工程数学试卷及答案

....--优选得分得分评卷人一、单项选择题315代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。3Aii那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A.全部击中. B.至少有一发击中.C.必然击中 D.击中3发对于任意两个随机变量X和假设那么有( )。X和Y独立。 B.X和Y不独立。C.D(X+Y)=D(X)+D(Y) D.D(XY)=D(X)D(Y)以下各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是〔 A． f(x)|x|) |x1。 B. f(x)0.5 |x2 0 其它 0 其它 1 (x)2 x0C. f(x)

e 20

x0

D.f(x)ex x0，0 4．设随机变量N(, 42),N(, 52), P1

P{X4},P 5},那么有〔 〕2A.对于任意的,P=PB.对于任意的,P<P1 2 1 2C.只对个别的，才有P=P D.对于任意的,P>P1 2 1 2设X为任意非零常数，那么以下等式中正确的选项是〔〕A．D(X+c)=D(X).B.D(X+c)=D(X)+c.C.D(X-c)=D(X)-c答案1．B 2．CD.D(cX)=cD(X)3．D 4．A 5．A得分评卷人 得分评卷人二、填空题〔每空3分，共15分〕设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*，那么|A*+3A–2E|=。0 1 1 2 0 0

1 0 1 1

0 x 0 x=。 1 1 0 3个元件并联，每个元件正常工作的概率为P常工作的概率为。0 设随机变量X的概率密度函数为f(x)2x 0xA0 1PX ) 。1210．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)ke(3x4y) xy0，那么系数k 。0 其它0答案：6.9 7.1 8.1–(1–P)3 9.3/4 10.12求函数f(t)e

的傅氏变换(这里0)，并由此证明：得分评卷人2 cost 得分评卷人220

d2e t三、计算题〔每题10分，共50分〕0.6和0.4三、计算题〔每题10分，共50分〕11〞，而是0.8和0.2“1〞时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0〞和“1〞。求〔1〕收报台收到信号“1〞的概率；〔2〕当收报台收到信号“1〞时，发报台确是发出信号“1〞的概率。设二维随机变量(X,Y的联合概率函数是ce(2x4y) xy0f(x,y) 0 其它1〕常数2〕概率≥Y3〕X与Y出理由。将n个球随机的放入N可能的，求有球盒子数X的数学期望。一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求X(2)EX得分评卷人 得分评卷人四、证明题〔共10分〕设

,a,…,a)T，a≠0,其长度为║a║，又A=aaT,1 2 n 1(1)证明A2=║a║2A；a是A0是A的n-1AΛ吗？假设能,写出对角阵Λ.得分评卷人得分评卷人五、应用题〔共10分〕设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000](吨，可为国家挣得外汇3万元，但假设销售不出而囤积在仓库，那么1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。参考答案及评分标准一、1．B选择题〔每题3分，共15分〕2．C 3．D4．A 5．A二、6.9填空题〔每题3分，共15分〕7.1 8.1–(1–P)3 9.3/410.12三、计算题〔每题10分，共50分〕11.解答：函数f(t)的付氏变换为： [e|t|e|t|edtej)tdtej)t 0 0= 1 1 2

(2分)j j 22由付氏积分公式有f(t)=1

[F(w)]=1

F

d (2=12

2 (costjsint)d22==1

2

costd

2 cost〔2分〕

2

220所以

cost d e

〔1分〕22 20解答:设 A1=“发出信号1〞，A0=“发出信号0〞收到信号1〞2分(1)由全概率公式1分〕有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0)〔2分〕=0.8x0.6+0.1x0.4=0.52 〔1分〕(2)由贝叶斯公式〔1分〕有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/〔2分〕=0.8x0.6/0.52=12/13 〔1分〕解答:(1)

dx f(x,y)dy1 dxce即 (2x4y)dy1〔2分〕dxce0 0从而〔2分〕(2)P(XY)

f(x,y)dxdyxy

xe(2x4y)dydx0 0dx

23〔2分〕(3)当时， f (x)X

f(x,y)dye(2x4y)dye2x〔2分〕当时, fX

0(x)0同理有f

(y)4e4y y0〔1Y 0 其它因f(x,y)fX

(x)fY

(y)

x,y故X与Y相互独立〔1分〕解答：1设X i

第i个盒子有球否则

i=1,2,…,N (2那么XNi1

X (1i因P(Xi

0)

(N1)nNn

(2分)P(Xi

1P(Xi

0)1(N1)n(2Nn因而EXi

0P(Xi

0)1P(Xi

1(N1)nNn

(2分)所以EXNEXii1

N

1)n)(2分)N解答：〔1〕随机变量X的取值为1，2，3。 〔1分〕依题意有：P{X1 ;P{X3 ;P(X2

〔3分〕6 6 6X的分布函数F(x)P{X〔1分由条件知：当x1时，F〔1分〕当1x2FPX1;〔16当2x3FPXPX2)x3F〔1

2;〔1分〕3〔2EX=1x1/6+2x3/6+3x2/6=13/6 〔1分〕四、证明题〔共10分〕A2=aaT·aaT=aTa·aaT=║a║2A 〔2分〕因Aa=aaT·a=aTa·a=║a║2a 〔2分故a是A的一个特征向量。又A对称，故A必相似于对角阵 〔1分〕设A∽diag(λ,λ,…,λ)=B,其中λ,λ,…,λ是A的特征值 (1)1 2 n 1 2 n因rank(A)=1,所以rank(B)=1 (1分)从而λ,λ,…,λ中必有n-1个为0,即0是A的n-1重特征值 〔1分〕1 2 nA对称，故A必相似于对角阵Λ，Λ=diag(║a║2,0,…,0) (2分)五、应用题〔共10分〕解答:设y为预备出口的该商品的数量这个数量可只介于2000与4000之间用Z示国家的收益〔万元, 〔1分〕那么有 Zg(X) 3y3X(yX)因 X服从R(2