机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件

拉氏变换和拉氏反变换补充微分方程→代数方程拉氏变换和拉氏反变换补充微分方程→代数方程1一、拉氏变换及其特性（一）拉氏变换的定义时间函数f(t)，当t<0时，f(t)=0，t≥0时，f(t)的拉氏变换计为L[f(t)]或F(s)，且定义为式中s=+jL为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。虚数单位一、拉氏变换及其特性（一）拉氏变换的定义时间2序号f(t)F(s)1(t)单位脉冲函数121(t)单位阶跃函数u(t)3t单位斜坡函数r(t)456sint常用函数的拉氏变换对照表序号f(t)F(s)1(t)单位脉冲函数121(t)单3序号f(t)F(s)7cos(t)89101112序号f(t)F(s)7cos(t)891011124序号f(t)F(s)13141516序号f(t)F(s)131415165序号f(t)F(s)1718序号f(t)F(s)17186根据表格直接写出结果根据表格直接写出结果7（二）、拉氏变换的主要定理

1．线性定理（二）、拉氏变换的主要定理1．线性定理82．微分定理

式中f(0+)表示当t在时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)值，相当于初始条件。式中f(0+)、f(1)(0+)、···、f(n-2)(0+)、f(n-1)(0+)分别为各阶导数在t时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)值，如果所有这些初值为零，则

2．微分定理式中f(0+)表示当t在时间坐标轴的右端趋于零9例试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各阶导数初值为零。解：利用线性定理和微分定理，可得例试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各阶导数初值为零103.积分定理式中为在t时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。式中f(-1)(0+)、f(-2)(0+)···、f(-n)(0+)为式中f(t)的各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有3.积分定理式中为114．初值定理5．终值定理

例：已知，求f(t)的终值。4．初值定理5．终值定理例：已知12二、拉氏反变换及其计算方法

（一）拉氏反变换的定义式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s)在该点及其邻域不处处可导。已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就称为拉氏反变换，计作二、拉氏反变换及其计算方法（一）拉氏反变换的定义式中，r为13(二).拉氏反变换的计算方法1.查表法2.部分分式展开法(利用逆变化的线性原理)(二).拉氏反变换的计算方法1.查表法2.部分分式展开法(14控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式为实数,称留数留数的方法可分为下面三种情况研究。控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式为实数,称15(1).不同实数极点情况的求法

(1).不同实数极点情况的求法16例1求

的拉氏反变换。解：例1求17查表：查表：18例2求的拉氏反变换。(2).包含有共轭极点的情况

例2求19由此得：由此得：20机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件21机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件22例2-13求

的拉氏反变换．解：(3).包含有多重极点的情况

例2-13求23机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件24因而上式拉氏反变换为将A1、A2、B1、B2代入前面方程得因而上式拉氏反变换为将A1、A2、B1、B2代入前面方程25小结拉氏变换的主要性质。典型函数的拉氏变换结果。拉式逆变换的三种情况：不同实数极点；有共轭复数极点；有重极点。小结拉氏变换的主要性质。26再举一些例子：例1解再举一些例子：例1解27机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件28例2解例2解29机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件30机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件31机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件32机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件33机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件34机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件35机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件36机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件37机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件38机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件39机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件40机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件41机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件42拉氏变换作业：拉氏变换作业：43机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件44机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件45机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件46机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件47拉氏变换和拉氏反变换补充微分方程→代数方程拉氏变换和拉氏反变换补充微分方程→代数方程48一、拉氏变换及其特性（一）拉氏变换的定义时间函数f(t)，当t<0时，f(t)=0，t≥0时，f(t)的拉氏变换计为L[f(t)]或F(s)，且定义为式中s=+jL为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。虚数单位一、拉氏变换及其特性（一）拉氏变换的定义时间49序号f(t)F(s)1(t)单位脉冲函数121(t)单位阶跃函数u(t)3t单位斜坡函数r(t)456sint常用函数的拉氏变换对照表序号f(t)F(s)1(t)单位脉冲函数121(t)单50序号f(t)F(s)7cos(t)89101112序号f(t)F(s)7cos(t)8910111251序号f(t)F(s)13141516序号f(t)F(s)1314151652序号f(t)F(s)1718序号f(t)F(s)171853根据表格直接写出结果根据表格直接写出结果54（二）、拉氏变换的主要定理

1．线性定理（二）、拉氏变换的主要定理1．线性定理552．微分定理

式中f(0+)表示当t在时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)值，相当于初始条件。式中f(0+)、f(1)(0+)、···、f(n-2)(0+)、f(n-1)(0+)分别为各阶导数在t时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)值，如果所有这些初值为零，则

2．微分定理式中f(0+)表示当t在时间坐标轴的右端趋于零56例试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各阶导数初值为零。解：利用线性定理和微分定理，可得例试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各阶导数初值为零573.积分定理式中为在t时间坐标轴的右端趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。式中f(-1)(0+)、f(-2)(0+)···、f(-n)(0+)为式中f(t)的各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有3.积分定理式中为584．初值定理5．终值定理

例：已知，求f(t)的终值。4．初值定理5．终值定理例：已知59二、拉氏反变换及其计算方法

（一）拉氏反变换的定义式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s)在该点及其邻域不处处可导。已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就称为拉氏反变换，计作二、拉氏反变换及其计算方法（一）拉氏反变换的定义式中，r为60(二).拉氏反变换的计算方法1.查表法2.部分分式展开法(利用逆变化的线性原理)(二).拉氏反变换的计算方法1.查表法2.部分分式展开法(61控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式为实数,称留数留数的方法可分为下面三种情况研究。控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式为实数,称62(1).不同实数极点情况的求法

(1).不同实数极点情况的求法63例1求

的拉氏反变换。解：例1求64查表：查表：65例2求的拉氏反变换。(2).包含有共轭极点的情况

例2求66由此得：由此得：67机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件68机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件69例2-13求

的拉氏反变换．解：(3).包含有多重极点的情况

例2-13求70机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件71因而上式拉氏反变换为将A1、A2、B1、B2代入前面方程得因而上式拉氏反变换为将A1、A2、B1、B2代入前面方程72小结拉氏变换的主要性质。典型函数的拉氏变换结果。拉式逆变换的三种情况：不同实数极点；有共轭复数极点；有重极点。小结拉氏变换的主要性质。73再举一些例子：例1解再举一些例子：例1解74机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件75例2解例2解76机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件77机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件78机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件79机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件80机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件81机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件82机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件83机械工程控制基础-补充拉氏变换和拉式反变换-河南课件84