时间数列课程

96例：上海市人均国内生产总值年份 人均GDP1991 69551992 86521993 11700 1994 15204 1995 18943 1996 22275 9192939495100001500020000250005000时间数列动态数列时间序列统计数据按时间先后顺序排列而形成的一种数列。

第八章时间数列分析一、时间数列的种类和编制方法二、时间数列分析指标三、长期趋势的测定四、季节变动的测定五、时间数列预测方法主要内容

第八章时间数列分析第一节时间数列的种类与编制方法

一、时间数列的种类第八章按数据的形式不同绝对数时间数列相对数时间数列平均数时间数列按数据的性质与形态不同纯随机型时间数列非纯随机型时间数列第一节时间数列的种类与编制方法

一、时间数列的种类派生时间数列绝对数数列相对数数列平均数数列时期数列时点数列第八章（一）按数据的形式不同分为绝对数、相对数和平均数。年份199219931994199519961997职工工资总额（亿元）3939.24916.26656.48100.09080.09405.3年末职工人数（万人）147921484914849149081484514668男性人口占总人口的比重(％)51.0551.0251.1051.0350.8251.07职工平均工资（元）271133714538550062106470一、时间数列的种类

时期指标时间序列具有以下特点：A：可加性，不同时期的总量指标可以相加；B：指标值的大小与所属时间的长短有直接关系C：指标值采用连续统计的方式获得。时期数列与时点数列时期数列与时点数列时点指标时间序列具有以下特点：A：不可加性。不同时点的总量指标不可相加，这是因为把不同时点的总量指标相加后，无法解释所得数值的时间状态。B：指标数值的大小与时点间隔的长短一般没有直接关系。在时点数列中，相邻两个指标所属时间的差距为时点间隔。C：指标值采用间断统计的方式获得。

时间数列的特点派生性—由绝对数列派生而得不可加性可加性、关联性、连续登记不可加性—不同时期资料不可加无关联性—与时间的长短无关联间断登记—资料的收集登记平均相对时期时点特点数列纯随机型时间数列非纯随机型时间数列趋势型季节型平稳型数列非平稳型数列周期型纯随机型：非纯随机型：平稳型：各期指标数值变动没有规则，完全由随机因素引起。各期指标数值变动是随机因素和某些确定因素共同作用的结果。各期指标数值基本上在某个固定的水平上波动。（二）按指标数值的性质和形态不同划分一、时间数列的种类

趋势型：季节型：周期型：各期指标数值逐期增加或减少，呈现一定的变化趋势。按月或按季统计各期数值形成的数列，在一年内随季节变化而发生周期性波动的时间数列。以若干年为周期波动变化的数列。它通常是由于经济环境的变化引起的。二、编编制时时间数数列的的方法法时间数数列的的构成成要素素：(1)现象所所属的的时间间；(2)不同时时间的的具体体指标标数值值。1．根据据具体体的研研究任任务确确定资资料的的时间间单位位2．保证证各期期指标标数值值的可可比性性（1）数列列的时时间跨跨度或或间隔隔应相相等（2）总体体范围围应一一致（3）计算算方法法、计计量单单位应应该一一致（4）指标标涵义义和经经济内内容应应一致致。宏观分分析较长时时期的的发展展过程程和趋趋势分析季季节性性变化化年季、月月深入具具体分分析事事物发发展变变化规规律日、小小时二、编编制时时间数数列的的方法法常用的的时间间数列列分析析指标标有水水平指指标和和速度度指标标两类类。第二节节时时间数数列传传统分分析指指标第八章章序时平平均数数增长量量和平平均增增长量量水平指指标发展速速度和和增长长速度度平均发发展速速度和和平均均增长长速度度速度指指标明确几个概概念：发展水平时间数列中中各期的指指标数值最初水平第一期的指指标数值最末水平最后一期的的指标数值值报告期水平平所研究期的的发展水平平用作比较时时期的发展展水平基期水平第二节时时间数列传传统分析指指标第八章发展水平：：时间序列列中，各指指标数值就就是该指标标所反映的的社会经济济现象在所所属时间的的发展水平平。一、水平指指标第八章常用的水平平指标有序序时平均数数、增长量量和平均增增长量1.序时平均数数又称动态平平均数或平平均发展水水平对时间数列列中各期发发展水平的的平均，表表明现象在在一段时期期内的平均均水平。由于构成时时间数列的的指标形式式不同，计计算方法也也不尽相同同。绝对数数列列相对数数列列平均数数列列时期数列时点数列时点数列连续时点数数列间断时点数数列在社会经经济统计计中一般般是将一一天看作作一个时时点，即以“一一天”作作为最小小时间单单位。这这样时点点数列可可认为有有连续时点点和间断时点点数列之分分；时点数列列的分类类逐日排列列的时点点数据隔一段时时间对期期末时点点数据进进行登记记时点数列列的分类类间断时点点数列间隔时间间相等间隔时间间不等每隔相同同时间登登记一次次每两次登登记时间间间隔不不同连续时点点数列间隔时间间相等间隔时间间不等连续每天天资料不不同持续天内内资料不不变（1）时期数数时间数数列1.序时平均均数的计计算式中，为为序序时平均均数，n为观察值值的个数数。水平指标标例题年份199119921993199419951996国内生产总值（亿元）2161826638346344675658478678851991～1996年平均国国内生产产总值：：时期数列列水平指标标（2）连续时时点数列列间隔相相等1.序时平均均数的计计算式中，为为序序时平均均数，n为观察值值的个数数。水平指标标例如，存存款（贷贷款）平平均余额额指标，，通常就就是由报报告期内内每日存存款（贷贷款）余余额之和和除以报报告期日日历数而而求得。。日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盘价16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元解：某股票连连续5个交易日日价格资资料如下下：例题水平指标标某单位五五天库存存现金数数如下表表：星期一二三四五库存现金（千元）32541现金平均均库存额额：连续时点点数列间隔相等等（每天资资料）例题水平指标标（3）连续时时点数列列间隔不不等1.序时平均均数的计计算水平指标标资料登记记的时间间单位仍仍然是1天，但实实际上只只在指标标值发生生变动时时才记录录一次。。此时需需采用加加权算术术平均数数的方法法计算序序时平均均数，权权数是每每一指标标值的持持续天数数。某种商品品库存量量记录如如下，计计算5月份平均均日库存存量。5月份平均均日库存存量：连续时点点数列间隔不等等（持续天天内不变变）例题水平指标标日期1－45－108–2021－2627－31库存量（台）5055403530（4）间断时时点数列列间隔相相等1.序时平均均数的计计算水平指标标某种商品品库存量量记录如如下，试试计算该该商品第第二季度度的月平平均库存存量。间断时点点数列间隔相等等例题水平指标标日期3月末4月末5月末6月末库存量（百件）667264684月份平均均库存量量=例题水平指标标日期3月末4月末5月末6月末库存量（百件）667264685月份平均均库存量量=6月份平均均库存量量=为简化计计算过程程，上述述计算步步骤可表表示为：：例题水平指标标第二季度度月平均均库存量量=＝67.67（（百件））根据上式式，可以以推导公公式为：：该公式形形式上表表现为首首末两项项观察值值折半，，故称为为“首末末折半法法”。这这种方法法适用于于间隔相相等的间间断时点点数列求求序时平平均数。。（5）间断时时点数列列间隔不不等1.序时平均均数的计计算水平指标标下表列示示了我国国1990—1999年年末部部分年份份的人口口数资料料，计算算年平均均人口数数。间断时点点数列间隔不等等例题水平指标标年份19901992199519981999年底总人口（万人）114333117171121121124810125909例题水平指标标年份19901992199519981999年底总人口（万人）114333117171121121124810125909序时平均均数练习习题1水平指标标某企业5月份每日日实有人人数资料料如下：：日期1~9日10~15日16~22日23~31日实有人数780784786783计算5月份每日日实有人人数的序序时平均均数。序时平均均数练习习题1水平指标连续时点数列列间隔不等计算5月份平均人数数为783人。序时平均数练练习题2水平指标某商业企业2004年第二季度某某商品库存资资料如下，求求第二季度的的月平均库存存额。时间3月末4月末5月末6月末库存量（百件）66726468序时平均数练练习题2水平指标间断时点数列列间隔相等第二季度的月月平均库存额额为：22323间隔年数1837516851140711182899498350年底人数（万人）199519971993199019881985年份1985年～1997年我国第三产业业从业人数（（年底数）：：间断时点数列列（间隔不等））我国第三产业业平均从业人人数：时间1月1日5月31日8月31日12月31日社会劳动者人数362390416420单位：万人某地区1999年社会劳动者者人数资料如如下：解：该地区该年的月平均人数为：间断时点数列列（间隔不等））相对数或平均均数时间数列列序时平均数相对数是两个个有联系的绝绝对数对比求求得，用符号号表示即由相对数或平平均数数列计计算序时平均均数，应当先先分别计算构构成该相对数数或平均数数数列的分子数数列和分母数数列的序时平平均数，再对对比求得。用用公式表示为为：相对数或平均均数时间数列列序时平均数某企业1999年第四季度职职工人数资料料如下表，计计算工人占职职工人数的平平均比重。9月末10月末11月末12月末工人人数/人职工人数/人工人占职工比重（％）34244876.3435545677.8535846976.3336447476.79间断时点数列列（间隔相等等）相对数或平均均数时间数列列序时平均数9月末10月末11月末12月末工人人数/人职工人数/人工人占职工比重（％）34244876.3435545677.8535846976.3336447476.79即：工工人占占职工工人数数的平平均比比重为为76.91%。相对数数或平平均数数时间间数列列序时平平均数数某企业业下半半年劳劳动生生产率率资料料如下下表，，计算算平均均月劳劳动生生产率率和下下半年年平均均职工工劳动动生产产率。。分子是是时期期数列列，分分母是是间断断时点点数列列（间间隔相相等））6月7月8月9月10月11月12月（a）总产值/万元（b）月末职工人数/人（c）劳动生产率/（元/人）8746019489147019579448019799648020001024902103984802021914501957平均月月劳动动生产产率的的计算算序时平平均数数即：平平均月月劳动动生产产率为为2003.5元/人。6月7月8月9月10月11月12月（a）总产值/万元（b）月末职工人数/人（c）劳动生产率/（元/人）8746019489147019579448019799648020001024902103984802021914501957下半年年平均均职工工劳动动生产产率的的计算算序时平平均数数即：下下半年年平均均职工工劳动动生产产率为为12021元/人。6月7月8月9月10月11月12月（a）总产值/万元（b）月末职工人数/人（c）劳动生产率/（元/人）8746019489147019579448019799648020001024902103984802021914501957月份三四五六七工业增加值（万元）11.012.614.616.318.0月末全员人数（人）20002000220022002300已知某某企业业的下下列资资料：：要求计计算：：①该该企业业第二二季度度各月月的劳劳动生生产率率；；②该企企业第第二季季度的的月平平均劳劳动生生产率率；③该企企业第第二季季度的的劳动动生产产率。解：①①第二二季度度各月月的劳劳动生生产率率：四月份：五月份：六月份份：③该企企业第第二季季度的的劳动动生产产率：：②该企企业第第二季季度的的月平平均劳劳动生生产率率：平均数相对数间隔不等间隔相等间断持续天内指标不变每天资料连续时点时期序时平均数时间数列（1）增增长长量量增长长量量是是总总量量指指标标报报告告期期水水平平与与基基期期水水平平之之差差，，表表明明该该指指标标在在一一定定时时期期内内增增加加或或减减少少的的绝绝对对数数量量。。逐期期增增长长量量累计计增增长长量量各期期水水平平与与上上一一期期水水平平之之差差a1-a0,a2-a1,……,an-an-1各期期水水平平与与某某一一固固定定基基期期水水平平之之差差a1-a0,a2-a0,……,an-a0基期期不同同2.增长长量量和和平平均均增增长长量量水平平指指标标2.增长量和和平均增增长量水平指标标累计增长长量等于于各期逐逐期增长长量之和和相邻两个个累计增增长量之之差等于于相应的的逐期增增长量1990－1999年国内生生产总值值单单位：：亿元对于受季季节因素素影响较较明显的的社会经经济指标标，为了了表明它它们增长长变化的的绝对数数量，还还可以计计算同比比（年距距）增长长量。例如，去去年3月的产值值100万，今年年3月的产值值300万，同比比增长量量为多少少？同比增长长量=本期发展展水平-上年同期期发展水水平月度或季季度（2）平均增增长量总量指标标在一段段时期内内平均每每期增减减的绝对对数量。。水平法：：总和法它可以保保证以基基期水平平为为基础，，每期按按平均增增长量增增长，n期之后计计算的理理论水平平同第n期的实际际水平完完全相等等。用平均增增长量推推算的各各期理论论水平之之和等于于各期实际水水平之和和。平均增长长量的计计算常用的速速度指标标有：发展速度度增长速度度平均发展展速度平均增增长速速度二、速速度指指标第八章章1.发展速速度和和增长长速度度（1）发展展速度度定基发发展速速度环比发发展速速度基期不同报告期期水平平与基基期水水平之之比，，可以以用百百分数数或倍倍数表表示。。可以看看出：：定基发发展速速度等等于各各环比比发展展速度度的连连乘积积相邻两两个定定基发发展速速度之之比等等于相相应的的环比比发展展速度度国内生生产总总值计计算表表对于受受季节节因素素影响响较明明显的的社会会经济济指标标，为为了消消除季季节因因素的的影响响，表表明它它们增增长变变化的的程度度，还还可以以计算算同比比发展展速度度和同同比增增长速速度。。同比增增长速速度=(本期发发展水水平-去年同同期发发展水水平)/去年同同期发发展水水平=同比发发展速速度-1同比发发展速速度=本期发发展水水平/上年同同期发发展水水平例如，，本年年第2季度产产值比比去年年第2季度产产值，，本年年6月份产产值比比去年年6月份产产值。。例如，，去年年3月的产值100万，今年3月的产值300万，同比发展展速度和同比比增速度分别别为多少？（2）增长速度增长速度＝发发展速度－1当报告期水平平低于基期水水平时，发展速度增长速度当报告期水平平高于基期水水平时，发展速度大于于1增长速度度大于0小于1小于0国内生产产总值计计算表2.平均发展展速度平均发展展速度是是各个时时期环比比发展速速度的平平均数，，用于描描述现象象在整个个观察期期内平均均发展变变化的程程度。计算平均均发展速速度的常常用方法法是水平平法，根根据各期期的环比比发展速速度采用用几何平平均法计计算出来来的。为平均发发展速度度；n为环比发发展速度度的个数数，它等等于观察察数据的的个数减减1已知国内内生产总总值1990～1999年环比发发展速度度见下表表，计算算平均发发展速度度。从水平法法计算平平均发展展速度的的公式中中可以看看出，实实际上只只与序列列的最初初观察值值和最末末观察值值有关，，而与其其他各观观察值无无关，这这一特点点表明，，水平法法旨在考考察现象象在最后后一期所所达到的的发展水水平。因因此，如如果我们们所关心心的是现现象在最最后一期期应达到到的水平平，采用用水平法法计算平平均发展展速度比比较合适适。3.平均增长长速度平均增减减速度说说明现象象逐期增增减的平平均程度度。平均均增减速速度与平平均发展展速度仅仅相差一一个基数数，即：：平均增减减速度为为正值，，表明现现象在某某段时期期内逐期期平均递递增的程程度，也也称为平平均递增增率；若若为负值值，表明明现象在在某段时时间内逐逐期平均均递减的的程度，，也称为为平均递递减率。。4.速度指标标的分析析与应用用（1）当时间间序列中中的观察察值出现现0或负数数时，，不宜宜计算算速度度。比比如，，假如如某企企业连连续五五年的的利润润额分分别为为5万元、、2万元、、0万元、、－3万元、、2万元，，对这这一序序列计计算速速度，，要么么不符符合数数学公公理，，要么么无法法解释释其实实际意意义。。在这这种情情况下下，适适宜直直接用用绝对对数进进行分分析。。（2）在有有些情情况下下，不不能单单纯就就速度度论速速度，，要注注意速速度与与基期期绝对对水平平的结结合分分析。。假定有有两个个生产产条件件基本本相同同的企企业，，各年年的利利润额额及有有关的的速度度值如如下表表。年份甲企业乙企业利润额（万元）增长率（％）利润额（万元）增长率（％）19961997500600–206084–40如果不不看利利润额额的绝绝对值值，仅仅就速速度对对甲、、乙两两个企企业进进行分分析评评价，，可以以看出出乙企企业的的利润润增长长速度度比甲甲企业业高出出1倍。如如果就就此得得出乙乙企业业的生生产经经营业业绩比比甲企企业要要好得得多，，这样样的结结论就就是不不切实实际的的。因为速度是是一个相对对值，它与与对比的基基期值的大大小有很大大关系。大大的速度背背后，其隐隐含的增长长绝对值可可能很小；；小的速度度背后，其其隐含的增增长绝对值值可能很大大。这就是是说，由于于对比的基基点不同，，可能会造造成速度数数值上的较较大的差异异，进而造造成速度上上的虚假现现象。上述例子表表明，由于于两个企业业的生产起起点不同，，基期的利利润额不同同，才造成成了二者速速度上的较较大差异。。从利润的的绝对额来来看，两个个企业的速速度每增长长1%所增加的利利润绝对额额是不同的的。在这种种情况下，，我们需要要将速度与与绝对水平平结合起来来进行分析析，通常要要计算增长长1％的绝对值值来弥补速速度分析中中的局限性性。增长1％绝对值表表示速度每每增长1%而增加的绝绝对数量，，其计算公公式为：甲企业速度度每增长1％，增加的的利润额为为5万元，而乙乙企业则为为0.6万元，甲企企业远高于于乙企业。。这说明甲甲企业的生生产经营业业绩不是比比乙企业差差，而是更更好。季度1999年2000年一二三四一二三四季末职工人数（人）3639424447495456总产值（万元）222.3405.6①各年平均均职工人数数(另知1998年第四季度度末职工人人数为34)②各年平均每每一职工创创造产值(劳动效率)③从人数及劳劳动生产率率的增长速速度上分析析影响总产产值增长的的主要原因因。练习题①03年年平均职工工人数=04年平均均职工人数数=②03年每每一年职工工创造产值值=222.3/39=5.7（万元元）04年每一一年职工创创造产值=405/50=8.1（万万元）2003年2004年04年比03年增长%人数（人）总产值（万元）劳动效率（元/人）39222.35.750405.08.128.282.242.1可见：04年总产值比比03年增加82.2%，主要是由由于劳动效效率提高所所致。案例美国内华达达职业健康康诊所是一一家私人医医疗诊所，，这个诊所所专攻工业业医疗，并并且在该地地区经营已已经超过15年。1991年初，诊所所进入了增增长的阶段段。在其后后的26个月里，该该诊所每个个月的账单单收入从57000美元增长到到超过300000美元。直至至1993年4月6日，当诊所所的主建筑筑物被烧毁毁时，诊所所一直经历历着戏剧性性的增长。。诊所的保险险单包括实实物财产和和设备，也也包括出于于正常商业业经营的中中断而引起起的收入损损失。确定定实物财产产和设备在在火灾中的的损失额，，受理财产产的保险索索赔要求是是一个相对对简单的事事情。但是确定定在进行行重建诊诊所的7个月中，，收入的的损失额额是很复复杂的，，它涉及及业主和和保险公公司之间间的讨价价还价。。对如果没没有发生生火灾，，诊所的的账单收收入“将将会有什什么变化化”的计计算，没没有预先先制定的的规则。。为了估计计失去的的收入，，诊所用用一种预预测方法法，来测测算在7个月的停停业期间间将要实实现的营营业增长长。在火火灾前的的账单收收入的实实际历史史资料，，将为拥拥有线性性趋势和和季节成成分的预预测模型型提供基基础资料料。这个个预测模模型使诊诊所得到到损失收收入的一一个准确确的估计计值，这这个估计计值最终终被保险险公司所所接受。。这是一个个时间数数列分析析方法在在保险业业务中的的成功案案例。1.时间数列列包含的的四种因因素变动动长期趋势势变动季节变动动循环变动动（周期期波动））随机变动动（不规规则变动动或剩余余变动））不可解释释的变动动可解释的的变动第三节长长期趋趋势的测测定第八章一、时间间数列的的构成与与分解（1）长期趋趋势变动动(T)由各个时时期普遍遍存在并并长期起起作用的的基本因因素影响响的变动动，是对对未来状状况进行行判断和和预测的的主要依依据。最基本、、最根本本的变动动如，现代代社会城城镇人口口占总人人口的比比重呈现现不断上上升的趋趋势。（2）季节变变动（S）由季节性性因素（（自然季季节变幻幻和社会会习俗等等因素））影响的的变动，，具有规规律性和和周期性性。季节变动动的周期期通常在在一个年年度之内内，当采采用年度度数据时时，季节节性影响响就被掩掩盖了。。如，铁路路、航空空等客运运量一般般在春运运和旅游游旺季呈呈现高峰峰。（3）循环变变动（C）以若干年年为周期期的波动动变化。。通常是是由于经经济环境境变化引引起的。。如：经济济增长中中：“繁繁荣－衰衰退－萧萧条－复复苏－繁繁荣”—商业周期期。固定资产产或耐用用消费品品的更新新周期等等。（4）随机变变动（I）不规则则变动或或剩余变变动时间数列列中除了了上述三三种变动动之外剩剩余的一一种变动动，是由由于偶然然性因素素的影响响而表现现出的不不规则波波动,故也称为为不规则则变动。。随机变动动的成因因：—自然灾害害、意外外事故、、政治事事件；—大量无可可言状的的随机因因素的干干扰。2.时间数列列的经典典模式时间数列列的上述述四种变变动按一一定的方方式组合合形成一一定的模模式，称称之为时时间数列列的经典典模式或或传统模模式。按对四种种因素变变动相互互关系的的假设不不同，可可分为加加法模式式和乘法法模式。。加法模式式若假设四四种因素素变动是是相互独独立的，，时间数数列便是是各因素素引起变变动相加加之和。。Y=T+S+C+IY、T、S、C、I均为同计计量单位位的绝对对数指标标，Y主要由T决定，S、C、I是对长期期趋势所所产生的的偏差，，或是正正值，或或是负值值。加法模式式中，各各因素的的分解用用减法进进行。如T=Y––(S+C+I)C+I=Y–(T+S)乘法模式式若假设四种因因素变动是相相互交错影响响的关系，时时间数列便是是各因素引起起变动的乘积积。Y=T·S··C·I在乘法模式中中，只有T是与Y同计量单位的的绝对数，其其余变动（S、C、I）均为以长期期趋势为基础础的比率，在在1上下波动。乘法模式中，，各因素的分分解用除法进进行。如T=Y/(S·C··I)S··I=Y/(T·C)主要采用乘法法模式上述包括四种种因素变动的的模式是时间间数列的完备备模式，事实实上四种变动动并非同时存存在。1.长期趋势的修修匀方法随手法时距扩大法和和序时平均法法移动平均法随手法：拟合趋势线的的最简单的一一种经验判断断法。它是依依据观察和经经验，在时间间数列的实际际资料散点图图上直接画出出趋势直线或或趋势曲线，，使趋势线穿穿插于散点之之中。二、长期趋势势（T）的测定时距扩大法：：把时间数列中中各期指标数数值按较长的的时距加以归归并，形成一一个新的简化化了的时间数数列，以消除除原数列中季季节因素和偶偶然因素的影影响，显示出出长期趋势。。

一季度二季度三季度四季度1997年13.113.97.98.61998年10.811.59.7111999年14.617.51618.22000年18.42016.918【例题】某地区1997年-2000年鲜蛋季度销销售量(万吨)资料如下：

一季度二季度三季度四季度全年合计1997年13.113.97.98.643.51998年10.811.59.711431999年14.617.51618.266.32000年18.42016.91873.3时距扩大法适适应于时期数数列而不适应应于时点数列列应用时距扩大大法时需要注注意以下几个个问题：第一，扩大的的时距多大取取决于现象自自身的特点。。对于呈现周周期波动的动动态数列，扩扩大的时距应应与波动的周周期相吻合；；对于一般的的动态数列，，则要逐步扩扩大时距，以以能够显示趋趋势变动的方方向为宜。第二，，时距距扩大大太大大，将将造成成信息息的损损失。。如果果扩大大得不不够，，便不不能消消除偶偶然因因素的的影响响；扩扩大过过了头头，反反而会会掩盖盖现象象发展展变化化的趋趋势。。第三，，扩大大的时时距要要一致致，相相应的的发展展水平平才具具有可可比性性。第四，，时期期数列列各项项指标标数值值的大大小与与其所所属时时期长长短有有紧密密关联联，时时距扩扩大，，指标标数值值相应应增大大。所所以，，单纯纯扩大大时距距，只只能用用于时时期数数列，，不能能用于于时点点数列列.因为在在时点点数列列中，，时距距扩大大，指指标数数值不不一定定增大大，必必须在在扩大大时距距的基基础上上通过过原有有的时时点数数字求求出序序时平平均数数，这这样才才能反反映出出客观观现象象发展展的长长期趋趋势。。序时平平均法法：将全部部数列列资料料分成成若干干段，，计算算各段段的序序时平平均数数，形形成新新的简简化了了的时时间数数列，，以消消除原原数列列中季季节因因素和和偶然然因素素的影影响，，显示示出长长期趋趋势。。

一季度二季度三季度四季度平均数1997年13.113.97.98.610.8751998年10.811.59.71110.751999年14.617.51618.216.5752000年18.42016.91818.325序时平均均法既适适应于时时期数列列也适应应于时点点数列移动平均均法：基本思想想和原理理：通过过扩大原原时间序序列的时时间间隔隔，并按按一定的的间隔长长度逐期期移动，，分别计计算出一一系列移移动平均均数，这这些平均均数形成成的新的的时间序序列对原原时间序序列的波波动起到到一定的的修匀作用，削削弱了原原序列中中短期偶偶然因素素的影响响，从而而呈现出出现象发发展的变变动趋势势。可以用来来分析预预测销售售情况、、库存、、股价或或其他趋趋势。分为简单单移动平平均法和和加权移移动平均均法两种种。原数列新数列y1y4y2y3y5y6原数列新数列y1y4y2y3y5y6在进行长长期趋势势修匀时时，移动动平均法法下移动动跨度越越大，得得出移动动平均数数项数就就越少，，两端数数值缺项项。原数列移动平均均新数列（1）简单移移动平均均—奇数项移移动平均均偶数项的的中心化化简单平平均数要要经过两两次移动动计算才才可得出出。例如：移移动项数数N＝4时，计算的移移动平均均数对应应中项在在两个时时期的中中间（2）简单移移动平均均—偶数项移移动平均均由于这样样计算出出来的平平均数的的时期不不明确，，故不能能作为趋趋势值。。解决办办法：对第一次次移动平平均的结结果，再再作一次次移动平平均偶数项“移动法则”：1.要取“2n+1”项；2.采用“首尾取半法”计算移动平平均数；3.作为n+1项的长期趋势势值。——555814.5528415.8———566074.0566061.0539793.7496847.3—580819200354813320025692702001580780200046933119994404311998n=4n=3移动平均数产量（y吨）年份例如对各期指标值值进行加权后后计算的平均均数。（3）加权移动平平均法注意事项：一般计算奇数项加权移动平均均数；权数以二项展开式为基础。中间项的权数数最大，两边边对称，逐期期减小。如：N=5时，应以（a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的系数1，4，6，4，1为权数：移动平均对数数列具有平滑滑修匀作用，，移动项数越越多，平滑修修匀作用越强强；由移动平均数数组成的趋势势值数列，较较原数列的项项数少，N为奇数时，趋趋势值数列首首尾各少项项；N为偶数时，首首尾各少项项；局限：不能完整地反反映原数列的的长期趋势，，不便于直接接根据修匀后后的数列进行行预测。移动平均法的的特点原数列三项移动平均均五项移动平均均四项移动平均均采用移动平均均法分析长期期趋势时，需需要注意的问问题：移动平均对数数列具有平滑滑修匀作用，，平均项数（（N）越大，对数数列的平滑修修匀作用越强强；移动平均后的的趋势值应放放在各移动项项的中间位置置对于偶数项移移动平均需要要进行“中心化”当N为奇数，只需需一次移动平平均；当N为偶数，需再再进行二项移移动平均即移移正平均（或或中心化）；；移动间隔的长长度应长短适适中如果现象的发发展具有一定定的周期性，，应以周期长长度作为移动动间隔的长度度若时间序列是是季度资料，，应采用4项移动平均若为月份资料料，应采用12项移动平均2.长期趋势的数数学模型以时间t为自变量构造造回归模型用最小平方法法求解参数：：时间时期数数列t1t2t3t4t5t6t71234567y1y2y3y4y5y6y7课后练习题P3038.9第（1）（2）问汽车产量直线趋势计算表年份时间标号t产量(万辆)Yit×Ytt2趋势值19811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213141516171817.5619.6323.9831.6443.7236.9847.1864.4758.3551.4071.42106.67129.85136.69145.27147.52158.25163.0017.5639.2671.94126.56218.60221.88330.26515.76525.15514.00785.621280.041688.051913.662179.052360.322690.252934.001491625364964811001211441691962252562893240.009.5019.0028.5038.0047.5057.0066.5076.0085.5095.00104.51114.01123.51133.01142.51152.01161.51合计1711453.5818411.9621091453.58【例】利用表中的数数据，根据最最小二乘法确确定汽车产量量的直线趋势势方程，计算算出1981～1998年各年汽车产产量的趋势值值，并预测2000年的汽车产量量，作图与原原序列比较（计算结果））根据上表得a和b结果如下汽车产量的直线趋势方程为$Yt

=-9.4995+9.5004t$Y2000=-9.4995+9.5004

×20=180.51(万辆)2000年汽车产量的预测值为线性模型法(趋势图)05010015020019811985198919931997汽车产量趋势值

汽车产量直线趋势（年份）汽车产量（万辆）年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计91182505.81516487.3819【例】已知某省GDP资料（单位：：亿元）如下下，拟合直直线趋势方程程，并预测1999年的水平。解：预测：01234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取时间数列中间项为原点a’-a当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182505.8238946.7182解：预测：第四节季节节变动的测定定第八章一、按月（或或按季）平均均法测定季节变动动（S）的方法是计计算各月（或或各季）的季季节指数（季季节比率），，通常用系数数或百分数来来表示，在1上下波动。适用于无明显显长期趋势或或允许不考虑虑长期趋势的的时间数列季季节变动的测测定。（1）先将各年同同月（或季））的数据按年年排列；（3）将各月（（或季）的的平均数分分别除以总总平均数，，即得到各月的的季节指数数。（2）计算各年年同月（或或季）的平平均数及总总平均数；；按月（或按按季）平均均法-----基本步骤：：P284例8-14（一）同期期平均法季节比率是是通过对若若干年资料料的数据，，求出同月月份的平均均水平与全全数列总平平均月份水水平，然后后对比得出出各月份各各季节比率率。为了较较准确的观观察季节变变动情况，，一般用连连续三年以以上的发展展水平资料料，加以平平均分析。。其计算步步骤如下：：根据各年按按月（季））的动态数数列资料计计算出各年年同月（季季）的平均均水平。计算各年所所有月（季季）的总平平均水平。。将各年同月月（季）的的平均水平平与总平均均水平进行行对比，即即得出季节节比率季节节比率是进进行季节变变动分析的的重要指标标，可用来来说明季节节变动的程程度。其计计算公式为为：把各各月月（（季季））季季节节比比率率绘绘制制成成季季节节变变动动曲曲线线图图，，可可以以更更直直观观地地显显示示出出季季节节的的变变动动趋趋势势。。某地地区区各各月月毛毛线线销销售售量量季季节节变变动动计计算算表表单位位：：百百千千克克月份年份123456789101112合计第一年150

90

402610

812

20

35

85

340

360

1176第二年230150

6040201032

40

70150

420

480

1702第三年280120

803012

937

48

84140

470

500

820合计6603601809642278110818937512301350

4698月平均数220120

603214

927

36

63125

410

450130.5季节比率(%)168.58

91.95

45.9824.5210.73

6.9020.69

27.59

48.28

95.79

314.18

344.83

1200例季节节变变动动(趋势势图图)01001502001234图11-7农业业生生产产资资料料零零售售额额季季节节变变动动（季季度度））季节指数（%）长期期趋趋势势剔剔除除法法的的基基本本思思想想：：先先将将时时间间数数列列中中的的长长期期趋趋势势予予以以剔剔除除，，然然后后再再计计算算季季节节指指数数。。适用用于于具具有有明明显显长长期期趋趋势势或或必必须须考考虑虑长长期期趋趋势势的的时时间间数数列列季季节节变变动动的的测测定定。。二、长期趋势势剔除法方程趋势剔除除法和移动平平均趋势剔除除法方程趋势剔除除法（1）根据原数列列的趋势特点点，计算得到到原数列的趋趋势方程；（4）将重重新按月月（季）排列列，求得同月月（季）的平均指数，即即得到校正前前的季节指数数；（3）用除法剔除除长期趋势，，即，-----基本步骤：（5）将求得的平平均指数相加加，各季的季季节指数之和和应为400%，各月的季节节指数之和应应为1200%，如果其和不等于400%或1200%，应计算校正正系数进行校校正。校正系数=或=（2）根据趋势方方程计算得到到每一期的趋趋势值T；P285例8-15移动平均趋势势剔除法（1）根据各年的的月（或季））数据，计算算12个月（或四个个季度）移动平平均值，得到到趋势值T；（3）将重重新按月月（季）排列列，求得同月月（季）的平均指数，即即得到校正前前的季节指数数；（2）用除法剔除除长期趋势，，即，-----基本步步骤：：（4）将求求得的的平均均指数数相加加，各各季的的季节节指数数之和和应为为400%，各月月的季季节指指数之之和应应为1200%，如果果其和和不等于于400%或1200%，应计计算校校正系系数进进行校校正。。校正系系数=或=【例题】某厂1998年-2000年围巾巾季度度销售售量(万条)资料如如下：：要求：：用移移动平平均趋趋势剔剔除法法测定定数列列的季季节变变动。。

一季度二季度三季度四季度1998年21663182551999年24575223782000年2889926399移动平均剔除长期趋势计算表季度销售量(万条)

Yt四项移动

平均二项移动

平均Tt趋势值剔除

Yt/Tt*100%98.1216

263138

318145.25141.62512.714255148.25146.75173.7699.1245149.25148.75164.71275180164.62545.56322190.75185.37511.874378196.75193.75195.102000.1288197.75197.25146.01299203200.37549.41326

4399

剔除长期趋势后季节比率计算表年份一季度二季度三季度四季度合计98年%

12.7096173.7649

99年%164.70645.558111.8678195.0968

2000年%146.00849.4074

平均数%155.3647.482712.2887184.4308399.559校正系数1.00111.00111.00111.0011

季节指数%155.5347.5612.30184.63400为方便计算算，把上例例月资料改改为季资料料：单位：百千千克季度年份一二三四第一年28044

67

785第二年440701421050第三年480511691120季度销售量y(百千克)四项移动平均二项移动平均（趋势值）T趋势值剔除除法y/T×100%=S·I第一年Ⅰ

280--Ⅱ

44--Ⅲ

67314

21.34Ⅳ

785337.25232.77第二年Ⅰ

440349.875125.76Ⅱ

70392.375

17.84Ⅲ

142430.5

32.98Ⅳ

1050433.125242.42第三年Ⅰ

480434.125110.57Ⅱ

51446.25

11.43Ⅲ

169---Ⅳ

1120---294334340.5359.25425.5435.5430.75437.5455移动平均趋趋势剔除计计算表销量趋势剔剔除后按季季度平均计计算表第一季第二季第三季第四季合计第一年--

21.34

232.77第二年

125.76

17.84

32.98

242.42第三年

110.57

11.43--合计

236.33

29.27

54.32

475.19平均

118.165

14.635

27.16

237.60

397.56校正比例

1.0061

1.0061

1.0061

1.0061季节比率S.I.

118.89

14.72

27.33

239.05

400一、平稳型型数列的预预测方法1．简单平均均法根据过去已已有的t期观察值来来预测下一一期数值的的预测方法法。设时间数列列已有的t期观察值为为，，则则期期的预测值为。。当期期结结束后，便便有了期期的实际值值，可以计计算出第期期的的预测误差差为。。第五节时时间数列的的预测方法法第八章期的预测值值为为依此类推。。简单平均法法只能用来来预测最近近一期的数数值。另外外，它将远远期数值和和近期数值值看作对未未来同等重重要。但从预测的的角度来看看，近期数数值要比远远期数值对对未来影响响更大，所所以简单平平均法适合合于对较为为平稳的时时间数列的的预测。2．移动平均均法对简单平均均法的一种种改进，它它是通过对对时间数列列逐期移动动求得平均均数作为预预测值。简单移动平平均法加权移动平平均法只能预测最最近一期数数值（1）简单移动动平均法简单移动平平均法是将将最近k（移动间隔隔）期数据据简单平均均，作为下下一期的预预测值。则，期期的简简单移动平平均预测值值为：同理，期期的简单移移动平均预预测值为：：依此类推。。（2）加权移动动平均法简单移动平平均法在预预测时，将将每个观察察值都赋予予相同的权权数，即认认为远期数数值和近期期数值对未未来的影响响是相同的的，但实际际上，多数数情况下，，近期数值值要比远期期数值对未未来影响更更大，加权权移动平均均法就是考考虑了这种种不同的影影响，从而而给各期数数值赋予了了不同的权权数。同理，期期的简单移移动平均预预测值为：：依此类推。。加权移动平平均法是将将最近k期数据加权权平均，作作为下一期期的预测值值。则，期期的加加权移动平平均预测值值为：P290例8-17实际际上上，，一一旦旦选选定定了了平平滑滑系系数数，，只只需需要要两两项项信信息息（（和和））就就可可以以计计算算预预测测值值。。3．指指数数平平滑滑法法以时时期期的的预预测测值值与与实实际际值值的的线线性性组组合合作作为为期的的预预测测值值。。其预预测测模模型型为为：：平滑滑系系数数由于于开开始始计计算算时时，，我我们们没没有有第第1期的的预预测测值值，，通通常常可可以以设设等等于于第第1期的的实实际际值值，，即，，因此此第第2期的的预预测测值值为为：：第3期的的预预测测值值为为：：第4期的的预预测测值值为为：：一般般而而言言，，当当时时间间数数列列有有较较大大的的随随机机波波动动时时，，宜宜选选择择较较大大的的，，以以便便能能跟跟上上近近期期的的变变化化，，当当时时间间数数列列比比较较平平稳稳时时，，宜宜选选择择较较小小的的。。可见，预测值值是是以前前所有实际值值的加权平均均。依此类推，使用指数平滑滑法时，关键键的问题是确确定一个合适适的平滑系数数，，因为不同同的会会对预测结结果产生不同同的影响。实际工作中，，可以选择不不同的值值进行行几种方案的的试算，对不不同的值值下的预预测误差进行行比较，取误误差最小的值建立预测模模型。二、线性趋势势数列的预测测方法当现象的发展展具有线性趋趋势变化时，，可以用线性性趋势方程加加以描述。三、时间数列列的自相关性性和自回归预预测法自相关指时间间数列前后各各期数值之间间的相关关系系。测定自相关关关系的指标便便是自相关系系数1.自相关系数时间延迟为1的自相关系数数：时间编号t123456789101112销售量（百辆）505253535556585960616162【例题】某公司12年自行车销售售量资料如下下表所示，要要求计算自自相关系数r1。时间延迟为2的自相关系数数：时间延迟为k的自相关系数数：利用时间数列列的自相关系系数，我们可可以对时间数数列的性质和和特征作出判判断-12.判别准则（1）时间数列所所有自相关系系数r1，r