时间序列趋势外推预测与决策

经济预测与决策重庆交通大学管理学院第九章

时间序列趋势外推预测主要内容及学习目标了解时间序列的概念，理解时间序列的分解理解时间序列常用的预测方法掌握时间序列的滑动(移动)平均预测法掌握时间序列的指数平滑预测法理解二次滑动平均预测法理解二次指数平滑预测法了解三次指数平滑预测法掌握时间序列的分解预测法理解时间序列的温特线性和季节性指数平滑预测法9-1时间序列分析预测法时间序列分析预测法是将预测目标的历史数据按照时间的顺序排列成为时间序列，然后分析它随时间的变化趋势,外推预测目标的未来值。一、概念：时间序列时间序列是指某种经济统计指标的数值，按时间先后顺序排列起来的数列。时间序列是时间t的函数，若用Y表示，则有：Y=Y（t）时间序列绝对数时间序列相对数时间序列平均数时间序列派生派生时期序列

时期序列是指由反映某种社会经济现象在一段时期内发展过程的总量指标所构成的序列。

如各个年度的国民生产总值。时点序列

时点序列是指由反映某种社会经济现象在一定时点上的发展状况的指标所构成的序列。

如各个年末的人口总数。思考：“增加到”、“增加了”这两种提法，哪个绝对？哪个相对？二、时间序列的影响因素一个时间序列是多种因素综合作用的结果。这些因素可以分为四种：长期趋势变动季节变动循环变动不规则变动1.长期趋势变动长期趋势变动又称倾向变动，它是指伴随着经济的发展，在相当长的持续时间内，单方向的上升、下降或水平变动的因素。它反映了经济现象的主要变动趋势。长期趋势变动是时间t的函数，它反映了不可逆转的倾向的变动。长期趋势变动通常用T表示，T=T（t）。2.循环变动循环变动是围绕于长期趋势变动周围的周期性变动。即循环变动是具有一定周期和振幅的变动。循环变动是时间的函数，通常用C表示，C=C（t）。3.季节变动季节变动是指以一年为周期的周期性变动。季节变动是时间的函数，通常用S表示，S=S（t）。4.不规则则变动不规则变动动是指由各各种偶然因因素引起的的随机性变变动。不规则变动动通常用I表示，I=I（t）。三、时间序序列因素的的组合形式式时间序列变变动是长期期趋势变动动、季节变变动、循环环变动和不不规则变动动四种因素素综合作用用的结果。。四种因素素组合的形形式有多种种，有以下下两种基本本形式。1．加法型型Y=T+C+S+I2．乘法型型Y=T··C··S··I四、时间序序列预测的的步骤时间序列预预测的一般般步骤是：：1.根据已已知时间序序列，分解解各变动因因素，并找找出其随时时间变动的的规律。2.根据各各变动因素素的规律，，组合分析析，求得时时间序列的的变动规律律。3.根据时时间序列的的变动规律律进行预测测。9-2移动平均法法移动平均法法是根据时时间序列，，逐项推移移，依次计计算包含一一定项数的的移动平均均数，据以以进行预测测的方法。。移动平均法法主要有：：一次移动平平均法二次移动平平均法一、一次移移动平均法法设时间序列列为：Y1Y2Yt。一次移动动平均数的的计算公式式为：一次移动平平均数的递递推公式一次移动平平均法预测测公式为：：即以第t期期的一次移移动平均数数作为下一一期（t+1期）的的预测值。。项数N的选选择N越大，修修匀的程度度也越大，，波动也越越小，有利利于消除不不规则变动动的影响，，但同时周周期变动难难于反映出出来；反之，N选选取得越小小，修匀性性越差，不不规则变动动的影响不不易消除，，趋势变动动不明显。。但N应取多多大，应根根据具体情情况作出决决定。实践践中，通常常选用几个个N值进行行试算，通通过比较在在不同N值值条件下的的预测误差差，从中选选择使预测测误差最小小的N值作作为移动平平均的项数数。均方误差预测误差可可以通过均均方误差MSE来度度量。式中：K———时间序序列的项数数例9-1:某农机公司司某年1月月至12月月某种农具具的销售量量如表9-1。试用用一次移动动平均法预预测次年1月的销售售量。表9-1一次移动平均数计算表单位：件月份数t实际销售量Yt一次移动平均数MtN=3N=5142323583434405444541255274694376429467439742646145285024524669480469473103844554441142743044412446419448解：分别取N=3，N=5，计算各月月的一次移移动平均数数。计算两种N值下的均均方误差：：由计算结果果可见，MSE3>MSE5，故选取N=5，预预测次年1月该农具具的销售量量为448件。表9-2误差平方和计算表月份数t实际销售量Yt一次移动平均数MtN=3N=5预测销售量误差平方预测销售量误差平方1423235834344445405160055274121322564294691600437647426467168143916985024611681452250094804527844661961038446972254737921114274557844463611244643025644444194482883611215二、二次移移动平均法法当时间序列列没有明显显的趋势变变动时，可可以采用一一次移动平平均法进行行短期预测测。当时间序列列出现线性性变动趋势势时，可以以采用二次次移动平均均法进行预预测。1.二次移移动平均数数概念在一次移动动平均数的的基础上，，再进行一一次移动平平均，其值值称为二次次移动平均均数。2.二次移移动平均法法预测公式式若时间序列列具有线性性趋势变动动，并预测测未来亦按按此趋势变变动，则可可建立线性性趋势预测测模型：式中：t——当当前时期数数T——当前前时期至预预测期的时时期数at——对应于于当前时期期的线性方方程的截距距系数bt——对应于于当前时期期的线性方方程的斜率率系数at、bt的估计式由于已知的的时间序列列具有线性性变动规律律,所以有有：Why?线性趋势预预测模型根据式（9-12））、（9-13）就就可以通过过一次移动动平均数和和二次移动动平均数求求出线性预预测模型（（9-8））的参数，，建立线性性趋势预测测模型。例9-2：：已知某商品品连续12个月的市市场需求量量如表9-3所示，，试用二次次移动平均均法预测5个月后的的市场需求求量。（取取N=5））表9-3某商品市场需求量单位：千吨时期数t需求量Yt一次移动平均数二次移动平均数150

250

353

456

55954

66256

76559

86862

9716559107468621177716512807468解：分别计算当当前时期t=12的的一次移动动平均数Mt（1）和二次移移动平均数数Mt（2）。得：M12（1）=74，M12（2）=68由式（9-12）、、（9-13）得：：预测即估计5个个月后市场场需求量是是95千吨吨。9-3指指数平滑法法移动平均法法具有简便便易行的优优点，但受受N的大小小影响较大大，对于早早期的历史史资料较少少考虑或根根本不加以以利用。指指数平滑法法改进了这这一缺点，，它充分利利用了历史史资料，又又考虑到各各期数据的的重要性，，是目前应应用较为广广泛的预测测方法之一一。指数平滑法法指数平滑法法根据平滑滑次数不同同，可分为为：一次指数平平滑法二次指数平平滑法三次指数平平滑法等一、一次指指数平滑法法1.一次指指数平滑值值2.一次指指数平滑法法预测模型型3.平滑系系数4.初始值值的确定1.一次指指数平滑值值对一次移动动平均数的的递推公式式（9-3）加以改改进，用Mt-1（1）代替Yt-N，同时用St（1）表示Mt（1），则：式中：——平滑系系数，且01。2.一次指指数平滑法法预测模型型一次指数平平滑法的预预测模型为为：由式（9-18）可可见，利用用一次指数数平滑法进进行预测，，其值的大大小受前一一期的观测测值和预测测值的影响响，这两部部分所占的的比重由平平滑系数加以调整。。3.平滑系系数由预测模型型可见，起到一个调调节器的作作用。如果果值选取得越越大，则越越加大当前前数据的比比重，预测测值受近期期影响越大大；如果值选取得越越小，则越越加大过去去数据的比比重，预测测值受远期期影响越大大。因此，，值大小的选选取对预测测的结果关关系很大。。如何选取取值呢？通常常值的选取类类似于移动动平均法中中对值N的的选取，即即多选几个个值进行试算算，选择使使预测误差差小的值。4.初始值值的确定式中S0（1）称为初始值值，不能通通过式（9-15））求得，一一般是事先先指定或估估计。指定定或估计的的方法有两两种：当时时间序列的的项数较多多时，初始始值对最终终的预测结结果影响相相对小一些些，可以指指定第一项项的值为初初始值，即即S0（1））=Y1；当当时时间间序序列列的的项项数数较较少少时时，，初初始始值值的的大大小小对对最最终终预预测测结结果果的的影影响响就就不不容容忽忽视视，，通通常常是是选选取取前前几几项项的的平平均均值值作作为为初初始始值值。。例9-3已知知某某企企业业2000年年1至至12月月利利润润额额，，试试取取平平滑滑系系数数=0.1,0.5,0.9，，分分别别求求出出该该企企业业每每月月利利润润的的指指数数平平滑滑值值，，并并预预测测2001年年1月月的的利利润润额额。。（（指指定定初初始始值值S0（1））=Y1）解：：当=0.1，，S0（1））=51.3时时：：S1（1））=0.151.3(10.1)51.3=51.3S2（1））=0.135.7(10.1)51.3=49.7S3（1））=0.127.9(10.1)49.7=47.6同理理,分分别别计计算算出出=0.5、、=0.9时时各各指指数数平平滑滑值值列列于于表表(9-4)中中。。表9-4各月利润额及指数平滑值单位：千元月份利润额指数平滑值tYta=0.1a=0.5a=0.9151.351.351.351.3235.749.743.537.3327.947.635.728.8432.3463432548.246.241.146.6654.647.147.953.875247.649.952.2847.547.648.748942.34745.542.91045.846.945.745.51143.946.644.844.11247.246.74646.9预测测与一一次次移移动动平平均均法法类类时时，，一一次次指指数数平平滑滑法法仅仅适适用用于于近近期期预预测测。。2001年年1月月的的预预测测值值可可根根据据2000年年12月月的的一一次次指指数数平平滑滑值值估估计计。。即即：：当取取=0.1时时，，估估计计2001年年1月月的的利利润润额额为为46.7（（千千元元））；；当取取=0.5时时，，估估计计2001年年1月月的的利利润润额额为为46.0（（千千元元））；；当取取=0.9时时，，估估计计2001年年1月月的的利利润润额额为为46.9（（千千元元））。。二、、二二次次指指数数平平滑滑法法当时时间间序序列列的的变变动动呈呈线线性性趋趋势势时时，，可可采采用用二二次次指指数数平平滑滑法法。。二次次指指数数平平滑滑法法是是在在一一次次指指数数平平滑滑的的基基础础上上再再进进行行一一次次指指数数平平滑滑。。二次次指指数数平平滑滑值值计计算算式式：：参照照一一次次指指数数平平滑滑值值的的计计算算，，二二次次指指数数平平滑滑值值可可采采用用下下式式计计算算：：线性性趋趋势势预预测测模模型型：：若时时间间序序列列具具有有线线性性趋趋势势变变动动，，并并预预测测未未来来亦亦按按此此趋趋势势变变动动，，则则可可以以建建立立线线性性趋趋势势预预测测模模型型：：at、、bt的估估计计式式例9-4已知知某某商商品品最最近近12个个月月的的国国际际市市场场需需求求量量，，取取平平滑滑系系数数=0.3，，试试用用二二次次指指数数平平滑滑法法预预测测6个个月月之之后后国国际际市市场场的的需需求求量量。。解：：根据据式式（（9-15））计计算算各各一一次次指指数数平平滑滑值值列列于于表表9-5的的第第三三列列，，根根据据式式（（9-19））计计算算各各二二次次指指数数平平滑滑值值列列于于表表9-5的的第第四四列列。。表9-5某商品的需求量及指数平滑值单位：万吨月份市场需求量一次指数平滑值二次指数平滑值tYtSt（1）St（2）150505025250.650.1834749.5249.9845149.9649.9754949.6749.8864849.1749.6775149.7249.6884046.848.8294847.1648.32105248.6148.41115149.3348.68125952.2349.75计算算预测测建立立二二次次指指数数平平滑滑法法预预测测模模型型为为：：预测测6个个月月后后的的需需求求量量为为：：三、、三三次次指指数数平平滑滑法法当时时间间序序列列的的变变动动呈呈现现为为二二次次曲曲线线趋趋势势时时，，则则需需要要用用三三次次指指数数平平滑滑法法进进行行预预测测。。三次次指指数数平平滑滑法法是是在在二二次次指指数数平平滑滑的的基基础础上上再再进进行行一一次次指指数数平平滑滑。。参照照一一次次指指数数平平滑滑值值和和二二次次指指数数平平滑滑值值的的计计算算，，三三次次指指数数平平滑滑值值采采用用下下式式计计算算：：三次次指指数数平平滑滑法法的的预预测测模模型型为为：：at、、bt、、ct的估估计计式式例9-5某地区近年来来国有企业固固定资产投资资总额列于表表9-6，试试用三次指数数平滑法预测测2002年年固定资产投投资总额。（（取=0.3）表9-6固定资产投资总额及指数平滑值单位：亿元年份时期数投资总额一次指数平滑值二次指数平滑值三次指数平滑值YtYtSt（1）St（2）St（3）1990120.0421.3721.7721.891991220.0620.9821.5321.781992325.7222.421.7921.781993434.6126.0623.0722.171994551.7733.7826.2823.41995655.9240.4230.5325.541996780.6552.4937.1129.0119978131.1176.0748.834.9519989148.5897.8363.5143.52199910162.67117.2879.6454.35200011232.26151.77101.2868.43解：由式（9-15）、（9-19）、、（9-23）计算St（1）、St（2）、St（3）各值列于表9-6中。当t=11时时，由式（9-25）、、（9-26）、（9-27）得：：预测由式(9-24)的预测测模型：2002年为为2000年年之后两年，，即T=2，，即预计到2002年固定定资产的投资资总额将达到到303.14亿元。9-4样本本序列具有线线性趋势和和季节波动的的外推预测也称为“时间间序列的分解解”1.加法模型型预测法已知加法模型：yt=Tt+St+Ct+εt满足2.乘法模型型预测法乘法模型：yt=Tt*St*Ct*εt步骤9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December24,202210、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。07:29:4607:29:4607:2912/24/20227:29:46AM11、以我独独沈久，，愧君相相见频。。。12月-2207:29:4607:29Dec-2224-Dec-2212、故人江江海别，，几度隔隔山川。。。07:29:4607:29:4607:29Saturday,December24,202213、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。12月-2212月-2207:29:4607:29:46December24,202214、他乡生白白发，旧国国见青山。。。24十二二月20227:29:46上上午07:29:4612月-2215、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。十二月227:29上上午12月-2207:29December24,202216、行动出成成果，工作作出财富。。。2022/12/247:29:4607:29:4624December202217、做做前前，，能能够够环环视视四四周周；；做做时时，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿着着以以脚脚为为起起点点的的射射线线向向前前。。。。7:29:46上上午午7:29上上午午07:29:4612月月-229、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、很多事情努努力了未必有有结果，但是是不努力却什什么改变也没没有。。07:29:4607:29:4607:2912/24/20227:29:46AM11、成功功就是是日复复一日日那一一点点点小小小努力力的积积累。。。12月月-2207:29:4607:29Dec-2224-Dec-2212、世间间成事事，不不求其其绝对对圆满满，留留一份份不足足，可可得无无限完完美。。。07:29:4607:29:4607:29Saturday,December24,202213、不知香积积寺，数里里入云峰。。。12月-2212月-2207:29:4607:29:46December24,202214、意志坚强强的人能把把世界放在在手中像泥泥块一样任任意揉捏。。24十二二月20227:29:46上上午07:29:4612月-2215、楚塞三三湘接，，荆门九九派通。。。。十二月227:29上午