受弯，必须保证成桥状态下主缆中、边跨水平分力Hq是自平衡的。如果在挂索初期就强迫将主索就位于成桥状态，塔顶两边索的不平衡水平力将在塔内产生强大的弯矩，导致主塔失效或主塔发生很大的弯曲内力与变形为了使主塔在施工过程中始终处于低弯矩状态，从挂索开始就必须使鞍座有一个预偏量，并在施工过程中对它进行不断调整。确定鞍座预偏量的原则是挂索初态索自重在塔两边引起的水平力相等。根据索长、索力与索竖向投影和水平投影的关系，通过迭代计算，就可求出鞍座的预偏量。4)鞍座预偏量的概念为了保证成桥态主塔不受弯，必须保证成桥状态下主缆中、边跨水平33等代梁法如图示一受拉、弯耦合作用的简支梁，其上受均布荷载，两端拉力为Hq，在x截面处外荷引起的挠度为，其弯矩为：根据梁的理论：(29)

受拉、弯耦合作用的简支梁等代梁法如图示一受拉、弯耦合作用的简支梁，其上受均布荷载34等代梁法(续)对x求两次导数，整理得：将式(18)代入(31)，则：式(32)与线性挠度理论的平衡微分方程式（23）完全一致。可见，悬索桥线性挠度理论可以用等效梁来进行计算，这种方法称为等代梁法。

(32)

(31)

(30)

等代梁法(续)对x求两次导数，整理得：将式(18)代入(3135悬索桥结构计算理论主要内容

概述☻悬索桥的近似分析悬索桥主塔的计算悬索桥成桥状态和施工状态的精确计算悬索桥结构计算理论主要内容概述361.概述1.1

悬索桥的受力特征

悬索桥是由主缆、加劲梁、主塔、鞍座、锚碇、吊索等构件构成的柔性悬吊体系，其主要构成如下图所示。成桥时，主要由主缆和主塔承受结构自重，加劲梁受力由施工方法决定。成桥后，结构共同承受外荷作用，受力按刚度分配。1.概述1.1悬索桥的受力特征悬索桥是由主缆、加劲梁、主37主缆是结构体系中的主要承重构件，受拉为主；主塔是悬索桥抵抗竖向荷载的主要承重构件，受压为主；加劲梁是悬索桥保证车辆行驶、提供结构刚度的二次结构，主要承受弯曲内力；吊索是将加劲梁自重、外荷载传递到主缆的传力构件，是连系加劲梁和主缆的纽带，受拉。锚碇是锚固主缆的结构，它将主缆中的拉力传递给地基。悬索桥各部分的作用主缆是结构体系中的主要承重构件，受拉为主；悬索桥各部分的作用381.概述(续)悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有着密切联系

早期，结构分析采用线弹性理论(由于桥跨小，索自重较轻，结构刚度主要由加劲梁提供。中期(1877),随着跨度的增加，梁的刚度相对降低,采用考虑位移影响的挠度理论。现代悬索桥分析采用有限位移理论的矩阵位移法。

跨度不断增大的同时，加劲梁相对刚度不断减小，线性挠度理论引起的误差已不容忽略。因此，基于矩阵位移理论的有限元方法应运而生。应用有限位移理论的矩阵位移法，可综合考虑体系节点位移影响、轴力效应，把悬索桥结构非线性分析方法统一到一般非线性有限元法中，是目前普遍采用的方法。

1.概述(续)悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有着密切39弹性理论（1）悬索为完全柔性，吊索沿跨密布；（2）悬索线性及座标受载后不变；（3）加劲梁悬挂于主缆，截面特点不变；仅有二期恒载、活载、温度、风力等引起的内力。

计算结果：悬索内力及加劲梁弯距随跨经的增大而增大。几种计算理论的基本假定

弹性理论几种计算理论的基本假定40挠度理论与弹性理论不同之处仅在于：考虑悬索竖向变形对内力的影响（不考虑剪力变形、吊杆倾斜及伸缩变形，影响较小）。线性挠度理论：忽略挠度理论中活载引起的主缆水平分力与竖向位移之间的非线性关系。

计算结果：加劲梁弯距铰弹性理论结果要小。有限位移理论

综合考虑各种非线性因素的影响，适于大跨径。几种计算理论的基本假定

挠度理论几种计算理论的基本假定411.概述(续)悬索桥设计的计算内容精确合理地确定悬索桥成桥内力状态与构形；合理确定悬索桥施工阶段的受力状态与构形，以期在成桥时满足设计要求；精确分析悬索桥运营阶段在活载及其它附加荷载作用下的静力响应；★悬索桥的设计计算要根据不同的结构形式、不同的设计阶段、不同的计算内容和要求来选用不同的力学模式和计算理论。基本上以计算主缆为主。

1.概述(续)悬索桥设计的计算内容421.概述(续)悬索桥成桥状态的确定小跨径悬索桥：确定桥成状态采用抛物线法。由于主缆自重轻，成桥态主缆近似呈抛物线形。大跨径悬索桥：主缆线型呈多段悬链线组成的索多边形，计算主缆线型主要有非线性循环迭代法和基于成桥状态的反算法。

1.概述(续)悬索桥成桥状态的确定小跨径悬索桥：确定桥成状432.悬索桥的近似分析2.1

成桥状态的近似计算法成桥状态近似计算作如下基本假定：主缆为柔性索，不计其弯曲刚度；加劲梁恒载由主缆承担；在主缆吊梁段，主缆、索夹、吊杆和加劲梁自重都等效为沿桥长均布的荷载q；在无梁段，主缆自重沿索长均匀分布。

什么是成桥状态计算?

2.悬索桥的近似分析2.1成桥状态的近似计算法成桥状态近442.悬索桥的近似分析(续)2.1

成桥状态的近似计算法主缆设计计算步骤：导出主缆成桥态的线形、张力以及几何长度的计算公式；扣除加劲梁恒载作用下主缆产生的弹性伸长量，得到主缆自由悬挂态的缆长，即自重索长；在索鞍两边无应力索长不变的情况下，用主缆在空挂状态塔顶左、右水平力相等的条件求索鞍预偏量；由自由悬挂状态下的缆长扣除主缆自重产生的弹性伸长，得到主缆无应力长度。以中跨为例，说明成桥状态的计算。

2.悬索桥的近似分析(续)2.1成桥状态的近似计算法主452.悬索桥的近似分析(续)2.2加劲梁在竖向荷载作用下的近似分析悬索桥加劲梁先铰接后固结的施工特点，决定了加劲梁在一期恒载作用下没有整体弯矩。加劲梁竖向荷载主要指二期恒载和活载等.如图所示。假定:忽略梁体剪切变形、吊杆的伸缩和倾斜变形对结构受力的影响，将离散的吊杆简化为一连续膜。微小索段的平衡方程为：(18)

2.悬索桥的近似分析(续)2.2加劲梁在竖向荷载作用下的462.悬索桥的近似分析(续)(19)

悬索桥计算模型

在成桥后竖向荷载p(x)作用下，荷载集度由q变为qp，外力作用下主缆和加劲梁产生挠度，主缆挠度由y变为(y+)，主缆水平拉力Hq变为(Hp+Hq)，根据式(18)有：(20)

将(18)、(19)两式相减得：

2.悬索桥的近似分析(续)(19)悬索桥计472.悬索桥的近似分析(续)(22)

以加劲梁为研究对象，在p(x)作用下加劲梁上的竖向荷载为：(23)

加劲梁的弹性方程为：设EI为常数，将(22)代入(20)整理得：式(23)就是挠度理论的基本微分方程。q(x)=p(x)-（-q＋qp）(21)

2.悬索桥的近似分析(续)(22)以加劲梁为研究对象，在482.悬索桥的近似分析(续)(24)

讨论：(25)

由于Hp是p(x)的函数，因此这一微分方程是非线性的。此外，方程中Hq、Hp和均为未知，求解时还需要一个补充方程。

利用全桥主缆长度变化的水平投影为零这一边界条件：式中：L－两锚碇间的水平距离式(25)中第三项进行分部积分，并利用x=0和x=L时=0的边界条件，有：或

2.悬索桥的近似分析(续)(24)讨论：(25)由于H492.悬索桥的近似分析(续)(28)

代入式(25)整理后得：式中：为线胀系数；t为温度变化；ECAC为主缆轴向刚度。(27)

(26)

2.悬索桥的近似分析(续)(28)代入式(25)整理后得502.悬索桥的近似分析(续)最后，非线性微分方程要通过(23)和(27)两式迭代才能求解，尚达不到实用计算的要求。针对大跨径悬索桥活载远比恒载为小的特点，Godard提出了在式(23)中只考虑恒载索力对竖向荷载的抗力，形成了线性挠度理论。此时线性叠加原理和影响线加载均可应用，使计算得到了简化。李国豪教授在此基础上于1941年提出了等代梁法和奇异影响线的概念，揭示了悬索桥受力的本质，使挠度理论变为实用计算成为可能。下面对等代梁法作一简要介绍。应该指出：线性挠度理论忽略了竖向荷载本身引起的主缆水平力对加劲梁受力的影响，这将使计算结果绝对值增大。因而，用于设计加劲梁是偏安全的。2.悬索桥的近似分析(续)最后，非线性微分方程要通过(23512.悬索桥的近似分析(续)2.3水平静风荷载作用下的实用计算水平静风荷载作用下悬索桥的变形如图所示。风载荷在桥上的实际分布是相当复杂的，在静风计算中，一般假定风荷载为沿桥跨方向均布的已知荷载。这样，作用在悬索桥上的风载将分别通过主缆和加劲梁传到基础。风荷在主缆与加劲梁之间的传递是由吊索完成的，其受力根据刚度分配。可见研究静风荷载的计算问题，首先必须研究风载在主缆和加劲梁上的分配问题。简单的计算方法有均等分配法。

水平静风荷载作用下的悬索桥

2.悬索桥的近似分析(续)2.3水平静风荷载作用下的实用522.悬索桥的近似分析(续)这种方法假定横向风荷在加劲梁和主缆间产生的重分配力(实质上就是吊杆沿梁长每延米的水平分力)为沿梁长的均布荷载q，索面和梁体在位移时保持刚性转动。于是，加劲梁和主缆跨中的水平位移d和c可写成：式中：c，d分别为索、梁横向风荷集度；l，EI分别为悬索桥跨径和梁横向抗弯刚度；H为主索水平拉力。(33)

2.悬索桥的近似分析(续)这种方法假定横向风荷在加劲梁和主532.悬索桥的近似分析(续)根据索面刚性转动的假定，有：式中：f，h分别为主缆的矢高，加劲梁形心到吊点距离。由式(33)、(34)得：将式(35)得到的q值代回式(33)，就可算出加劲梁和主缆的横向静风响应。(35)

(34)

2.悬索桥的近似分析(续)根据索面刚性转动的假定，有：式中542.悬索桥的近似分析(续)实际上风的重分配力q并不会沿梁长均匀分布，而是梁长座标x的函数，记为q(x)，索面和梁的位移也不满足刚性转动假定。因此，均等分配法的计算精度较差。相比之下，弹性分配法就有较高的计算精度。按照弹性分配法，悬索桥在横向风荷及重分配力q(x)的作用下，主缆和加劲梁的平衡微分方程为：

q(x)是一个未知荷载，可以根据梁、塔的位移协调条件，通过迭代计算求解。(36)

2.悬索桥的近似分析(续)实际上风的重分配力q并不会沿梁长553.主塔的计算3.1受力特点悬索桥主塔承受的主要荷载有:直接作用于塔身的自重、风荷、地震荷载、温变荷载；由主缆传来的荷载,它一方面改变加劲梁和主缆传至塔上的竖向荷载，另一方面将在塔顶产生顺桥向和横桥向的水平位移，当两根主索受力不一致时，主塔还会受扭。

工程中桥塔的设计流程如图示，下面结合设计流程逐一介绍主塔在纵向和横向荷载作用下的静力计算和稳定计算。

3.主塔的计算3.1受力特点悬索桥主塔承受的主要荷载有:563.主塔的计算(续)3.2主塔在纵向荷载作用下的实用计算纵向荷载是指顺桥向的风荷载、地震荷载、加劲梁和主缆传到主塔的活载等。在活载作用下，桥塔将发生水平位移，由于主塔纵向抗推刚度相对较小，塔顶水平位移的大小，主要是由主缆重力刚度的水平分量决定，而与塔的抗弯刚度关系不大。活载计算中常忽略塔的弯曲刚度，先求出主塔水平位移，再将它作为已知条件计算主塔内力。在计算中，必须考虑两种加载状态：最大竖向荷载与相应塔顶位移状态；最大塔顶位移与相应竖向荷载状态。一般来说，后一种状态可能更为不利。

3.主塔的计算(续)3.2主塔在纵向荷载作用下的实用计算573.主塔的计算(续)图14.9为纵向荷载作用下桥塔的计算模式。塔顶作用着主缆竖向分力p，活载或其它荷载引起的塔顶水平位移、加劲梁传来的集中力R，塔身受有塔自重、顺桥向风载或其它广义纵向纵向荷载，用带有几何非线性的平面杆系程序，可以直接对塔进行分析。为了定性分析，将塔自重集中于塔顶，讨论等截面塔在活载作用下的受力情况。x处的弯矩为：

式中：F使塔顶位移达到时的水平力。对于给定的悬索桥，通过缆梁体系分析可以求得p和，这里假定为一已知常量。纵向载作用下桥塔的计算模式

(37)

3.主塔的计算(续)图14.9为纵向荷载作用下桥塔的计算模583.主塔的计算(续)由塔的弯曲平衡微分方程：边界条件：

得：

得：

由

(43)

(42)

(38)

(44)

3.主塔的计算(续)由塔的弯曲平衡微分方程：边界条件：593.主塔的计算(续)

由式(43)可知，塔内弯矩主要与分母有关，当EI增大时，h减小，弯矩就急剧增大，为了经济地设计塔与塔基，h一定要比/2大。才能将塔内弯矩控制在较小的范围内。当然，确定h时也应考虑塔的纵向稳定性。对于变截面的主塔在各种荷载作用下的计算，也可按图示力学模型，用几何非线性有限元方法进行计算。3.主塔的计算(续)由式(43)可知，塔内弯矩主要603.主塔的计算(续)3.3主塔在横桥向荷载作用下的计算在横桥向荷载作用下，桥塔的计算模式如图示：塔顶作用着主缆的竖向分力，主缆传来的横向水平力Hc，下横梁上作用着加劲梁传来的竖向力Rs和横向水平力Hs，塔上还受有横向风载w、地震等广义荷载(y)和主塔自重。由于主塔受到主缆传来的巨大竖向分力P，因此分析时仍需用带有几何非线性的杆系程序。图14.10的分析模式中忽略了主缆对塔的水平约束(非保向力)作用，因此，其结果是偏安全的。

桥塔横桥向荷载作用下的计算模式3.主塔的计算(续)3.3主塔在横桥向荷载作用下的计算613.主塔的计算(续)3.4主塔在横桥向荷载作用下的组合主塔是在纵横桥向荷载共同作用下工作的,其响应可以用直接用空间有限元计算,也可以用上面两个平面问题来计算采用后者计算,内力(应力)组合时必须注意,竖向荷载引起的轴向力不能重复迭加3.5主塔的稳定计算塔在挂索前和成桥后作用纵向荷载时都有失稳的可能，必须对这两种状态进行稳定验算。挂索前主塔可看成是一单端固定受自重作用的变截面柱。可将变截面柱问题等效成等截面柱问题来计算。令等效荷载集度为q，等效刚度为EI，根据Eular稳定理论，易得：

3.主塔的计算(续)3.4主塔在横桥向荷载作用下的组合623.主塔的计算(续)在成桥状态下，必须考虑主缆对塔顺桥向失稳的约束作用。在计算中偏安全地将塔自重荷载移到塔顶作为集中荷载，与主缆竖向分力共同作用下，令其合力为P，根据14-3.1的推导，主塔挠度由式(14-43)表示，当主塔失稳时，v(x)，因此有

此式与一端简支，一端固定的压杆临界荷载相一致。对塔稳定问题更精确的计算，可按有限元方法并考虑砼徐变、收缩及塔施工初始缺陷的不利因素影响进行求解。否则应在安全系数取值时加以考虑。

(47)

(46)

(45)

h为主塔高度解得：

3.主塔的计算(续)在成桥状态下，必须考虑主缆对塔顺桥向失63以中跨为例，说明成桥状态的计算1)中跨主缆索形与张力计算图示，中跨主缆微小单元dx与主缆竖向分力的平衡条件为：(2)

(3)

(1)

所以有：