弹塑性力学课件

01 绪 论哈工大

土木工程学院 1/27土木工程学院工程力学学科组HARBININSTITUTEOF

TECHNOLOGY弹塑性力学01 绪 论土木工程学院工程力学学科组HARBININ101 绪 论第1节

弹塑性力学任务弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力分布规律和变形规律的一门学科。对工科来说，弹性力学的任务，和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和应变，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。

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土木工程学院2/2701 绪 论第1节 弹塑性力学任务弹塑性力学的定义：弹塑性力201 绪 论弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性与塑性性质而命名。它们是固体材料变化过程的两个阶段。当外部因素作用时，固体发生变形，如果当外因去掉，变形体恢复原样（状），称固体（材料）具有弹性性质，

单值，具有可逆性；当外部因素去掉时，变形体未能恢复原状并存在永久变形，说明固体已进入塑性阶段，

曲线不是单值函数，没有可逆性。当然变形体常遇到在物体某一局部处于弹性、而另一区域处于塑性状态，弹塑性交织在一起，称材料处于弹塑性状态。

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土木工程学院3/2701 绪 论弹塑性力学是根据固体材料受外因作用时所呈现的弹性301 绪 论研究的对象：实际物体经过抽象处理（进行一定的假设）后弹塑性体。材料力学和结构力学研究的对象是杆系结构（一维问题），具有局限性。而弹塑性力学研究对象也是固体，是不受几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术问题需求的物体。所以弹塑性理论基本方程要复杂的多，具有一般性。

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土木工程学院4/2701 绪 论研究的对象：实际物体经过抽象处理（进行一定的假401 绪 论弹塑性力学的任务：根据对弹塑性体的实验观察结果寻求物体在弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及有关基本理论。1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程和理论；2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初等理论可靠性与精确度的度量；3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济效益；4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。

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土木工程学院5/2701 绪 论弹塑性力学的任务：根据对弹塑性体的实验观察结 501 绪 论弹塑性力学和材料力学分析范围有所不同。弹塑性力学在微观层面研究应力和应变规律；而材料力学有时还要研究材料蠕变、疲劳以及断裂破坏现象，研究杆件的拉、剪、弯、扭作用下的应力和变形是材料力学的主要内容。在研究方法上的不同。材料力学为简化计算，对构件的应力分布和变形状态作出某些假设，因此得到的解答是粗略和近似的；而弹塑性力学研究通常不引入上述假设，从而所得结果比较精确，并可验证材料力学结果的精确性。

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土木工程学院6/2701 绪 论弹塑性力学和材料力学分析范围有所不同。弹塑性力学601 绪 论第2节 基本假设和基本规律实际问题由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素，使我们研究的问题限定在一个方便可行的范围内。基本假设：连续性假设：将可变形固体看作密实无间隙的物体。因而一些物理量可以表示成坐标的连续函数。均匀性假设：假定物体是用同一类型的均匀材料组成，而且在物体内各点、各方向具有相同的物理性质。小变形假设：在外界因素作用下产生物体内各点的位移远小于物体原尺寸，可忽略变形引起的几何变化。

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土木工程学院7/2701 绪 论第2节 基本假设和基本规律实际问题由多方面因素构701 绪 论从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。小变形假设说明应变(

包括线应变与角应变

)均远远小于1。根据这一假定：（1）在弹塑性体产Th变形后建立平衡方程时，可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二次以上的高阶微量；

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土木工程学院8/2701 绪 论从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。小变形假设801 绪 论基本规律：完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基本规律（或应满足的三方面的条件）：静力平衡规律：固体受到外力与自身的内力要满足平衡方程，在弹性理论中它们为微分方程。几何连续规律：要求变形前连续的物体，变形后仍为连续物体，由这个规律建立几何方程或变形协调方程，均为微分方程。物理(本构)关系：应力

(内力)与应变

(变形)之间的关系，根据材料的不同性质来建立，最常见的为各向同性材料。平衡方程和几何方程都与材料无关，塑性力学与弹性力学的主要区别在于本构方程

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土木工程学院9/2701 绪 论基本规律：完成弹塑性力学任务所要遵循的三个基901 绪 论第3节 弹塑性力学的研究方法弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支，它们在分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问题的基本方法上各不相同。(1)受力分析及静力平衡条件

(力的分析)(3)受力与变形间的本构关系

(物理分析)(2)变形分析及几何相容条件

(几何分析)

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2701 绪 论第3节 弹塑性力学的研究方法(1)受力分析及静1001 绪 论a、研究方法较简单粗糙；b、涉及数学理论较简单；◆

材料力学研究问题的基本方法：选一维构件整体为研究对象变形前，在某表面绘制标志线；变形后，观察总结构件表面变形的规律做出平截面假设，经三方面分析，解决问题c、材料力学的工程解答一般为近似解。

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土木工程学院11/

2701 绪 论a、研究方法较简单粗糙；b、涉及数学理论较简1101 绪 论1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密性和普遍适用性为特点；2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；◆

弹塑性力学研究问题的基本方法：以受力物体内某一点（单元体）为研究对象单元体的受力——应力理论；单元体的变形——变形几何理论；单元体受力与变形间的关系——本构理论；建立起普遍适用的理论与解法3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度量。哈工大

土木工程学院12/

2701 绪 论1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严密◆1201 绪 论◆

工程力学一般研究方法工程力学解决问题的一般研究方法类似于一般科学研究的普遍方法，可归纳为：对系统进行抽象与简化，建立力学模型与已知结论相比较，或由实验进行验证提出问题，利用力学原理确认或进一步选择有关的进行分析、推改善模型，深研究系统理，得出结论化认识

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2701 绪 论◆工程力学一般研究方法工程力学解决问题的一般研1301 绪 论按照方程中保留的未知量，求解方法可分为

应力法（以应力为未知量）

位移法（以位移为未知量）

混合法（以应力+位移为未知量）精确解法：采用数学分析的手段求得精确解近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法数值方法：有限元法，有限差分法，边界元法等

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2701 绪 论按照方程中保留的未知量，求解方法可分为 哈工1401 绪 论第4节 弹塑性力学的发展梗概通过实验探索物体的受力与变形之间的关系：1678年英国科学家虎克(R.Hooke)提出

了固体材料的弹性变形与所受外力成正比——虎克定律。1687年，牛顿确立运动三大定律。弹性力学的理论基础建立期1822－1828年，柯西发表了一系列论文，明确提出了应力和应变的概念，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程、几何方程和各向同性的广义虎克定律；1838年，格林用能量守恒定律证明了各向异性体有21个独立的弹性系数；1838年，汤母逊又用热力学第一定律和第二定律证明了同样的结论，同时进一步

证明了各向同性体有两个独立的弹性系数。15/

27哈工大

土木工程学院01 绪 论第4节 弹塑性力学的发展梗概系数。哈工大土木1501 绪 论线性各向同性体弹性力学的发展时期：1850年，基尔霍夫解决了平板的平衡和震动问题；1855-1856年，圣维南提出了局部性原理和半逆解法；1862年，艾里解决了弹性力学的平面问题；19世纪70年代，建立了各种能量原理，并提出了这些原理的近似计算方法。弹性力学分支及相关边缘学科的形成和发展时期：1907年，卡门薄板的大挠度问题；1939年，卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；1937-1939年，莫纳汉和毕奥提出了大应变问题；

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2701 绪 论线性各向同性体弹性力学的发展时期： 哈工大1601 绪 论弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期(续)：1948-1957年，钱伟长用摄动法求解了薄板的大挠度问题；1954年，胡海昌建立了三类变量的广义势能原理和广义余能原理;1955年，鹫津久一郎也独立的导出了这一原理，后来称胡海昌-鹫津久一郎变分原理。在这一时期，薄壁构件和薄壳构件的线性理论有了较大发展，还形成了诸如厚板和厚壳理论、各向异性和非均匀体的弹性力学、热弹性力学、粘弹性理论、水弹性理论以及气动弹性力学等新的分支和边缘学科；相继提出了诸如差分法、有限单元法、边界元法、半解析数值法以及加权残值法等数值方法和半解析半数值的方法。

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2701 绪 论弹性力学分支及相关边缘学科形成、发展时期(续)：1701 绪 论弹塑性力学发展时期：1773年，Coulomb提出Coulomb屈服准则，后来推广为Mohr-Coulomb屈服准则。1857年，朗肯研究了半无限体的极限平衡，提出了滑移面的概念。1903年，Kotter建立了滑移线方法。1929年，Fellenius提出了极限平衡法。19世纪50年代初，Drucker提出Drucker塑性公设，对稳定材料，证明了塑性应变增量与屈服面的正交性，并提出相关联流动规则的概念。1952～1955年，

Drucker和Prager等人发展了极限分析方法。

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2701 绪 论弹塑性力学发展时期： 哈工大土木工程学院11801 绪 论1957年，Drucker等提出了静水压力会使岩土材料产生屈服的概念。1958～1963年，

Roscoe提出了土的临界状态概念，并建立了剑桥模型，从理论上阐明了正常固结粘土和微超固结粘

土土体弹塑性变形特性，开创了建立土体的实用模型的新阶

段。1969年，Roscoe等人出版了《临界状态土力学》专著，这是世界上第一本关于岩土塑性理论的专著，详细研究了土的

实用模型。1982年，Desai等人也出版了一本《工程材料本构定律》专著，进一步阐明了岩土材料变形机制，形成了较系统的岩

土塑性力学。

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土木工程学院19/

2701 绪 论1957年，Drucker等提出了静水压力会使岩1901 绪 论1982年，Zienkiewicz提出了广义塑性力学的概念，指出岩土塑性力学是传统塑性的推广。20世纪80年代的国内，清华模型、“南水”模型及其他双屈服面模型和多重屈服面相继出现。阐明了应力、应变的概念和理论；弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架得以确立。

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土木工程学院20/

2701 绪 论1982年，Zienkiewicz提出了广义塑性2001 绪 论现代力学的发展及其特点材料与对象：金属、土木石等新型复合材料、高分子材料、

结构陶瓷、功能材料。尺度：宏观、连续体含缺陷体，细、微观、纳米尺度。实验技术：电、光测试实验技术

全息、超声、光纤测量，及实验装置的大型化。1、现代力学的发展

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土木工程学院21/

2701 绪 论现代力学的发展及其特点材料与对象：金属、土木石2101 绪 论应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电子技术等。设计准则：静强度、断裂控制设计、抗疲劳设计、刚度设计

损伤容限设计、结构优化设计、耐久性设计和可靠性设计等。设计目标：保证结构与构件的安全和功能

设计——制造——使用——维护的综合性分析与控制，功能——安全——经济的综合性评价，自感知、自激励、自适应（甚至自诊断、自修复）的智能结构。

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土木工程学院22/

2701 绪 论应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电2201 绪 论●

引进新的科学技术成果，内容更加丰富：◆

新材料－复合材料、聚合物等；◆

新概念－失效、寿命等；◆

新理论－损伤、混沌等；◆

新方法－数值方法、工程力学建模方法。

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2701 绪 论●引进新的科学技术成果，内容更加丰富： 哈2301 绪 论2﹒现代力学的特点与计算机应用相结合，与其他基础或技术学科相互结合与渗透。计算机应用：计算力学+计算机应用解决复杂、(60年代) 困难的工程实际问题。使工程结构分析技术；（结合CAD技术）监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）；工程系统动态过程的计算机数值仿真技术；广泛应用至各工程领域。材料设计：按所要求的性能设计材料。(90年代)

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土木工程学院24/

2701 绪 论2﹒现代力学的特点与计算机应用相结合，与其他基础2401 绪 论智能结构：90年代开始，力学与材料、控制（包括传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向21世纪的、具有“活”的功能的智能结构。Th物力学：(70年代冯元祯博士)生物材料力学性能、微循环、定量生理学、心血管系统临床问题和生物医学工程等。“没有生物力学，就不能很好地了解生理学。”

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2701 绪 论Th物力学：(70年代冯元祯博士)生物材料2501 绪 论参考资料：应用弹塑性力学

徐秉业弹性力学（上、下册）

徐芝伦弹性力学塑性力学杨桂通夏志皋工程弹塑性力学岩土塑性力学原理弹性理论弹性理论基础孙炳楠等郑颖人铁木辛柯陆明万End哈工大

土木工程学院26/

2701 绪 论参考资料：弹性力学塑性力学杨桂通夏志皋工2601 绪 论1.1

张量概念◆

任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是不以人们的意志为转移的。◆

分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。◆

张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介质力学的重要数学工具。◆

张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。◆

所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。第1节 张量概念及其基本运算

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土木工程学院27/

4801 绪 论1.1张量概念第1节 张量概念及其基本运算2701 绪 论◆

在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的物理量，统称为标量（Scalar

）。例如温度、质量、功等，在坐标变换时其值保持不变的量，即满足(

x1,

x2

,

x3

)

(

x1,

x2

,

x3

)◆

在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量（Vector）

。例如速度、加速度等。◆

标量只需一个量就可确定，而矢量则需三个分量来确定。

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4801 绪 论◆在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明的2801 绪 论◆

若我们以r表示维度（如三维空间），以n表示阶数，则描述一切物理恒量的分量数目M

可统一地表示成：M

r

n统一称这些物理量为张量（Tensor）

。当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=31，矢量；当n=2时，二阶张量，M=

32，矩阵；当取n时，n阶张量，M=

3n。◆

二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间可由坐标变换29/

48关系式来解释、定义。哈工大

土木工程学院01 绪 论◆若我们以r表示维度（如三维空间），以n表2901 绪 论由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量若能按照一定规律变化，则称这些分量的集合为张量。张量定义设（a1,a2,a3）、（b1,b2,b3）、……、（s1,s2,s3）是矢量，Ti1i2…in是与坐标选择有关的3n个独立变量，若当坐标变换时，n一次式3

3 3F

...Ti

i

...i

ai

bi

......si12n

1

2 ni11i21in

1保持不变，则取决于脚标的3n个量Ti1i2…in的集合称为n

阶张量，其中每个元素称为此张量的分量。

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土木工程学院30/

4801 绪 论由一组坐标系变换到另一组坐标系时，研究对象的分量3001 绪 论1.2

指标记法◆

在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表示和区别该张量的所有分量。◆

不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数量确定张量的阶次。◆

重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再求和。◆

如不特意说明，今后张量下标符号的变程，仅限于三维空间，即变程为3。

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4801 绪 论1.2指标记法 哈工大土木工程学院313101 绪 论矢量V

的方式表示：vi代表矢量V的所有分量，即当V

写作vi时，指标的值从1到3变化。V

(v1,v2,v3)3i

1

v1e1

v2e2

v3e2

viei

vi1ee2e3x1f

(X

)

f

(xi

)=f

(xj

)=f

(x1,x2

,x3

)x2x3

o12

3Pv

,v,vVV1V2V3

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土木工程学院32/

4801 绪 论矢量V的方式表示：vi代表矢量V的所有分量3201 绪 论aibi

aibi

a1b1

a2b2

a3b3i

13aijbj

aijbj

ai1b1

ai

2b2

ai

3b3i1

j1j

13

3aijbicj

aijbicj

a11b1c1

a12b1c2

a13b1c3a21b2c1

a22b2c2

a33b2c3a31b3c1

a32b3c2

a33b3c3展开式（3项）展开式（9项）33

3aijk

xi

x

j

xk

aijk

xi

x

jxk展开式（27项）1.3

求和约定关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。333/

48i

1

j

1

k

1哈工大

土木工程学院01 绪 论aibiaibia1b13301 绪 论3ii

ii

11

22

33j

1a2

a2

a2

a2

a2

2322

a

a

(a

a

a

)

i1

ii

ii

11

22

333

3

ij

ij

ij

iji1j

1

11111212

1313

2121

2222

232331313232

3333

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土木工程学院34/

4801 绪 论3iiii 11 22 3401 绪 论aibi

xi关于下标的约定可以总结为以下三条规则：1.如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则称之为自由指标，这种自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。2.如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为哑标，它表示从1到3求和。哑标在其他任何项中可以刚好出现两次，也可以不出现。3.如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。n是违约的，求和时要保留求和号

aibi

xii1

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土木工程学院35/

4801 绪 论aibixi关于下标的约定可以总结为以下三条规3501 绪 论例题：利用求和约定缩写下面线性方程组a11x1

a12x2

a13x3

b1a21x1

a22x2

a23x3

b2a31x1

a32x2

a33x3

b3解：作为第一步缩写，可以写成：a1jxj

b1a2jxj

b2a3jxj

b3最后可以缩写为：aijxj

bi其中i

称为自由标，j

称为哑标。哈工大

土木工程学院36/

4801 绪 论例题：利用求和约定缩写下面线性方程组其中i称为3601 绪 论……例题：描述Cij=AikBjk的意义。解：

Cij=AikBjk，则表明i

，j为自由指标，k

为哑标表示9个方程：C11

A1kB1k

A11B11

A12B12

A13B13C12

A1kB2k

A11B21

A12B22

A13B23C13

A1kB3k

A11B31

A12B32

A13B33C21

A2kB1k

A21B11

A22B12

A23B13C33

A3kB3k

A31B31

A32B32

A33B33哈工大

土木工程学院37/

4801 绪 论……例题：描述Cij=AikBjk的意义。C333701 绪 论关于求和标号（哑标）说明：◆

由于哑指标在求和之后就不再出现，所以哑指标字母可以任意改变。2 2 2 2ii

11

22

33a

a

a

a2 2ii

11

22

33(a)

(a

a

a

)or

orS

aixi

ajxj

akxk◆

求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。◆

在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前就先求和。

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土木工程学院38/

4801 绪 论关于求和标号（哑标）说明：2 2 2 2ii 13801 绪 论规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线以示区别，或用文字说明（如i

不求和）。Ri

CiEi

Ci

Ei这里i

相当于一个自由指标，而i

只是在数值上等于i，并不与

i求和。例外情况R1

C1E1R2

C2

E2R3

C3

E3

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土木工程学院39/

4801 绪 论规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线3901 绪 论又如，方程22 21 2 3 1

1

1 2

2

2 33

3

用指标法表示，可写成i

i

ii

i

i

i

i

i

i

ii不参与求和，只在数值上等于

i

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土木工程学院40/

4801 绪 论又如，方程22 21 2 3 114001 绪 论关于自由标号：◆

在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。aij

x

j

bi◆

自由标号的数量确定了张量的阶次。

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土木工程学院41/

4801 绪 论关于自由标号： 哈工大土木工程学院41/4101 绪 论ijij

00

1

1,当i

j

时；或：

0

1

0

0,当i

j

时；ijvj=vi即在将ij应用于vj只是将vj中的j用i置换；对于单位矢量，点积ei·ej=ij

；其他关于Kronecker符号的描述可以参考孙炳楠的《工程弹塑性力学》及相关张量的其他文献。1.4

Kronecker

delta（ij）符号ij是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号，亦称单位张量,也叫置换算子.其定义为：10

0

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土木工程学院42/

4801 绪 论ijij 04201 绪 论ij

的作用与计算示例：(1)ii

11

22

33

3(2)

(

)2

(

)2

(

)2

3ij

ij 11 22 33(3)

ij

jk

i11k

i

22k

i

33k

ik(4)aijij

a1111

a2222

a3333

aii(5)aiij

a11j

a22j

a33j

aj

(即a1,或a2,或a3)(6)

ij

l

j

li

ij

l

j

ijl

j

(

ij

ij

)l

j

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土木工程学院43/

4801 绪 论ij的作用与计算示例： 哈工大土木工程4301 绪 论若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则ei

ej=

ijei

ei

=

e1

e1

+

e2

e2

+

e3

e3=

11

22

33

3ei

ei

=

ii注意：ii是一个数值（3）ij的作用：1）换指标；2）选择求和。

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土木工程学院44/

4801 绪 论若e1，e2，e3是相互垂直的单位矢量，则ij4401 绪 论例3：特别地例1：完成脚标变换

Ai→AkkiAi

kkAk

Ak思路：把要被替换的指标

i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母

k表示。例2：完成变换

Tkj→TijikTkj

iiTij

Tijikkj

ij ikkj

jm

imAmiBnj代表34=81个数，求

m=n时各项的和。mnAmiBnj

AniBnj

Ami

Bmj哈工大

土木工程学院45/

4801 绪 论例3：特别地例1：完成脚标变换Ai→Akik4501 绪 论张量的运算法则与矢量相类似。如：张量相等即对应分量相等；张量相加即对应分量相加；张量相乘构成一个阶数是原张量的阶数之和的新张量；n阶张量缩并后变为n-2

阶张量等等。1.5

张量的基本运算

哈工大

土木工程学院46/

4801 绪 论张量的运算法则与矢量相类似。如：张量相等即对4601 绪 论A、张量的加减：凡是同阶的张量可以相加（减），并得到同阶的张量，它的分量等于原来张量中标号相同的诸分量之代数和。aij

bij

cij若

a

为一矢量，则

(T

S)

a

=

T

a

S

a其分量为：

(T

S

)i

j

=

ei

(T

S

)

ej=

ei

T

ej

ei

S

ej=Tij

Sij其矩阵形式为： T

S

T

S

哈工大

土木工程学院47/

4801 绪 论A、张量的加减： 哈工大土木工程学院474701 绪 论◆一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所有坐标系中的所有分量都为0。这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助，如：要考虑Fi导致的应力ij，以后将证明，为满足平衡ij,j=Fi，现将它重写为Di=

ij,j－Fi=0因为Di

是零矢量，因此只需在一个坐标系中证明即可。

哈工大

土木工程学院48/

4801 绪 论◆一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在4801 绪 论B、张量的乘积（相当于叉乘）张量A

的每一个分量乘以张量B

中的每一个分量所组成的集合仍然是一个张量，称为积张量。积张量的阶数等于因子张量阶数之和。aibjk

cijk◆

对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。◆

张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配律和结合律。例如：ij ij

k ij

k ij

k(a

b)c

ac

b

c或(aijbk)cm

aij(bkcm

)

哈工大

土木工程学院49/

4801 绪 论B、张量的乘积（相当于叉乘）张量阶数之和。aib4901 绪 论C、张量的收缩设n阶张量的分量中有两个下标相同，根据求和约定，则得到具有n-2个下标的量，即共3n-2个分量，为n-2阶张量，称为张量收缩。例如：二阶张量cij

收缩后为标量。cii

c11

c22

c33D、张量的内积（相当于点乘）张量的内积是向量内积的拓展。在张量乘积PQ中，m阶张量P和n阶张量Q中各取出一下标收缩一次后得到m+n-2阶张量，称为张量P和Q的内积，以P·Q表示。c

ai

bi

哈工大

土木工程学院50/

4801 绪 论C、张量的收缩 哈工大土木工程学院50/5001 绪 论E、张量函数的求导：◆

对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。◆

一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都是坐标参数xi

的函数。◆

张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。◆对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标符号前方加“，”的方式来表示。例如Ai,j

，就表示对一阶张量Ai的每一个分量对坐标参数xj

求导。

哈工大

土木工程学院51/

4801 绪 论E、张量函数的求导： 哈工大土木工程学院55101 绪 论◆

如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则算子i()作用的结果，将产生一个新的升高一阶的张量；,ixi

x1

x2

x3

,

)

(

,i

,i

u

ui

u1

u2

u3xi x1

x2x3◆

如果在微商中下标符号i是哑标号，则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。

哈工大

土木工程学院52/

4801 绪 论◆如果在微商中下标符号i是一个自由下标，则算5201 绪 论设(1)(2)ai=

Uimbmbi=

Vimcm把（2）

代入（1）bi=

Vimcmbm=

Vmncni im

mn

na=UV

c3个方程，右边为9项之和指标记法的运算1

代入

哈工大

土木工程学院53/

4801 绪 论设(1)(2)ai=Uimbmbm=5301 绪 论2

乘积设则p

=

Umamq

=

Vm

bm

pq

=

UmamVnbn不符合求和约定pq

UmamVmbm

哈工大

土木工程学院54/

4801 绪 论2乘积则p=Umam不符合求和约定pq5401 绪 论Tijnj-lni=

03

因式分解考虑第一步用nj表示ni,

ij

有换指标的作用ni=ij

nj所以Tijnj-lijnj

0即(Tij-lij)nj

0

哈工大

土木工程学院55/

4801 绪 论Tijnj-lni=03因式分5501 绪 论哑标与求和无关，可用任意字母代替

ii

ii为平均应力应变之间的关系4

缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各

向同性材料应力应变关系。Tij=

Ekkij+2

Eij缩并

ii

kkii

ii

kk

ii

哈工大

土木工程学院56/

4801 绪 论哑标与求和无关，可用任意字母代替ii5601 绪 论分量为ai，于是D、张量的分量：设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其称为二阶张量T

的分量对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b，即b

T

a

T

(aiei

)

ai

(Tei

)bi

bei

aj

(Tej

)ei

aj

(eiTej

)

TijajTij

ei

T

eja

aieiai

a

ei

ei

a可理解为矢量T·ej在ei上的分量。

哈工大

土木工程学院57/

4801 绪 论分量为ai，于是D、张量的分量：称为二阶张量T5701 绪 论22ij ij ji ij ij jip

1(a

+a

) q

1(a－a

)E、张量的分解：若张量[aij]的分量满足aij=aji则称[aij]为对称张量。若张量[aij]的分量满足aij=－aji则称[aij]为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的分量(也即主对角元素)为零。a11

a22

a33

0一般张量总可以唯一地表示成一个对称张量和一个反对称张量之和。End哈工大

土木工程学院58/

3201 绪 论22ij ij ji ij ij jip5801 绪 论研究对象——三维弹性体微分单元体入手超静定问题静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。

哈工大

土木工程学院59/

9301 绪 论研究对象——三维弹性体微分单元体入手超静5901 绪 论F1F2q第1节 基本概念1.1外

力1外力(load)：导致物体产生变形的外界作用因素（热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用）称外力。我们讨论的外力是属于机械力的范筹。面力：作用在物体表面上的力。接触力、液体压力等；集中力、分布力；单位：N或

N/m2。体力：作用在物体每个质点上的力。重力、惯性力等；单位：N/m3。FnFi60/

93哈工大

土木工程学院01 绪 论F1F2q第1节 基本概念接触力、液体压力等；6001 绪 论2内力(internalforce)：物体内部抵抗外部机械作用而产生相互作用称内力。固有内力—物体各部分之间、材料各微粒之间的相互作用力。物体在受到外力之前，内部就存在着固有内力。附加内力—由外力而引起的内力，在原有内力的基础上，又添加了新的内力，与变形有关。F1qF1F2F2MR’R

M’qfpFnFi哈工大

土木工程学院FnFi61/

9301 绪 论2内力(internalforce)：物体内6101 绪 论今后如无特别说明，就简称附加内力为内力。通常内力随着外力的增加而增加，但不能无限地增加，若超过一定的限度构件将被破坏。可见，附加内力与外力的关系及它的限度，在研究构件承载能力时，就显得很重要了。内力特点：1、有限性：随外力的变化而变化，不能无限增加。2、分布性：内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示。3、成对性：附加作用力和反作用力。研究一个物体不同部分之间的内部相互作用，通常用“截面法”。其基本步骤：①截开；②代替；

③平衡。

哈工大

土木工程学院62/

9301 绪 论今后如无特别说明，就简称附加内力为内力。 哈6201 绪 论3应力(Stress)：受力物体内某截面上一点内力的内力分布疏密程度，即分布集度

。工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处ΔRSΔR

dRdS②全应力：p

limS

0

SFiF1

R

①平均应力：p

qS63/

93开始哈工大

土木工程学院01 绪 论3应力(Stress)：受力物体内某截面上一点6301 绪 论应力分解：ndSS0

ΔSndSΔS0

ΔS垂直于截面的应力称为“正应力”：

limΔRn

dRn位于截面内的应力称为“剪应力”：

limΔR

dRF1Fipqnnn某截面（外法线方向）上的应力pn称为全应力(stress)

，可分解为正应力(normalsress)n和剪应力(shear

stress)

n

哈工大

土木工程学院64/

9301 绪 论应力分解：ndSS0ΔSndSΔS06401 绪 论特点：应力是内力的集度；内力和应力均为矢量；应力的单位：1Pa=1N/m2

=1.0197kgf/mm2应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同；应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。所谓应力必须指明两点：1.是哪一点的应力；2.是该点哪个微截面的应力。65/

93哈工大

土木工程学院01 绪 论特点：2.是该点哪个微截面的应力。哈工大土木65点的应力状态：是指通过变形体内某点的所有截面上的应力矢量的合集，称为这点的应力状态（StateofStressataGiven

Point）01 绪 论第2节

应力状态和应力张量2.1

应力状态

哈工大

土木工程学院66/

93点的应力状态：是指通过变形体内某点的所有截面上的应力矢量6601 绪 论单元体的性质a、任一面上，应力均布；b、平行面上，性质相同。描述空间一点处的应力的单元体单元体：物体内点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体。

哈工大

土木工程学院67/

9301 绪 论单元体的性质a、任一面上，应力均布；b、6701 绪 论x

yz

z

y

xz

zx

zy

yzdx

xdzyz

xy

yxdyO单元体上的应力分量及应力正负值规定◆

应力的表示及符号规则正应力：xx→

x剪应力：xy→

xy前字母表明该应力所在截面；后字母表明该应力所指方向。指定坐标轴正方向：x,y,z。◆

应力的正负号规定正面正向正；负面负向正。x哈工大

土木工程学院68/

9301 绪 论xyzzyxzzxzy6801 绪 论2.2

应力张量在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。应力分量

x、

y

、

z

、xy

、yx

、

yz

、

zy

、

zx

、

xz满足上述性质，构成应力张量。

x xy xz

11 12 13

ij

yx

yz

21

22

23

y

zx

z

zy

31

32

33

哈工大

土木工程学院69/

9301 绪 论2.2应力张量ijyx 6901 绪 论力张量确定。说明方向。应力张量的特点

应力张量为二阶张量。

应力张量为对称张量。

一点的应力状态完全由应

应力分量是标量箭头仅是

x

xy

xz

11

12

13

ij

yx

yz

21

22

23

y

zx

z

zy

31

32

33

哈工大

土木工程学院70/

9301 绪 论力张量确定。说明方向。应力张量的特点ij7001 绪 论第3节 应力状态分析应力状态分析：讨论一点某截面方位改变引起的应力变化趋势的过程。一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析xxyy

zxz

y斜截面上的应力主应力最大剪应力应力状态对z于结构强度是十分重要的。准确描述应力状态，合理的应力参数。用解析法研究

解析理论一点应力状态用几何法研究哈工大

土木工程学院莫尔应力圆

71/

9301 绪 论第3节 应力状态分析xy斜截面上的应力主应7101 绪 论3.1

平衡微分方程应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻两点间应力关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同如果物体件，则其内部任何部分必然是满足平衡条件的，因此，以取一个微元体分析。的表达式。整体满足平衡条也可

哈工大

土木工程学院72/

9301 绪 论3.1平衡微分方程的表达式。 哈工大土7201 绪 论

(

x

dx,

y,

z)

(

x,

y,

z)

d

Lx要求应力至少一阶连续。推导原理：静力平衡条件：

X

0,

Y

0,

Z

0静力矩平衡条件：Mx

0,

My

0,

Mz泰勒级数展开：

哈工大

土木工程学院73/

9301 绪 论(xdx,y,z)7301 绪 论yzzx

x

xdxdydz

dydz

dy

dzdx

xxy

x

yx

dzdx

zxdzdxdy

dxdy

Fdxdydz

0yx

zxz同理可推出另两个平衡微分方程。

x

yx

zx

Fx

0x

y

z

xy

y

zy

Fy

0x

y

z

xz

y

z

z

0ij,i

Fj

0张量形式为：平衡方程的推导：以x轴为投影轴，由X=0

得：Fz哈工大

土木工程学院74/

93xyz01 绪 论yzzx x 7401 绪 论以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩的平衡方程Mab=0

：222yzyzzyzydy2dzdz

dy

dy

dxdz

dxdzy

yz

dz

dxdy

dxdy

0z

zy略去微量并整理得：

yz

zy

zx

xz

xy

yx

ij

ji剪应力互等定理

哈工大

土木工程学院75/

9301 绪 论以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力7501 绪 论3.2

斜截面上应力状态3.2.1

平面应力状态一点应力状态的解析表示yOnxyxyyxyxxy

x正应力二者定义没有差异而切应力定义方向不同ynxyxy

yx=

xyyxxy

xyx

弹性力学以坐标材力以变形效应76/

93系定义应力分量定义应力分量哈工大

土木工程学院01 绪 论3.2斜截面上应力状态yOnxyx7601 绪 论

x xy22

xy

x y

x ycos2

sin

22

xy

x ysin2

cos

22

y

S

sin

yx

S

sin

cos

0考虑剪应力互等和三角变换，得：

F

0F

0

S

Scos2

Scos

sin

nxyOxyynxyyxyxxy

x

哈工大

土木工程学院77/

9301 绪 论 x xy22 xy 7701 绪 论确定正应力和剪应力的极值xyd

2d

x

y2sin2

2

cos2dd若

=

0时，能使

002

xy

x

y

0和

0

+90°它们取得两个互相垂直的平面，称主平面，主平面上对应的极值应力称主应力。22max

x

yx y

2

2xy

min

（ ）

则tan2

哈工大

土木工程学院78/

9301 绪 论确定正应力和剪应力的极值xyd 2d7801 绪 论用相似方法可确定剪应力的极值xyd

2d

2

x

ycos2

2

sin2xy

x

y若

=

1时,能使d

d

01和

1+90°它们取得两个互相垂直的平面，分别作用着最大剪应力和最小剪应力。max2xyx y

2 2

min

）

（则 tan21

2

哈工大

土木工程学院79/

9301 绪 论用相似方法可确定剪应力的极值xyd 2d7901 绪 论由xy

x

ytan21

2x y2

xytan20

得即tan

20

tan

21

121

20

901

0

45即最大剪应力和最小剪应力所在平面与主平面的夹角为45°。

哈工大

土木工程学院80/

9301 绪 论由xyxytan218001 绪 论2222xyxxy

2

y

2

消去解析表达式中参数（2），得：一点应力状态的几何表示2 2xy

xy

xycos2

sin

22

xy

x ysin2

cos

2应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto

Mohr引入）哈工大

土木工程学院81/

9301 绪 论2222xyxxy28101 绪 论yOx

应力圆的画法yxyyx

nxy

xyxy

x建立应力坐标系O在坐标系内画出点A(

x，xy)和B(y，-yx)AB与

轴的交点C

便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；A(x

,xy)OCB(y

,-yx)

哈工大

土木工程学院82/

9301 绪 论yOx应力圆的画法xyyx n8201 绪 论

单元体与应力圆的对应关系

面上的应力(

，

)应力圆上一点(

，

)

面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2

；xyOy

xyxyyxyx

nxyxA(x

,xy) 且转向一致。xn2

D(

,

OCB(y

,-yx)

哈工大

土木工程学院83/

9301 绪 论单元体与应力圆的对应关系面上的应力(8301 绪 论D(

,

x主应力和主方向

0n

max＝OC

R

min＝OC

R2xy