隐函数与参数方程的导数课件

一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数§3.2.5隐函数及由参数方程确定的函数的导数上页下页铃结束返回首页2023/1/11一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数§3.2.5一、隐函数的导数显函数与隐函数下页(1)显函数:我们把函数y可由自变量x的解析式称为显函数.也可以确定一个函数,

因为当来表示的这种函数,例如

ysinx

ylnxex

都是显函数若变量y与x之间的函数关系是由某一个方程0),(=yxF所确定,那么这种函数称为由方程0),(=yxF所确定的隐函数.(2)隐函数:2023/1/12一、隐函数的导数显函数与隐函数下页(1)显函数:我们把函数把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数.如方程0=+-yxeexy所确定的隐函数就不能显化。隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化,直x接在方程0),(=yxF的两端对求导,由此得到隐函数的导数，若y是由0),(=yxF所确定的函数,将方程两边对x求导,但要把y看成中间变量,应用复合函数求导法则进行求导。隐函数的求导法2023/1/13把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化注意:并不是所有的隐提示:

例1

求由方程y22x

y90所确定的隐函数y的导数

2y

y2y2x

y

0

即(yx)yy

隐函数求导举例方程中每一项对x求导得

解

(xy)y+xy.(y2)2yy,下页从而

2023/1/14提示:例1求由方程y22xy9

例2

求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0

因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得

解法一

下页2023/1/15例2求由方程y52yx3x70所

5y4y2y121x60

根据原方程当x0时

y0

将其代入上述方程得

2y10

从而y|x0，y0

05把方程两边分别对x求导数得

解法二

下页

例2

求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0

2023/1/165y4y2y12例3解解得2023/1/17例3解解得2022/12/297

解

下页

例4

求曲线在点处的切线方程和法线方程

方程两边求导数得

于是在点处y1

所求切线方程为

即

所求法线方程为

即xy0

2023/1/18解下页例4求曲线02)1(22=++xyx解yyxarctan)2(+=解练习求由下列方程所确定的隐函数的导数2023/1/1902)1(22=++xyx解yyxarctan)2(+=解练y

f(x)[lnf(x)]

对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数

设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)

两边对x

求导得对数求导法下页2023/1/110yf(x)[lnf(x)]此

例1

求yxsinx

(x>0)的导数

解法二

这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.

解法一

上式两边对x

求导得两边取对数得lnysinxlnx

yxsinxesinx·lnx

下页2023/1/111例1求yxsinx(x>0)的导

皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重例2

已知函数解等式两边取自然对数得2023/1/113例2已知函数解等式两边取自然对数得2022/12/291求y¢xxylnln=得化简得练习解等式两边取自然对数得2023/1/114求y¢xxylnln=得化简得练习解等式两边取自然对数得20(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题。解等式两边取自然对数：例32023/1/115(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题上式两边对x求导得说明

严格来说本题应分x4

x12x3三种情况讨论

但结果都是一样的

例4

求函数)4)(3()2)(1(----=xxxxy的导数.先在两边取对数得+---xlny21=[ln(x1)ln(x2)-ln(x3)-ln(-4)],

解

首页2023/1/116上式两边对x求导得说明例4等式两边取对数得解练习2023/1/117等式两边取对数得解练习2022/12/2917二、由参数方程所确定的函数的导数

设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若xj(t)和yy(t)都可导则下页2023/1/118二、由参数方程所确定的函数的导数设xj(t解

由参数方程的求导方法,得一阶导数或tdxdycot-=例1求由参数方程所确定函数的导数2023/1/119解由参数方程的求导方法,得一阶导数或tdxdycot-=例2

求摆线îíì-=-=)cos1()sin(tayttax在2p=t处的切线方程和法线方程解

由参数方程的求导方法,得摆线上点当时,处切线斜率为切线方程为法线方程为2023/1/120例2求摆线îíì-=-=)cos1()sin(taytta练习1.求下列参数方程所确定的函数的导数2023/1/121练习1.求下列参数方程所确定的函数的导数2022/12/2解当时,处切线斜率切线方程为法线方程为2023/1/122解当时,处切线斜率切线方程为法线方程为2022/12/292小结一、隐函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法参数方程，2023/1/123小结一、隐函数的求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法参数一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数§3.2.5隐函数及由参数方程确定的函数的导数上页下页铃结束返回首页2023/1/124一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的导数§3.2.5一、隐函数的导数显函数与隐函数下页(1)显函数:我们把函数y可由自变量x的解析式称为显函数.也可以确定一个函数,

因为当来表示的这种函数,例如

ysinx

ylnxex

都是显函数若变量y与x之间的函数关系是由某一个方程0),(=yxF所确定,那么这种函数称为由方程0),(=yxF所确定的隐函数.(2)隐函数:2023/1/125一、隐函数的导数显函数与隐函数下页(1)显函数:我们把函数把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化注意:并不是所有的隐函数都可化为显函数.如方程0=+-yxeexy所确定的隐函数就不能显化。隐函数求导法,就是不管隐函数能否显化,直x接在方程0),(=yxF的两端对求导,由此得到隐函数的导数，若y是由0),(=yxF所确定的函数,将方程两边对x求导,但要把y看成中间变量,应用复合函数求导法则进行求导。隐函数的求导法2023/1/126把一个隐函数化为显函数,称为隐函数的显化注意:并不是所有的隐提示:

例1

求由方程y22x

y90所确定的隐函数y的导数

2y

y2y2x

y

0

即(yx)yy

隐函数求导举例方程中每一项对x求导得

解

(xy)y+xy.(y2)2yy,下页从而

2023/1/127提示:例1求由方程y22xy9

例2

求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0

因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60把方程两边分别对x求导数得

解法一

下页2023/1/128例2求由方程y52yx3x70所

5y4y2y121x60

根据原方程当x0时

y0

将其代入上述方程得

2y10

从而y|x0，y0

05把方程两边分别对x求导数得

解法二

下页

例2

求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0

2023/1/1295y4y2y12例3解解得2023/1/130例3解解得2022/12/297

解

下页

例4

求曲线在点处的切线方程和法线方程

方程两边求导数得

于是在点处y1

所求切线方程为

即

所求法线方程为

即xy0

2023/1/131解下页例4求曲线02)1(22=++xyx解yyxarctan)2(+=解练习求由下列方程所确定的隐函数的导数2023/1/13202)1(22=++xyx解yyxarctan)2(+=解练y

f(x)[lnf(x)]

对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数

此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函数求导法求出y的导数

设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)

两边对x

求导得对数求导法下页2023/1/133yf(x)[lnf(x)]此

例1

求yxsinx

(x>0)的导数

解法二

这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.

解法一

上式两边对x

求导得两边取对数得lnysinxlnx

yxsinxesinx·lnx

下页2023/1/134例1求yxsinx(x>0)的导

皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重例2

已知函数解等式两边取自然对数得2023/1/136例2已知函数解等式两边取自然对数得2022/12/291求y¢xxylnln=得化简得练习解等式两边取自然对数得2023/1/137求y¢xxylnln=得化简得练习解等式两边取自然对数得20(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题。解等式两边取自然对数：例32023/1/138(2)由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题上式两边对x求导得说明

严格来说本题应分x4

x12x3三种情况讨论

但结果都是一样的

例4

求函数)4)(3()2)(1(----=xxxxy的导数.先在两边取对数得+---xlny21=[ln(x1)ln(x2)-ln(x3)-ln(-4)],