时间序列趋势外推预测

经济预测与决策重庆交通大学管理学院第九章

时间序列趋势外推预测主要内容及学习目标了解时间序列的概念，理解时间序列的分解理解时间序列常用的预测方法掌握时间序列的滑动(移动)平均预测法掌握时间序列的指数平滑预测法理解二次滑动平均预测法理解二次指数平滑预测法了解三次指数平滑预测法掌握时间序列的分解预测法理解时间序列的温特线性和季节性指数平滑预测法9-1时间序列分析预测法时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势,外推预测目标的未来值。一、概念：时间序列时间序列是指某种经济统计指标的数值，按时间先后顺序排列起来的数列。时间序列是时间t的函数，若用Y表示，则有：Y=Y（t）时间序列绝对数时间序列相对数时间序列平均数时间序列派生派生时期序列

时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段时期内发展过程的总量指标所构成的序列。

如各个年度的国民生产总值。时点序列

时点序列是指由反映某种社会经济现象在一定时点上的发展状况的指标所构成的序列。

如各个年末的人口总数。思考：“增加到”、“增加了”这两种提法，哪个绝对？哪个相对？二、时间序列的影响因素一个时间序列是多种因素综合作用的结果。这些因素可以分为四种：长期趋势变动季节变动循环变动不规则变动1.长期趋势变动长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随着经济的发展，在相当长的持续时间内，单方向的上升、下降或水平变动的因素。它反映了经济现象的主要变动趋势。长期趋势变动是时间t的函数，它反映了不可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常用T表示，T=T（t）。2.循环变动循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周期性变动。即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。循环变动是时间的函数，通常用C表示，C=C（t）。3.季节变动季节变动是指以一年为周期的周期性变动。季节变动是时间的函数，通常用S表示，S=S（t）。4.不不规则则变动动不规则则变动动是指指由各各种偶偶然因因素引引起的的随机机性变变动。。不规则则变动动通常常用I表示示，I=I（t）。。三、时时间序序列因因素的的组合合形式式时间序序列变变动是是长期期趋势势变动动、季季节变变动、、循环环变动动和不不规则则变动动四种种因素素综合合作用用的结结果。。四种种因素素组合合的形形式有有多种种，有有以下下两种种基本本形式式。1．加加法型型Y=T+C+S+I2．乘乘法型型Y=T··C··S··I四、时间间序列预预测的步步骤时间序列列预测的的一般步步骤是：：1.根据据已知时时间序列列，分解解各变动动因素，，并找出出其随时时间变动动的规律律。2.根据据各变动动因素的的规律，，组合分分析，求求得时间间序列的的变动规规律。3.根据据时间序序列的变变动规律律进行预预测。9-2移动平均均法移动平均均法是根根据时间间序列，，逐项推推移，依依次计算算包含一一定项数数的移动动平均数数，据以以进行预预测的方方法。移动平均均法主要要有：一次移动动平均法法二次移动动平均法法一、一次次移动平平均法设时间序序列为：：Y1Y2Yt。一次移移动平均均数的计计算公式式为：一次移动动平均数数的递推推公式一次移动动平均法法预测公公式为：：即以第t期的一一次移动动平均数数作为下下一期（（t+1期）的的预测值值。项数N的的选择N越大，，修匀的的程度也也越大，，波动也也越小，，有利于于消除不不规则变变动的影影响，但但同时周周期变动动难于反反映出来来；反之，N选取得得越小，，修匀性性越差，，不规则则变动的的影响不不易消除除，趋势势变动不不明显。。但N应取取多大，，应根据据具体情情况作出出决定。。实践中中，通常常选用几几个N值值进行试试算，通通过比较较在不同同N值条条件下的的预测误误差，从从中选择择使预测测误差最最小的N值作为为移动平平均的项项数。均方误差差预测误差差可以通通过均方方误差MSE来来度量。。式中：K——时时间序列列的项数数例9-1:某农机公公司某年年1月至至12月月某种农农具的销销售量如如表9-1。试试用一次次移动平平均法预预测次年年1月的的销售量量。表9-1一次移动平均数计算表单位：件月份数t实际销售量Yt一次移动平均数MtN=3N=5142323583434405444541255274694376429467439742646145285024524669480469473103844554441142743044412446419448解：分别取N=3，N=5，计算各各月的一一次移动动平均数数。计算两种种N值下下的均方方误差：：由计算结结果可见见，MSE3>MSE5，故选取取N=5，预测测次年1月该农农具的销销售量为为448件。表9-2误差平方和计算表月份数t实际销售量Yt一次移动平均数MtN=3N=5预测销售量误差平方预测销售量误差平方1423235834344445405160055274121322564294691600437647426467168143916985024611681452250094804527844661961038446972254737921114274557844463611244643025644444194482883611215二、二次次移动平平均法当时间序序列没有有明显的的趋势变变动时，，可以采采用一次次移动平平均法进进行短期期预测。。当时间序序列出现现线性变变动趋势势时，可可以采用用二次移移动平均均法进行行预测。。1.二次次移动平平均数概概念在一次移移动平均均数的基基础上，，再进行行一次移移动平均均，其值值称为二二次移动动平均数数。2.二次次移动平平均法预预测公式式若时间序序列具有有线性趋趋势变动动，并预预测未来来亦按此此趋势变变动，则则可建立立线性趋趋势预测测模型：：式中：t———当前时时期数T——当当前时期期至预测测期的时时期数at——对应应于当前前时期的的线性方方程的截截距系数数bt——对应应于当前前时期的的线性方方程的斜斜率系数数at、bt的估计式式由于已知知的时间间序列具具有线性性变动规规律,所所以有：：Why?线性趋势势预测模模型根据式（（9-12）、、（9-13））就可以以通过一一次移动动平均数数和二次次移动平平均数求求出线性性预测模模型（9-8））的参数数，建立立线性趋趋势预测测模型。。例9-2：已知某商商品连续续12个个月的市市场需求求量如表表9-3所示，，试用二二次移动动平均法法预测5个月后后的市场场需求量量。（取取N=5）表9-3某商品市场需求量单位：千吨时期数t需求量Yt一次移动平均数二次移动平均数150

250

353

456

55954

66256

76559

86862

9716559107468621177716512807468解：分别计算算当前时时期t=12的的一次移移动平均均数Mt（1）和二次次移动平平均数Mt（2）。得：M12（1）=74，，M12（2）=68由式（9-12）、（（9-13）得得：预测即估计5个月后后市场需需求量是是95千千吨。9-3指指数平平滑法移动平均均法具有有简便易易行的优优点，但但受N的的大小影影响较大大，对于于早期的的历史资资料较少少考虑或或根本不不加以利利用。指指数平滑滑法改进进了这一一缺点，，它充分分利用了了历史资资料，又又考虑到到各期数数据的重重要性，，是目前前应用较较为广泛泛的预测测方法之之一。指数平滑滑法指数平滑滑法根据据平滑次次数不同同，可分分为：一次指数数平滑法法二次指数数平滑法法三次指数数平滑法法等一、一次次指数平平滑法1.一次次指数平平滑值2.一次次指数平平滑法预预测模型型3.平滑滑系数4.初始始值的确确定1.一次次指数平平滑值对一次移移动平均均数的递递推公式式（9-3）加加以改进进，用Mt-1（1）代替Yt-N，同时用用St（1）表示Mt（1），则：式中：——平滑滑系数，，且01。2.一次次指数平平滑法预预测模型型一次指数数平滑法法的预测测模型为为：由式（9-18）可见见，利用用一次指指数平滑滑法进行行预测，，其值的的大小受受前一期期的观测测值和预预测值的的影响，，这两部部分所占占的比重重由平滑滑系数加以调整整。3.平滑滑系数由预测模模型可见见，起到一个个调节器器的作用用。如果果值选取得得越大，，则越加加大当前前数据的的比重，，预测值值受近期期影响越越大；如如果值选取得得越小，，则越加加大过去去数据的的比重，，预测值值受远期期影响越越大。因因此，值大小的的选取对对预测的的结果关关系很大大。如何何选取值呢？通通常值的选取取类似于于移动平平均法中中对值N的选取取，即多多选几个个值进行试试算，选选择使预预测误差差小的值。4.初始始值的确确定式中S0（1）称为初始始值，不不能通过过式（9-15）求得得，一般般是事先先指定或或估计。。指定或或估计的的方法有有两种：：当时间间序列的的项数较较多时，，初始值值对最终终的预测测结果影影响相对对小一些些，可以以指定第第一项的的值为初初始值，，即S0（1）=Y1；当时间间序列的的项数较较少时，，初始值值的大小小对最终终预测结结果的影影响就不不容忽视视，通常常是选取取前几项项的平均均值作为为初始值值。例9-3已知某企企业2000年年1至12月利利润额，，试取平平滑系数数=0.1,0.5,0.9，分分别求出出该企业业每月利利润的指指数平滑滑值，并并预测2001年1月月的利润润额。（（指定初初始值S0（1）=Y1）解：当=0.1，S0（1）=51.3时：：S1（1）=0.151.3(10.1)51.3=51.3S2（1）=0.135.7(10.1)51.3=49.7S3（1）=0.127.9(10.1)49.7=47.6同理,分分别计算算出=0.5、=0.9时各指指数平滑滑值列于于表(9-4)中。表9-4各月利润额及指数平滑值单位：千元月份利润额指数平滑值tYta=0.1a=0.5a=0.9151.351.351.351.3235.749.743.537.3327.947.635.728.8432.3463432548.246.241.146.6654.647.147.953.875247.649.952.2847.547.648.748942.34745.542.91045.846.945.745.51143.946.644.844.11247.246.74646.9预测与一次移移动平均均法类时时，一次次指数平平滑法仅仅适用于于近期预预测。2001年1月月的预测测值可根根据2000年年12月月的一次次指数平平滑值估估计。即即：当取=0.1时，估估计2001年年1月的的利润额额为46.7（（千元））；当取=0.5时，估估计2001年年1月的的利润额额为46.0（（千元））；当取=0.9时，估估计2001年年1月的的利润额额为46.9（（千元））。二、二次次指数平平滑法当时间序序列的变变动呈线线性趋势势时，可可采用二二次指数数平滑法法。二次指数数平滑法法是在一一次指数数平滑的的基础上上再进行行一次指指数平滑滑。二次指数数平滑值值计算式式：参照一次次指数平平滑值的的计算，，二次指指数平滑滑值可采采用下式式计算：：线性趋势势预测模模型：若时间序序列具有有线性趋趋势变动动，并预预测未来来亦按此此趋势变变动，则则可以建建立线性性趋势预预测模型型：at、bt的估计式式例9-4已知某商商品最近近12个个月的国国际市场场需求量量，取平平滑系数数=0.3，，试用二次次指数平滑滑法预测6个月之后后国际市场场的需求量量。解：根据式（9-15））计算各一一次指数平平滑值列于于表9-5的第三列列，根据式式（9-19）计算算各二次指指数平滑值值列于表9-5的第第四列。表9-5某商品的需求量及指数平滑值单位：万吨月份市场需求量一次指数平滑值二次指数平滑值tYtSt（1）St（2）150505025250.650.1834749.5249.9845149.9649.9754949.6749.8864849.1749.6775149.7249.6884046.848.8294847.1648.32105248.6148.41115149.3348.68125952.2349.75计算预测建立二次指指数平滑法法预测模型型为：预测6个月月后的需求求量为：三、三次指指数平滑法法当时间序列列的变动呈呈现为二次次曲线趋势势时，则需需要用三次次指数平滑滑法进行预预测。三次指数平平滑法是在在二次指数数平滑的基基础上再进进行一次指指数平滑。。参照一次指指数平滑值值和二次指指数平滑值值的计算，，三次指数数平滑值采采用下式计计算：三次指数平平滑法的预预测模型为为：at、bt、ct的估计式例9-5某地区近年年来国有企企业固定资资产投资总总额列于表表9-6，，试用三次次指数平滑滑法预测2002年年固定资产产投资总额额。（取=0.3））表9-6固定资产投资总额及指数平滑值单位：亿元年份时期数投资总额一次指数平滑值二次指数平滑值三次指数平滑值YtYtSt（1）St（2）St（3）1990120.0421.3721.7721.891991220.0620.9821.5321.781992325.7222.421.7921.781993434.6126.0623.0722.171994551.7733.7826.2823.41995655.9240.4230.5325.541996780.6552.4937.1129.0119978131.1176.0748.834.9519989148.5897.8363.5143.52199910162.67117.2879.6454.35200011232.26151.77101.2868.43解：由式（9-15）、、（9-19）、（（9-23）计算St（1）、St（2）、St（3）各值列于表表9-6中中。当t=11时，由式式（9-25）、（（9-26）、（9-27））得：预测由式(9-24)的的预测模型型：2002年年为2000年之后后两年，即即T=2，，即预计到2002年年固定资产产的投资总总额将达到到303.14亿元元。9-4样样本序列具具有线性趋趋势

和季季节波动的的外推预测测也称为“时时间序列的的分解”1.加法模模型预测法法已知加法模型：：yt=Tt+St+Ct+εt满足2.乘法模模型预测法法乘法模型：：yt=Tt*St*Ct*εt步骤9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December24,202210、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。07:29:4107:29:4107:2912/24/20227:29:41AM11、以我我独沈沈久，，愧君君相见见频。。。12月月-2207:29:4107:29Dec-2224-Dec-2212、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。07:29:4107:29:4107:29Saturday,December24,202213、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。12月月-2212月月-2207:29:4107:29:41December24,202214、他乡生生白发，，旧国见见青山。。。24十十二月20227:29:41上午午07:29:4112月-2215、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。十二月227:29上上午12月-2207:29December24,202216、行动出成果果，工作出财财富。。2022/12/247:29:4107:29:4124December202217、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。7:29:41上上午7:29上上午07:29:4112月-229、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，但但是是不不努努力力却却什什么么改改变变也也没没有有。。。。07:29:4107:29:4107:2912/24/20227:29:41AM11、成功就就是日复复一日那那一点点点小小努努力的积积累。。。12月-2207:29:4107:29Dec-2224-Dec-2212、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。07:29:4107:29:4107:29Saturday,December24,202213、不知知香积积寺，，数里里入云云峰。。。12月月-2212月月-2207:29:4107:29:41December24,202214、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。24十二二月20227:29:41上上午07:29:4112月-2215、楚塞三湘湘接，荆门门九派通。。。。十二月227:29上上午12月-2207:29December24,202216、少年十十五二