动态数列学习材料

第六章动态数列第一节动态数列的概念和种类一、动态数列的概念在社会经济统计中，常常需要研究和反映社会经济现象的发展变化及其过程。因此，要编制动态数列和计算动态分析指标。

所谓动态，是指事物随着时间推移而发展变化的趋势。如果把说明某种事物的统计指标，按照时间的先后顺序加以排列起来，就构成了动态数列。动态数列又称为时间数列，如表6-1。

表6-1

某地区1990～1994年人口、国民收入年

份19901991199219931994人口数(人)国民收入(亿元)98736100039101542102747103856从表6-1可以看出，构成动态数列的因素有两个：一个是社会经济现象所属的时间；另一个是反映社会经济现象数量特征的统计指标。

动态数列还可利用直角坐标系，用横轴表示时间，纵轴表示指标数值，进行图象描述。通过图形可以大致反映出社会经济现象的发展变化的特征和趋势。二、动态数列的种类动态数列按其排列的指标不同，可以分为绝对数动态数列、相对数动态数列和平均数动态数列。其中，绝对数动态数列是基本的动态数列，而相对数动态数列和平均数动态数列，则因为它们是根据绝对数动态数列计算出来的，故称为派生数列。(一)绝对数动态数列绝对数动态数列是指将绝对数指标按时间先后顺序排列而成的数列。如表6-2。

表6-2

某地区钢产量发展情况

单位：万吨年

份19901991199219931994钢产量11.513.515.617.818.6绝对数动态数列，根据数列中的指标的时间性质不同，又可分为时期数列和时点数列。

1．时期数列

时期数列中的各指标反映的是：某种事物在一定时期(月、季、年等)的发展过程的总量。如表6-3。

表6-3

某工厂1990～1994年工业总产值年

份19901991199219931994工业总产值(万元)805961112012501340这一数列的每一项指标，都是该厂一年内进行工业生产所取得的成果，因而是时期数列。

2．时点数列

时点数列中的各项指标，反映的是：某种事物在某一时点上所达到的规模或水平。如表6-4所示。表6-4

某工厂1990～1994年年末职工人数年份19901991199219931994年末职工人数(人)540832125014802127这一数列中的每一项数列，都是每年年末职工人数，因而是时点数列。

从上可知，时期数列与时点数列是性质上不同的两种绝对数动态数列。两者的区别：

(1)时期数列的各项指标，反映某种现象在一段时期的发展过程的总量；时点数列的各项指标反映某种现象在某一时点上(时刻上)的水平。

(2)时期数列各项指标的大小与时期的长短有直接关系。指标所涉及的时间长度，称为“时期”。时点数列中各项指标的大小，与其时间间隔的长短没有直接关系。这里的“时间间隔”是指两个相邻时点指标在时间上的距离。

(3)时期数列的各项指标可以相加，连续几个时期指标相加，反映更长一段时间该指标发展的总量。而时点数列的各项指标相加，则没有什么意义。(二)相对数动态数列相对数动态数列是指将一系列同类相对数指标，按时间先后顺序加以排列所形成的数列。它反映社会经济现象之间的相互联系发展的过程。例如表6-5资料。

表6-5

某工厂1994年下半年月劳动生产率月

份7月8月9月10月11月12月产值(万元)月平均人数月劳动生产率(元/人)70.6178095073.7179193276.1481094083.83850986108.24980123083.778151028注：各月的月劳动生产率数列即为相对数动态数列。

相对数动态数列中的各项指标，不具有可加性。(三)平均数动态数列平均数动态数列是指将一系列同类平均指标按时间先后顺序加以排列而成的数列，反映社会经济现象一般水平的发展变化趋势。例如表6-6资料。

表6-6

某工业企业各月工人的平均产值月

份一月二月三月四月五月六月产值(元)工人人数每一工人平均产值(元/人)330000605500396500656100394400685800441000706300458000726500483000706900注：各月的工人平均产值数列为平均数动态数列。

与相对数动态数列一样，平均数动态数列的各项指标也不具有可加性。第二节动态数列的编制原则编制动态数列的基本原则，就是要使数列各项指标数值具有可比性。这一基本原则具体体现在以下几个方面：一、总体范围应该一致总体范围与指标数值有直接关系，如果总体范围有了变化，则指标数值须经过调整，使前后时间的数值能够进行比较。例如某市的行政辖区发生了变化，其辖区的工业总产值指标便应随之进行适当调整，才能进行前后对比。二、指标经济内容应该相同有时动态数列的指标，在名称上相同而经济内容各异，例如工业企业工资指标，按费用要素分组的工资包括全部职工工资；而按成本项目分组的工资则只包括基本生产工人的工资。如把不同经济内容的工资，混合编成动态数列反映工资的动态，就会产生错误的结论。三、时期长短应该相等在时期数列中，由于各指标数值大小与时期长短有直接关系，因此，各指标所属时间不等，就难以直接比较。但这一原则也不能绝对化，有时为了特殊研究的目的，还要求编制时期不等的动态数列。时点数列因其指标只反映一定时点的状况，一般不要求时间长短相等。还须指出，时期数列和时点数列，都存在指标与指标间距离的所谓“时间间隔”，如果这种意义时间间隔相等，则更便于分析。四、指标计算方法、计算价格和计算单位应该一致指标的计算方法有时也称为计算口径，如指标计算口径前后不一致，则难以进行比较。价值指标的计算价格有多种，如零售价、批发价、出厂价、收购价等，应统一按一种价格编制动态数列，才能保证价格的可比性。计量单位也要一致，如吨、千克、市斤、公顷、亩等，在统计资料中变化很多，要注意调整一致后，再编制动态数列。第三节动态分析指标动态数列编制以后，还要计算一系列动态分析指标，对其进行分析，更好地反映事物的发展状况及其趋势。现以某工厂1989年～1994年工业总产值的资料，如表6-7，说明动态分析指标的计算方法。

表6-7

某工厂1989年～1994年工业总产值资料年

份198919901991199219931994发展水平

(工业总产值，万元)530540832125014802127增长量

(万元)累积--103027209501597逐期--10292418230647发展速度(%)定基100101.9157235.8279.2401.3环比--101.9154.1150.2118.4143.7增长速度(%)定基--1.957.0135.8179.2301.3环比--1.954.150.218.443.7一、发展水平和增长量(一)发展水平发展水平是指某一经济现象在各个时期达到的实际水平。如本例各年工业总产值就是发展水平。它说明该厂工业总产值各年达到的水平。(二)增长量增长量是指某一经济现象在一定时期增长或减少的绝对量。它是报告期发展水平减基期发展水平之差。这个差数可以是正数，也可以是负数。正数表示增加，负数表示减少。计算增长量，由于采用的基期不同，可分为：逐期增长量和累积增长量。

1．逐期增长量

是报告期发展水平减前一期发展水平之差，说明报告期发展水平比前一期发展水平增加(或减少)的绝对量。以公式表示如下：逐期增长量＝如本例1992年比1991年工业总产值的逐期增长量为：

1250-832＝418(万元)2．累积增长量

是报告期发展水平减固定基期发展水平之差，说明报告期发展水平比固定基期发展水平增加(或减少)的绝对量。以公式表示如下：累积增长量＝如本例，1992年比1989年工业总产值的累积增长量为：

1250-530＝720(万元)可以看出，逐期增长量之和等于累积增长量。以公式表示如下：如本例，1992年以前的逐期增长量等于1992年的累积增长量。即；(540-530)+(832-540)+(1250-832)=10+292+418＝720(万元)二、发展速度和增长速度(一)发展速度发展速度是说明事物发展快慢程度的动态相对数。它等于报告期水平对基期水平之比。表示报告期为基期水平的百分之几或多少倍。发展速度大于100%(或1)表示上升；小于100%(或1)表示下降。

由于基期水平可以是最初水平，也可以是前一期水平，所以发展速度有两种，即：环比发展速度和定基发展速度。

1．环比发展速度

是报告期发展水平与前一期发展水平之比，说明报告期发展水平为前一期发展水平的百分之几或多少倍。

以公式表示如下；如本例：1992年工业总产值比1991年的发展速度发展为：

2．定基发展速度

是报告期水平与固定基期水平之比，说明报告期水平为固定期水平的百分之几或多少倍。以公式表示如下：如本例：1992年的定基发展速度为：从上可知，各期环比发展速度与定基发展速度存在着一定的关系，即各期的环比发展速度的连乘积等于定基发展速度，以公式和图表示如下：如本例：1992年以前各年的环比发展速度的连乘积等于1992年的定基发展速度。计算定基发展速度时，可以结合特定目的来适当地选择基期。如为了研究特定历史阶段上发展变化的程度，一般选择“解放时当年”(即1949年)，“各个五年计划时期前一年”，“1978年”等等为基期，计算定基发展速度。为了分析企业的产品产量、产值、成本、单耗、利润等指标的发展变化情况，一般可选择历史上最好状态的时期为基期，计算其定基发展速度。

此外，在实际统计工作中，为了消除季节变动的影响，也常计算年距发展速度，用以说明本期发展水平比去年同期的发展变化情况。年距发展速度指标的计算公式如下：(二)增长速度增长速度是说明事物增长快慢程度的动态相对数。它是报告期比基期的增长量与基期水平之比，表示报告期水平比基期水平增长了百分之几或多少倍。

增长速度可以是正数，也可以是负数。正数表示增长，负数表示降低。增长速度由于采用的基期不同，可分为环比增长速度和定基增长速度。

1．环比增长速度

是报告期比前一期的增长量与前一期水平之比，表明报告期比前一期水平增长了百分之几或多少倍。以公式表示如下：如本例：1992年工业总产值环比增长速度为：2．定基增长速度

是报告期比固定基期的增长量，与固定基期水平之比，表明报告期水平比固定基期水平增长了的百分之几或多少倍。

以公式表示为：如本例：1992年工业总产值的定基增长速度为：定基增长速度＝环比增长速度与定基增长速度无直接关系，即环比增长速度的连乘积不等于定基增长速度。但增长速度与发展速度却有一定关系，即发展速度减1或100%等于增长速度，其关系以公式表示如下：如本例：1992年工业总产值环比发展速度(%)减100%等于1992年环比增长速度(%)：

年距增长速度与年距发展速度，亦存在同样的关系，因此年距增长速度＝年距发展速度－1(或100%)三、序时平均数和平均发展速度、平均增长速度、翻番速度(一)序时平均数序时平均数是将动态数列中各时期或时点上的指标加以平均而得的平均数。这种平均数是将某种事物在时间上变动的差异平均化，用以说明一段时期内的一般水平。

序时平均数(又称动态平均数)是与一般平均数(又称静态平均数)不相同的又一种类型的平均数。两者的差别如下：

(1)一般平均数是根据同一时期的标志总量与总体总量计算的；而序时平均数是根据不同时期的总量指标计算的。

(2)一般平均数所平均的是总体内各单位某一标志值的差别；而序时平均数所平均的是总体的某一总量指标在时间上的变动差别。

(3)一般平均数通常是由变量数列计算的，而序时平均数是由动态数列计算的。

可见序时平均数不论从性质上或计算上都与一般平均数不相同。

下面说明动态数列计算序时平均数的方法。

序时平均数可根据绝对数动态数列计算，也可根据相对数动态数列或平均数动态数列计算。但根据绝对数动态数列计算序时平均数是最基本的方法。后两者动态数列的序时平均数的计算，可分别计算分子和分母数列的序时平均数，然后以之对比，即可求得。

下面主要说明根据绝对数动态数列计算序时平均数的方法。

由于绝对数动态数列有时期数列和时点数列之分，其计算序时平均数的方法也不一样，故分别加以说明：

(1)由时期数列计算序时平均数。由时期数列计算序时平均数只需采用简单算术平均法，以时期项数除时期数列中各个指标数值之和即可。设某工厂1994年1～6月的总产值资料如表6-8所示。表6-8某工厂1994年1～6月总产值资料单位：百万元月份1月2月3月4月5月6月合计工业总产值191922242226132根据上表资料，计算上半年月平均工业总产值：月平均工业总产值绝对数动态数列计算序时平均数可用公式表示如下：式中：--代表序时平均数；--代表各期发展水平--代表时期项数。(2)由时点数列计算序时平均数。时点数是瞬间数，一般是期初数或期末数，在间隔相等的情况下，假定研究现象在时点间隔间变动是均匀的，因而先将两个相邻时点数相加后除以2，即得这两个时点间的序时平均数，然后再用简单平均法，求出整个时间的序时平均数。例如表6-9资料。表6-9某单位1994年3～6月各月月末职工人数月份3月末4月末5月末6月末月末职工人数180200220230根据上表资料，试计算本季度月平均人数4月份平均人数5月份平均人数6月份平均人数第二季度平均人数如将上述两个步骤的计算方法，合并计算则为：第二季度平均人数由此可见，间隔相等的时点数列序时平均数，可将数列中首项数值的，加上中间各项数值，再加上末项数值的，然后用项数减1去除即得。这一方法称“简单序时平均法”。用公式表示如下：式中：n代表时点项数(即时点个数)。如果时点数列中的间隔不等，则应用各间隔长度为权数，对各相应的时点的平均数水平加权，应用加权平均法计算序时平均数。这个方法称为“加权序时平均法”。以公式表示如下：例如：某单位1994年人数资料如表6-10。表6-10某单位1994年人数

1月1日3月1日7月1日10月1日12月31日职工人数1000600800120010001994年该单位平均人数：(二)平均发展速度平均发展速度是动态数列中各期环比发展速度或各期定基发展速度中的环比发展速度的序时平均数。它说明在一定时期内发展速度的一般水平。根据这一定义，那么平均发展速度的计算方法有几何法和方程法。现从理论动态数列和实际动态数列的关系，说明这两种计算方法。设实际动态数列各期环比发展速度各期定基发展速度理论动态数列1．几何法平均发展速度

实际动态数列各期环比发展速度连乘积等于理论动态数列中各期平均发展速度的连乘积：2．方程法平均发展速度

方程法平均发展速度的特点是实际动态数列各项之和等于理论动态数列各项之和，所以称为“累计法”，以公式表示为：解上列高次方程式，求出的正根，即为方程法平均发展速度。但解高次方程式颇为麻烦。在实际工作中，一般是利用《查对表》查出平均发展速度。下面举例说明水平法和累计法计算平均发展速度；表6-11某企业1989～1994年工业总产值年度198919901991199219931994工业总产值

(千元)530540832125014802127环比发展速度

(%)--101.9154.1150.2118.4143.7按几何法计算：两边同时取对数由对数查真数若知道5年的总速度R时，用下式计算：两边取对数由对数查真数表6-12某地1990年～1994年基本建设投资额年份基本建设投资额

(万元)年份基本建设投资额

(万元)1998

五年合计

1990

1991391.86

2242.75

359.52

364.411992

1993

1994479.55

499.88

539.39用累计法计算1990～1994年基本建设投资额的平均发展速计算公式为：本例数字：首先，根据来判断资料是递增型还是递减型：再用期数5去除，572.3345/5＝114.467％>100%故本例是递增型。用上公式进行计算，需解高次方程，比较麻烦，故一般使用《累计法查对表》(表6-11)进行查对求之。表6-11累计法查对表(摘录)平均年递增率

(%)各年发展总和为基期的(%)1年2年3年4年5年…

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

……

104.3

104.4

104.5

104.6

104.7

……

213.08

213.39

213.70

214.01

214.32

……

326.55

327.18

327.82

328.46

329.09

……

444.89

445.98

447.07

448.17

449.26

……

568.32

570.01

571.69

573.38

575.08

…在上表中，n＝5栏内，找到最接近572.33%的数字是571.69%，此数同行第1栏为4.5%，近似所要求的累计法平均递增速度。平均发展速度也可以说是104.5%。如果提高本例平均发展速度的精度，则可这样计算：先用572.33%－571.69%=0.64%和573.38-571.69＝1.69%。再求0.64%占1.69%的多少，用0.64%／1.69%=37.87%。用第一栏中4.6%－4.5%＝0.1%，这时就可用37.87%乘0.1%，0.1%×37.87%=0.03787%，再用4.5%+0.03787%＝4.53787%，则为平均增长速度，用100％+4.53787%＝104.53787%，则为平均发展速度。

几何法和累计法是两种不同特点的计算方法，用同一资料，两种方法计算结果是不相同的。

几何法的特点是：侧重考察最末一期的发展水平，用该法计算平均发展速度推算出最末一年的理论水平等于最末一年的实际水平。

累计法的特点是：侧重考察全期各年的发展水平之和。用该法计算的平均发展速度推算的各年的理论水平之和等于各年的实际水平之和。

因此，在实际工作中，应根据两种方法的各自特点，结合社会经济现象的性质，正确选用。一般对人口、产值、产量及一些经济效益指标，侧重于最后一期的数值，故宜采用几何法；而对基本建设投资额、地质勘探、垦荒面积、造林面积总数等指标，侧重于全期各年数值之和，故宜采用累计法。(三)平均增长速度因平均增长速度不等于全期各环比增长速度的连乘积，故它不能根据各环比增长速度进行直接计算。但可以利用平均增长速度等于平均发展速度减1(或百分之百)进行间接计算。如：例1平均增长速度=132%－100%＝32%例2平均增长速度＝104.53％－100%＝4.53%(四)“翻番”速度指标及其计算前面介绍了平均发展速度指标，但在实际工作中还有一种与平均发展速度同样是用来反映现象平均发展情况的指标，即“翻番”速度指标。1．翻番速度指标的概念

“翻番”，顾名思义，“番”是数词，意指“次”、“回”；“翻”是动词；意指“翻转”、“滚翻”。在数量上是指“倍增”。所以“翻番”指标是指以“倍”为增长率的递增速度，是速度指标的一种特殊表现形式。

根据这一涵义，翻一番即第一个倍增，就是比基期增加一倍，为基期的两倍。翻两番即第二个倍增，就是在翻一番的基础上再翻一番，则比基期增加了三倍，或为基期的四倍。如此类推。例如，基期数值为100，翻一番即为200；翻两番即在200的基础上再翻一番，即为400。

那么，翻番指标和平均发展速度，有何异同呢？我们知道，翻番速度指标和平均发展速度都是用来反映现象发展的速度指标，这是两者共同之处；但两者又有差别，因为平均发展速度是逐期发展的，而“翻番”则是逐番发展的，每番内可能包含若干个时期。如从函数看，其差别就更清楚了。平均发展速度的函数为：为的函数），系幂函数；而“翻番”指标的函数式为：为K的函数），系指数函数。2．“翻番”速度指标的计算

如上所述，翻番速度实质上是以“倍”为增长率的递增速度指标。其数学表达式为：为基期水平，为计算期水平，K为番数）若番数K包括整数番和非整数番，设R为整数番，S为非整数番，则上式可改写为：例：某地区发电能力为300万千瓦，要求本世纪末达到2000万千瓦。求翻番速度是多少?解：3．翻番速度在各时间段和地区间的汇总

翻番速度各时间段的汇总：各时间段的翻番指标之和等于全期翻番指标。

例如：某地区工业总产值20年间的发展规划，分四个时间段，每个时间段为5年，各个时间段和全期的翻番指标如表6-12。表6-12工业总产值(万元)翻番速度

(番)第一时间段

第二时间段

第三时间段

第四时间段200

300

500

1000300

500

1000

15000.585

0.737

1.000

0.585全期20015002．907全期翻番指标2.907(番)等于各时间段翻番指标之和。2.907＝0.585+0.737+1.000+0.585这是因为全期翻番指标与各期翻番指标存在下列关系，故能翻番速度各地区间的汇总：翻番速度各地区间的汇总：又例：某地区下辖三个区，即甲区、乙区和丙区，全地区及下辖各区的工业总产值20年间的发展规划和翻番指标，资料如表6-13。表6-13各区的工业总产值20年间的发展规划和翻番指标工业总产值(百万元)翻番速度指标(番)1980年2000年甲区乙区丙区1015201530480.5851.0001.263合计45931.048表中全地区的翻番速度指标，是以各区的翻番速度指标的加权算术平均数求得。这两者之间存在着如下关系：以只代入上式为本例为:总4．翻番速度指标与平均增长速度、平均发展速度的关系和换算设：为基期水平，为计算期水平，为时间间隔数，K为翻番数，为平均增长速度，为平均发展速度则(按翻番计算)(按平均增长速度计算)(按平均发展速度计算)有了上列三个指标之间的关系式，则可相互进行换算。例1据有关部门估计，我国按人口平均的国民生产总值，1979-2000年，计划翻1.98番，问换算为年递增率为多少?解：本例为：例2某国工业劳动生产率从1950年-1976年平均递增率为7.9%，问这26年间翻了几番?解：本例为解之(五)运用速度指标的几个问题(1)平均发展速度与平均增长速度指标，也是属于统计平均数的范畴。前面在谈统计平均数的计算时，曾强调计算平均数时，要注意平均数的同质性，否则所计算的平均数便是虚构的，没有什么意义的数字游戏。那么平均发展速度和平均增长速度也同样遵循同质性的原则。不过这里指的同质性是另一种意义的同质性，即发展方向的同一性。如果被研究对象在一定时期内发展方向不一致，那就缺乏计算平均发展速度和平均增长速度的基本条件了，所计算出来的平均发展速度和平均增长速度也就缺乏代表性了。

(2)如果事物在发展过程中，出现剧烈波动、大起大落现象，从平均的观点看，这种现象的离散程度很大，所计算的平均速度指标，代表性也就很低。在具体运用速度指标时，必须结合剧烈波动的原因，进行具体分析。

(3)平均发展速度是根据基期和计算期的水平指标计算的。所以选择基期显得特别重要。必须注意选择正常的时间，亦即未受影响的时间和有意义的时间作为基期。

(4)速度指标与水平指标相结合。速度指标与水平指标相结合，指的是两方面的结合，一方面是速度指标要与增长百分之一的水平值相结合。有时对比两个事物的发展速度，如果只看速度指标，就说一个快了，一个慢了，可能会得出错误的结论，所以必须结合增长百分之一水平值，具体分析现象的发展情况。另一方面是定基增长量与定基增长速度、环比增长量与环比增长速度相结合，互相补充。

(5)总平均速度指标要与分期速度、分段速度指标相结合。总平均发展速度，一般反映一段长时间事物发展的情况，但往往掩盖各期发展的情况，只有将两者结合起来，既反映事物发展的情况又能发现事物发展的实现过程。

有时事物发展呈阶段性，各阶段发展不是很平衡，需要分阶段计算平均发展速度，这时就要将总平均发展速度与分阶段平均发展速度结合起来，才能很好地反映事物的具体发展状况。

(6)将有联系的几个不同事物的发展速度进行观察，更能分析事物的发展规律。例如，将产量、职工人数和劳动生产率的发展速度对比分析，可以发现三者之间发展速度的关系。若产量的速度虽然快，但主要是由职工人数发展更快造成的，那劳动生产率的发展速度反而受到影响，不符合产量正常发展的规律。

(7)若发展水平出现负的基数时，则不能计算速度指标。例如，某企业由于改善了经营管理，由亏转盈。该企业由基年亏损10万元，经过3年后盈利3万元，这时反映该企业的利润发展情况，只能用绝对数表示，则3年之间利润增加了13万元(10+3=13万元)，若用发展速度表示，则不能计算。因为，负债和盈利是两个性质相反的指标，用符号表示为一负一正。在统计界曾就此问题进行过探索，提出过不少的计算方法，但都很难成立，以致不了了之。

(8)若将速度与图形结合起来，将生动地描述发展的情况，观察鲜明，给人以深刻的印象第四节长期趋势的分析和季节变动的测定一、长期趋势的分析所谓长期趋势是指客观的社会经济现象在某一段较长时期内，持续发展变化的趋势。

社会经济现象的发展变化，是受多方面的因素影响的，它除了受长期趋势因素影响之外，还受季节因素、循环因素和不规则因素等变化的影响。长期趋势分析就是采用一定的方法，将趋势因素以外的其他因素的变化影响，加以消除，使社会经济现象的发展变化，独自显示出长期趋势，为探索社会经济现象发展变化的规律性和统计预测提供重要的条件。

测定长期趋势的方法，主要有移动平均法和最小平方法，下面分别加以介绍：(一)移动平均法移动平均法是采用逐期推移，扩大时距计算序时平均数的方法。它以一系列移动平均数作为对应时期的趋势值。

设时间数列水平顺序为若取三项平均，则移动后的新项为：例：我国1970—1982年肥猪出栏头数资料如表6—14。表6—14我国1970—1982年肥猪出栏头数年份出栏头数3年

移动合计3年

移动平均4年

移动合计4年

移动平均4年移动

校正平均19701971197219731974197519761977197819791980198119821259314798165981668416244162301665016787161101876819861194952006343989480804952649158491244966749547516655473958124594191466316027165091638616375165561651617222182461937519806

60673643246575665808659116577768315715267423478187

15168165811643916452164781644417079178821855919547156251626016446164651646116762164821822119053必须注意，若采用偶数项移动平均时，因移动平均数对应的中点在两个时期之间，故不可以直接作为趋势值，需要进行校正，校正后的平均数，才能作为趋势值。

在采用移动平均法时，其时距扩大的程度，要考虑时间数列具体的特点。例如数列水平变动有一定的周期，就要将时距与周期变动的时距相吻合；又如时期数列变动中有季节变动就要消除季节变动，采用12项(月)或4项(季)的移动平均。

移动平均法所得到的趋势变化，若按奇数项移动平均所形成的新数列中，首尾各有(N为移动项数)个时期得不到趋势值；若按偶数项移动平均所形成的新数列中，首尾各有个时期得不到趋势值。这是移动平均法存在的不足之处。(二)最小平方法最小平方法又称最小二乘法，是测定长期趋势的常用方法。它的基本原理是求出长期趋势值和实际值的离差平方和为最小，即＝最小值。这就使求出的趋势线与原数列达到最佳的配合。

趋势方程：在求这方程中的两个系数时，如先将方程中的改为，用求偏导数方法可得出下列两个标准方程：解之则得，将代入趋势方程，即为所求的最佳配合趋势直线方程。例：某地区近几年来洗衣机销售量如表6—15。表6—15年份销售量(万台)

1988

1989

1990

1991

1992

1993

199430

40

25

50

45

55

650

1

2

3

4

5

60

1

4

9

16

25

360

40

50

150

180

275

390合计31021911085根据表6—15资料，将有关数字代入，的计算公式：将求出的的数值代入趋势方程即得以上是按直接法计算的，可改为按简捷法计算。简捷法具体计算是：当资料中的年份为奇数时，以中项年份为原点，则各年值分别为－3，－2，－1，0，1，2，3，从而当年份为偶数时，则以中间两项的中点为原点，各年份以两年为单位，原点以前各年的值依次为：－5，－3，－1，……，原点以后各年的值依次为；1，3，5，……，这样，同样可使于是上述方程可简化为：因此：将上例的资料改为如下的计算表，如表6—16。表6—16年份销售量(万台)

1988

1989

1990

1991

1992

1993

199430

40

25

50

45

55

65-3

-2

-1

0

1

2

39

4

1

0

1

4

9-90

-80

-25

0

45

110

195合计31028155根据表6—16资料计算的值为：以的数值代入趋势方程，则得：简捷法计算结果与直接法计算结果完全相同，但简捷法的计算比直接法计算简便得多。二、季节变动的测定研究季节变动的目的，在于掌握季节变动的规律性。测定季节变动的主要方法是计算季节比率(即季节指数)，称季节比率法。季节比率高的是“旺季”，反之则是“淡季”。

季节比率法又称季节系数法。该方法一般步骤是：

第一步：搜集历年各月或各季的时间数列资料，一般要有三年以上的历史资料；

第二步：求出历年的月或季的算术平均数，即把历年月或季度资料之和除以历年月或季总数；

第三