离散型随机变量的概率分布

盐阜路学习中心YanfuRdLearningCenter我要去看得更远的地方第24页共24页离散型随机变量的概率分布1．离散型随机变量的概率分布(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布表，具有如下性质：①pi________0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝________.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的_____________．X01P1－pp2．两点分布如果随机变量X的概率分布表为其中0<p<1，3．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))(r＝0,1,2，…，l)．即X01…lPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(l,M)C\o\al(n－l,N－M),C\o\al(n,N))其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．题型一离散型随机变量的概率分布的性质例1设随机变量X的概率分布为P(X＝eq\f(k,5))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求P(X≥eq\f(3,5))；(3)求P(eq\f(1,10)<X≤eq\f(7,10))．设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的概率分布；(2)|X－1|的概率分布．题型二离散型随机变量概率分布的求法命题点1与排列组合有关的概率分布的求法例2(2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的概率分布．例3某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布．例4(2014·安徽改编)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为eq\f(2,3)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的概率分布．(1)4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．①从中任取一支，求其标价X的概率分布；②从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的概率分布．(2)(2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；②已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布．题型三超几何分布例5一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(7,9).(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布．(2015·天津改编)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的概率分布．典例(14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其概率分布．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是________．①P(X＝3)②P(X≥2)③P(X≤3)④P(X＝2)答案④解析由超几何分布知P(X＝2)＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).2．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为________．答案eq\f(1,55)解析∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝eq\f(1,55).3．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))的值为________．答案eq\f(5,6)解析∵P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4)，∴P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是________．答案eq\f(12,35)解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35).5．设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.答案0.5解析由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．答案－1,0,1,2,3解析X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对，X＝2，甲抢到2题均答对，X＝3，甲抢到3题均答对．7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.答案eq\f(13,35)解析P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).8．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的概率分布．解(1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P(A)＝eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,4)，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为eq\f(1,4).(2)随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20.P(X＝0)＝eq\f(1,4)，P(X＝5)＝eq\f(2,A\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝10)＝eq\f(1,A\o\al(2,4))＋eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝15)＝eq\f(C\o\al(1,2)·A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝20)＝eq\f(A\o\al(3,3),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以，随机变量X的概率分布为X05101520Peq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,4)B组专项能力提升(时间：30分钟)9．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为________．答案X012P0.10.60.3解析∵X的所有可能取值为0,1,2，∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝0.6，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3.∴X的概率分布为X012P0.10.60.310.已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．答案(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3))解析设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d>0，,\f(1,3)＋d>0，))得－eq\f(1,3)<d<eq\f(1,3).11．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的概率分布为_____________________．答案η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)解析∵η的所有可能值为0,1,2.P(η＝0)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)×2,C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的概率分布为η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)12．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的概率分布．解(1)P＝1－eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(7,12).(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,9))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,42).(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,6),C\o\al(3,9))，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(15,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,84).所以ξ的概率分布为ξ0123Peq\f(5,21)eq\f(15,28)eq\f(3,14)eq\f(1,84)13.已知甲箱中只放有x个红球与y个白球(x，y≥0，且x＋y＝6)，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其他区别)．若从甲箱中任取2个球，从乙箱中任取1个球．(1)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P，求当P取得最大值时x，y的值；(2)当x＝2时，求取出的3个球中红球个数ξ的概率分布．解(1)由题意知P＝eq\f(C\o\al(1,x)C\o\al(1,y)C\o\al(1,1),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(xy,60)≤eq\f(1,60)(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(3,20)，当且仅当x＝y时等号成立，所以，当P取得最大值时x＝y＝3.(2)当x＝2时，即甲箱中有2个红球与4个白球，所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6)C\o\al(1,4))＝eq\f(1,30)，所以红球个数ξ的概率分布为ξ0123Peq\f(1,5)eq\f(7,15)eq\f(3,10)eq\f(1,30)

1．离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布表，具有如下性质：①pi__≥__0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝__1__.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两点分布如果随机变量X的概率分布表为X01P1－pp其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．3．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))(r＝0,1,2，…，l)．即X01…lPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(l,M)C\o\al(n－l,N－M),C\o\al(n,N))其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(√)(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(√)(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(×)(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√)(5)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是________．①至少取到1个白球；②至多取到1个白球；③取到白球的个数；④取到的球的个数．答案③解析①②表述的都是随机事件，④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2.2．(教材改编)从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．答案17解析X可能取得的值有3,4,5，…，19共17个．3．随机变量X的概率分布如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.答案eq\f(2,3)解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).4．随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，则n＝________.答案10解析P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝eq\f(3,n)＝0.3，得n＝10.5．(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．答案eq\f(27,220)解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).题型一离散型随机变量的概率分布的性质例1设随机变量X的概率分布为P(X＝eq\f(k,5))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求P(X≥eq\f(3,5))；(3)求P(eq\f(1,10)<X≤eq\f(7,10))．解(1)由概率分布的性质，得P(X＝eq\f(1,5))＋P(X＝eq\f(2,5))＋P(X＝eq\f(3,5))＋P(X＝eq\f(4,5))＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝eq\f(1,15).(2)P(X≥eq\f(3,5))＝P(X＝eq\f(3,5))＋P(X＝eq\f(4,5))＋P(X＝1)＝3×eq\f(1,15)＋4×eq\f(1,15)＋5×eq\f(1,15)＝eq\f(4,5).(3)P(eq\f(1,10)<X≤eq\f(7,10))＝P(X＝eq\f(1,5))＋P(X＝eq\f(2,5))＋P(X＝eq\f(3,5))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).思维升华(1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的概率分布；(2)|X－1|的概率分布．解由概率分布的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个概率分布为(1)2X＋1的概率分布2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的概率分布|X－1|0123P0.10.30.30.3题型二离散型随机变量概率分布的求法命题点1与排列组合有关的概率分布的求法例2(2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽的个数，求X的概率分布．解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上知，X的概率分布为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)命题点2与互斥事件有关的概率分布的求法例3某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的概率分布．解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的概率分布为X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法例4(2014·安徽改编)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为eq\f(2,3)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的概率分布．解用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．则P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(Bk)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(56,81).(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq\f(8,81).故X的概率分布为X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)思维升华求离散型随机变量X的概率分布的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的概率分布．求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(1)4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．①从中任取一支，求其标价X的概率分布；②从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的概率分布．解①X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的概率分布为X10203040Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)②根据题意，Y的可能取值为20,30,40，且P(Y＝20)＝eq\f(1,C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(Y＝30)＝eq\f(2,C\o\al(2,4))＝eq\f(1,3)，P(Y＝40)＝eq\f(3,C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2).所以Y的概率分布为Y203040Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)(2)(2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．①求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；②已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布．解①记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.P(A)＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).②X的可能取值为200,300,400.P(X＝200)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).故X的概率分布为X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)题型三超几何分布例5一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq\f(7,9).(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布．解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,10－x),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,9)，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(3－k,5),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.于是可得其概率分布为X0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)思维升华超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．(2015·天津改编)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的概率分布．解(1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A发生的概率为eq\f(6,35).(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．所以，随机变量X的概率分布为X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)17．随机变量取值不全致误典例(14分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其概率分布．易错分析由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．规范解答解由题意可得，随机变量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10.[4分]P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(1,2)×0.3×0.4＝0.24，P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，P(ξ＝6)＝Ceq\o\al(1,2)×0.3×0.3＝0.18，P(ξ＝7)＝Ceq\o\al(1,2)×0.4×0.3＝0.24，P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.[10分]故随机变量ξ的概率分布为ξ2346710P0.090.240.160.180.240.09[14分]温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.[方法与技巧]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．2．求离散型随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[失误与防范]掌握离散型随机变量的概率分布，须注意：(1)概率分布的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布的正误．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是________．①P(X＝3)②P(X≥2)③P(X≤3)④P(X＝2)答案④解析由超几何分布知P(X＝2)＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).2．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为________．答案eq\f(1,55)解析∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝eq\f(1,55).3．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))的值为________．答案eq\f(5,6)解析∵P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，∴eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，∴a＝eq\f(5,4)，∴P(eq\f(1,2)<X<eq\f(5,2))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).4．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是________．答案eq\f(12,35)解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35).5．设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.答案0.5解析由概率分布的性质，知0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．答案－1,0,1,2,3解析X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对，X＝2，甲抢到2题均答对，X＝3，甲抢到3题均答对．7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.答案eq\f(13,35)解析P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).8．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的概率分布．解(1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则P(A)＝eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,4)，故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为eq\f(1,4).(2)随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20.P(X＝0)＝eq\f(1,4)，P(X＝5)＝eq\f(2,A\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝10)＝eq\f(1,A\o\al(2,4))＋eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝15)＝eq\f(C\o\al(1,2)·A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝20)＝eq\f(A\o\al(3,3),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以，随机变量X的概率分布为X05101520Peq\f(1,4)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,4)B组专项能力提升(时间：30分钟)9．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为________．答案X012P0.10.60.3解析∵X的所有可能取值为0,1,2，∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝0.1，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝0.6，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝0.3.∴X的概率分布为X012P0.10.60.310.已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．答案(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3))解析设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d>0，,\f(1,3)＋d>0，))得－eq\f(1,3)<d<eq\f(1,3).11．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的概率分