排列组合解题策略

解排列组合问题的常用策略

名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.排列和组合的区别和联系：名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质，从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数1、某校组织学生分4个组从3处风景点中选一处去春游,则不同的春游方案的种数是（）A.B.C.D.

C练习2、将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有（）。A.6种B.9种C.11种D.23种

B解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略判断下列问题是组合问题还是排列问题?

(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?

有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题合理分类和准确分步

解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.总的原则—合理分类和准确分步

解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例16个同学和2个老师排成一排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有种方法.若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有种，1位的排法有种,第2、3、6、7位的排法有种，根据分步计数原理，不同的站法有种。再安排老师，有2种方法。把握分类原理、分步原理是基础例1如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有（）A.63种B.64种C.6种D.36种分析:由加法原理可知由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63合理分类与分步策略例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞,3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究:只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员________种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有____种，由分类计数原理共有______________________种。++本题还还有如如下分分类标标准：：*以3个个全能能演员员是否否选上上唱歌歌人员员为标标准*以3个个全能能演员员是否否选上上跳舞舞人员员为标标准*以只会会跳舞舞的2人是是否选选上跳跳舞人人员为为标准准都可经经得到到正确确结果果解含有有约束束条件件的排排列组组合问问题，，可按按元素素的性质质进行行分类类，按按事件件发生生的连连续过过程分分步，做做到标标准明明确。。分步步层次次清楚楚，不不重不不漏，分分类标标准一一旦确确定要要贯穿穿于解解题过过程的的始终。。有不同同的数数学书书7本本，语语文书书5本本，英英语书书4本本，由由其中中取出出不是是同一一学科科的书书2本本，共共有多多少种种不同同的取取法？？（7××5+7××4+5××4=83）（4））（2005··福建建·理理）从从6人人中选选4人人分别别到巴巴黎、、伦敦敦、悉悉尼、、莫斯斯科四四个城城市游游览，，要求求每个个城市市有一一人游游览，，每人人只游游览一一个城城市，，且这这6人人中甲甲、乙乙两人人不去去巴黎黎游览览，则则不同同的选选择方方案共共有（（））A．300种B．．240种种C．144种D．．96种B1.从从4名名男生生和3名女女生中中选出出4人人参加加某个个座谈谈会，，若这这4人人中必必须既既有男男生又又有女女生，，则不不同的的选法法共有有_______34练习题题2.3成人人2小小孩乘乘船游游玩,1号号船最最多乘乘3人人,2号船最最多乘乘2人人,3号船船只能能乘1人,他们们任选选2只船船或3只船船,但但小孩孩不能能单独独乘一一只船船,这5人人共有有多少少乘船船方法法.27特殊元元素和和特殊殊位置置问题题特殊元元素和和特殊殊位置置优先先策略略例1.由0,1,2,3,4,5可以以组成成多少少个没没有重重复数数字五位奇奇数.解:由由于末末位和和首位位有特特殊要要求,应该该优先先安排,以以免不不合要要求的的元素素占了了这两两个位位置先排末末位共共有___然后排排首位位共有有___最后排排其它它位置置共有有___由分步计数原理得=288位置分分析法法和元元素分分析法法是解解决排排列组组合问问题最最常用用也是是最基基本的的方法法,若若以元元素分分析为为主,需先先安排排特殊殊元素素,再再处理理其它它元素素.若若以位位置分分析为为主,需先先满足足特殊殊位置置的要要求,再处处理其其它位位置。。若有有多个个约束束条件件，往往往是是考虑虑一个个约束束条件件的同同时还还要兼兼顾其其它条条件学生要要从六六门课课中选选学两两门：：（1））有两两门课课时间间冲突突，不不能同同时学学，有有几种种选法法？（2））有两两门特特别的的课，，至少少选学学其中中的一一门，，有几几种选选法？？解法一：解法二：（1））有两两门课课时间间冲突突,不不能同同时学学，有有几种种选法法？解法一一：解法二二：（2））有两两门特特别的的课，，至少少选学学其中中的一一门，，有几几种选选法？？7种不不同的的花种种在排排成一一列的的花盆盆里,若两两种葵葵花不不种在在中间间，也也不种种在两两端的的花盆盆里，，问有有多少少不同同的种种法？？练习题题小结：：1、““在””与““不在在”可可以相相互转转化。。解决决某些些元素素在某某些位位置上上用““定位位法””，解解决某某些元元素不不在某某些位位置上上一般般用““间接接法””或转转化为为“在在”的的问题题求解解。2、排排列组组合应应用题题极易易出现现“重重”、、“漏漏”现现象，，而重重”、、“漏漏”错错误常常发生生在该该不该该分类类、有有无次次序的的问题题上。。为了了更好好地防防“重重”堵堵“漏漏”，，在做做题时时需认认真分分析自自己做做题思思路，，也可可改变变解题题角度度，利利用一一题多多解核核对答答案相邻相相间问问题相邻元元素捆捆绑策策略例.7人人站成成一排排,其中中甲乙乙相邻邻且丙丙丁相相邻,共共有有多少少种不不同的的排法法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法=480解：可可先将将甲乙乙两元元素捆捆绑成成整体体并看看成一个复复合元元素，，同时时丙丁丁也看看成一一个复合元元素，，再与与其它它元素素进行行排列列，同时对对相邻邻元素素内部部进行行自排排。要求某某几个个元素素必须须排在在一起起的问问题,可以以用捆绑法法来解解决问问题.即将将需要要相邻邻的元元素合合并为一个个元素素,再再与其其它元元素一一起作作排列列,同同时要注意意合并并元素素内部部也必必须排排列.例5个男男生3个女女生排排成一一排,3个个女生生要排排在一一起,有多多少种种不同同的排排法?结论捆绑法法:要求某某几个个元素素必须须排在在一起起的问问题,可以以用捆捆绑法法来解解决问问题.即将将需要要相邻邻的元元素合合并为为一个个元素素,再再与其其它元元素一一起作作排列列,同同时要要注意意合并并元素素内部部也可可以作作排列列.有8本本互不不相同同的书书,其其中数数学书书3本本,外外文书书2本本,其其他书书3本本.若若将这这些书书排成成一列列放在在书架架上,则数数学书书恰好好排在在一起起,外外文书书也恰恰好排排在一一起的的排法法共有有_____种种(结结果用用数值值表表示).不相邻邻问题题插空空策略略例3.一个个晚会会的节节目有有4个个舞蹈蹈,2个相相声,3个个独唱,舞蹈蹈节目目不能能连续续出场场,则则节目目的出出场顺序序有多多少种种？解:分分两步步进行行第一一步排排2个个相声声和3个独独唱共共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种

不同的方法

由分步计数原理,节目的不同顺序共有

种相相独独独元素相相离问问题可可先把把没有有位置置要求求的元元素进进行排排队再再把不不相邻邻元素素插入入中间间和两两端不相邻邻问题题———插空空法对于某某几个个元素素不相相邻得得排列列问题题，可可先将将其它它元素排排好，，然后后再将将不相相邻的的元素素在已已排好好的元元素之间及及两端端的空空隙之之间插插入即即可。。例57人人站成成一排排照相相，要要求甲甲，乙乙，丙丙三人人不相相邻，，分别别有多多少种种站法法？分析：可先让其余4人站好，共有种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有种方法，这样共有种不同的排法。某班新年年联欢会会原定的的5个节节目已排排成节目目单，开开演前又又增加了了两个新新节目.如果将将这两个个新节目目插入原原节目单单中，且且两个新新节目不不相邻，，那么不不同插法法的种数数为（））30练习题（1）三三个男生生，四个个女生排排成一排排，男生生、女生生各站一一起，有有几种不不同方法法？（2）三个男生生，四个个女生排排成一排排，男生之间间、女生生之间不不相邻，，有几种种不同排排法？捆绑法：：插空法：：（3）(2005··辽宁)用１、、２、３３、４、、５、６６、７、、８组成没有有重复数数字的八八位数，，要求１１与２相相邻，３３与４相相邻，５５与６相相邻，而而７与８８不相邻邻，这样样的八位位数共有有___________个个．（用用数字作作答）练习(3)(2005··辽宁)用１、、２、３３、４、、５、６６、７、、８组成没有有重复数数字的八八位数，，要求１１与２相相邻，３与４相相邻，５５与６相相邻，而而７与８８不相邻邻，这样的八八位数共共有___________个．（（用数字字作答））将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有种，再将７、８插入4个空位中的两个有种，故有种．

引申:用用１、２２、３、、４、５５、６、、组成没没有重复复数字的六位数数，要求求１与２２相邻，，３与４４相邻，，５与６６相邻，现现将7、、8插插进去，，仍要求求１与２２相邻，，３与４４相邻，５５与６相相邻，那那么插法法共有___________种．．（用数字字作答））某人射击击8枪，，命中4枪，4枪命中中恰好有有3枪连连在一起起的情形形的不同同种数为为（））练习题20“相邻””用“捆捆绑”，，“不邻邻”就““插空””例七人人排成一一排，甲甲、乙两两人必须须相邻，，且甲、、乙都不不与丙相相邻，则则不同的的排法有有（））种960种种（（B）840种种（（C）720种种（（D）600种种解：另解：例学校组织织老师学学生一起起看电影影，同一一排电影影票12张。8个学生生，4个个老师，，要求老老师在学学生中间间，且老老师互不不相邻，，共有多多少种不不同的坐坐法？解先排学生生共有种种排法法,然后后把老师师插入学学生之间间的空档档，共有有7个空空档可插插,选其其中的4个空档档,共有有种种选选法.根根据乘法法原理,共有的的不同坐坐法为种种.结论插入法:对于某两两个元素素或者几几个元素素要求不不相邻的的问题,可以用用插入法法.即先先排好没没有限制制条件的的元素,然后将将有限制制条件的的元素按按要求插插入排好好元素的的空档之之中即可可.分析此题涉及及到的是是不相邻邻问题,并且是是对老师师有特殊殊的要求求,因此此老师是是特殊元元素,在在解决时时就要特特殊对待待.所涉涉及问题题是排列列问题.小结：以元素相相邻为附附加条件件的应把把相邻元元素视为为一个整整体，即即采用““捆绑法法”；以以某些元元素不能能相邻为为附加条条件的,可采用用“插空空法”。。“插空空”有同同时“插插空”和和有逐一一“插空空”,并并要注意意条件的的限定.定序问题题定序问题题倍缩空空位插入入策略例7人排队队,其中中甲乙丙丙3人顺顺序一定定共有多多少不同的的排法解:(倍缩法)对于某某几个元元素顺序序一定的的排列问题,可可先把这这几个元元素与其其他元素素一起进行排列列,然后后用总排排列数除除以这几个元元素之间的的全排列列数,则共有不不同排法法种数是：（空位法）设想有有7把椅椅子让除除甲乙丙丙以外的四人就就坐共有有种方法，，其余的的三个位置甲乙乙丙共有有种坐法，，则共有有种方法。1思考:可可以先让让甲乙丙丙就坐吗吗?（插入法)先排甲甲乙丙三三个人,共有1种排法法,再把其余4四人依次插入共有有方法4*5*6*7定序问题题可以用用倍缩法法，还可可转化为为占位插插空模型型处理练习题10人身身高各不不相等,排成前前后排，，每排5人,要要求从左至至右身高高逐渐增增加，共共有多少少排法？？例期中安排排考试科科目9门门,语文文要在数数学之前前考,有有多少种种不同的的安排顺顺序?解不加任何何限制条条件,整整个排法法有种种,“语文文安排在在数学之之前考””,与““数学安安排在语语文之前前考”的的排法是是相等的的,所以以语文安安排在数数学之前前考的排排法共有有种种.结论对等法:在有些题题目中,它的限限制条件件的肯定定与否定定是对等等的,各各占全体体的二分分之一.在求解解中只要要求出全全体,就就可以得得到所求求.分房问题题又名：住住店法，，重排问问题求幂幂策略住店法解决“允允许重复复排列问问题”要要注意区区分两类类元素：：一类元素素可以重重复，另另一类不不能重复复，把不不能重复复的元素素看作““客”，，能重复复的元素素看作““店”，，再利用用乘法原原理直接接求解。。例10七七名学生生争夺五五项冠军军，每项项冠军只只能由一一人获得得，获得得冠军的的可能的的种数有有（））A.B.CD.分析：因因同一学学生可以以同时夺夺得n项项冠军，，故学生生可重复复排列，，将七名名学生看看作7家家“店””，五项项冠军看看作5名名“客””，每个个“客””有7种种住宿法法，由乘乘法原理理得种种。注：对此此类问题题，常有有疑惑，，为什么么不是呢呢？用分步计计数原理理看，5是步骤骤数，自自然是指指数。A重排问题题求幂策策略例.把6名实习习生分配配到7个个车间实实习,共共有多少种不不同的分分法解:完成成此事共共分六步步:把第第一名实实习生分分配到车间有有种分法.7把第二名实习生分配

到车间也有7种分法，依此类推推,由分分步计数原理共共有种种不同同的排法法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种nm1.某某班新年年联欢会会原定的的5个节节目已排排成节目目单，开开演前又又增加了了两个新新节目.如果将将这两个个节目插插入原节节目单中中，那么么不同插插法的种种数为（（））422.某某8层大大楼一楼楼电梯上上来8名名乘客人人,他们们到各自的的一层下下电梯,下电梯梯的方法法（））练习题环排问题题和多排排问题环排问题题线排策策略例5人人围桌而而坐,共共有多少少种坐法法?解：围桌而坐坐与坐成成一排的的不同点点在于，，坐成圆形没有有首尾之之分，所所以固定定一人A并从此位置把把圆形展展成直线线其余4人共有有____种排法即即ABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有练习题6颗颜色色不同的的钻石，，可穿成成几种钻钻石圈？？120多排问题题直排策策略例8人排成成前后两两排,每每排4人人,其中中甲乙在在前排,丁丁在后排排,共有有多少排排法解:8人人排前后后两排,相当于于8人坐坐8把椅椅子,可可以把椅子排排成一排排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排一般地,元素分分成多排排的排列列问题,可归结结为一排排考虑,再分段段研究.有两排座座位，前前排11个座位位，后排排12个个座位，，现安排排2人就就座规定定前排中中间的3个座位位不能坐坐，并且且这2人人不左右右相邻，，那么不不同排法法的种数数是______346练习题小集团问问题小集团问问题先整整体局部部策略例9.用用1,2,3,4,5组成没没有重复复数字的的五位数数其中恰有有两个偶偶数夹1,５在在两个奇奇数之间,这样样的五位位数有多多少个？？解：把１１,５,２,４４当作一一个小集集团与３３排队共有____种种排法，，再排小小集团内内部共有有_______种排法法，由分分步计数数原理共共有_______种排法法.31524小集团小集团排排列问题题中，先先整体后后局部，，再结合合其它策策略进行行处理。。１.计划划展出10幅不不同的画画,其中中1幅水水彩画,４幅油画,５幅国国画,排排成一一行陈列列,要求求同一品种的必必须连在在一起，，并且水水彩画不不在两端，那么么共有陈陈列方式式的种数数为_______2.5男生和和５女生生站成一一排照像像,男生生相邻,女生也相邻邻的排法法有_______种种元素相同同问题隔隔板策略略应用背景景：相同同元素的的名额分分配问题题不定方程程的正整整数解问问题隔板法的的使用特特征：相同的元元素分成成若干部部分，每每部分至至少一个个元素相同同问题隔隔板策略略例.有10个个运动员员名额，，在分给给7个班班，每班至少一一个,有有多少种种分配方方案？解：因为为10个个名额没没有差别别，把它它们排成成一排。相相邻名额额之间形形成９个个空隙。。在９个空空档中选选６个位位置插个个隔板，，可把名额额分成７７份，对对应地分分给７个个班级，每每一种插插板方法法对应一一种分法法共有___________种分法法。一班二班三班四班五班六班七班将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为例高二年级级8个班班,组织织一个12个人人的年级级学生分分会,每每班要求求至少1人,名名额分配配方案有有多少种种?解此题可以以转化为为:将12个相相同的白白球分成成8份,有多少少种不同同的分法法问题,因此须须把这12个白白球排成成一排,在11个空档档中放上上7个相相同的隔隔板,每每个空档档最多放放一个,即可将将白球分分成8份份,显然然有种种不同同的放法法,所以以名额分分配方案案有种种.结论转化法:对于某些些较复杂杂的、或或较抽象象的排列列组合问问题，可可以利用用转化思思想,将将其化归归为简单单的、具具体的问问题来求求解.练习（1）将将10个个学生干干部的培培训指标标分配给给7个不不同的班班级，每每班至少少分到一一个名额额，不同同的分配配方案共共有（（））种。。（2）不定方程的正整数解共有（）组练习题10个相相同的球球装5个个盒中,每盒至至少一有多少装装法？2.x+y+z+w=100求这这个方程程组的自自然数解解的组数小结：把n个相相同元素素分成m份每份份,至少少1个元元素,问问有多少少种不同同分法的的问题可可以采用用“隔板板法”得得出共有有种种.间接法解解题正难则反反总体淘淘汰策略略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这这十个数数字中取取出三个数，使使其和为为不小于于10的的偶数,不同的的取法有多多少种？？解：这问问题中如如果直接接求不小小于10的偶数数很困难,可可用总体体淘汰法法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共有_________再淘汰和和小于10的偶偶数共___________符合条件件的取法法共有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排列列组合问问题,正正面直接接考虑比比较复杂杂,而它它的反面面往往比比较简捷捷,可以以先求出出它的反反面,再再从整体体中淘汰汰.例：用0，1，，2，3，4这这五个数数，组成成没有重重复数字的三三位数，，其中1不在个个位的数数共有_______种。间接法(总体体淘汰法法,正难难则反））对于含有有否定词词语的问问题，还还可以从从总体中中把不符符合要求求的减去去，此时时应注意意既不能多多减又不不能少减减。

分析：五个数组成三位数的全排列有个，0排在首位的有个，1排在末尾的有，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数（为什么？）故共有种。例我们班里里有43位同学学,从中中任抽5人,正正、副班班长、团团支部书书记至少少有一人人在内的的抽法有有多少种种?解43人中中任抽5人的方方法有种种,正副班班长,团团支部书书记都不不在内的的抽法有有种种,所以以正副班班长,团团支部书书记至少少有1人人在内的的抽法有有种种.结论去杂法:有些问题题,正面面直接考考虑比较较复杂,而它的的反面往往往比较较简捷,可以先先求出它它的反面面,再从从整体中中排除.平均分组组问题除除法策略略“分书问问题”平均分组组问题除除法策略略例12.6本不不同的书书平均分分成3堆堆,每堆堆2本共共有多少分法法？解:分分三步取取书得种种方法法,但这这里出现现重复计数数的现象象,不妨妨记6本本书为ABCDEF若第一步步取AB,第二二步取CD,第第三步取取EF该分法记记为(AB,CD,EF),则中中还还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共共有种种取取法,而这些分法法仅是(AB,CD,EF)一种分分法,故故共有种种分法法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。变式：6本不同同的书，，按照以以下要求求处理，，各有多多少种方方法？（4）平平均分给给3个人人，（1）一一堆一本本，一堆堆2本，，一堆3本（2）甲甲得1本本，乙得得2本，，丙得3本（3）一一人一本本，一人人2本，，一人3本（6）每每人至少少一本（5）平平均分成成3堆1将将13个个球队分分成3组组,一组组5个队队,其它它两组4个队,有有多少少分法？？2.10名学生生分成3组,其其中一组组4人,另两两组3人人但正副班班长不能能分在同同一组,有多少少种不同同的分组方方法（1540）3.某校校高二年年级共有有六个班班级，现现从外地地转入入4名名学生，，要安排排到该年年级的两两个班级级且每班班安排2名，则则不同的的安排方方案种数数为______小结：排列与组组合的区区别在于于元素是是否有序序;m等分的的组合问问题是非非等分情情况的;而元素素相同时时又要另另行考虑虑.构造模型型策略例.马马路上有有编号为为1,2,3,4,5,6,7,8,9的的九只路灯灯,现要要关掉其其中的3盏,但但不能关关掉相邻的的2盏或或3盏,也不能能关掉两两端的2盏,求满满足条件件的关灯灯方法有有多少种种？解：把此此问题当当作一个个排队模模型在6盏亮灯的5个空隙隙中插入入3个不不亮的灯灯有________种种一些不易易理解的的排列组组合题如如果能转转化为非常熟悉悉的模型型，如占占位填空空模型，，排队模型，装装盒模型型等，可可使问题题直观解解决练习题某排共有有10个个座位，，若4人人就坐，，每人左左右两边都有有空位，，那么不不同的坐坐法有多多少种？？120先选后排排问题八.排列列组合混混合问题题先选后后排策略略例.有5个不同同的小球球,装入入4个不不同的盒盒内,每盒至少少装一个个球,共共有多少少不同的的装法.解:第一一步从5个球中中选出2个组成成复合元元共有__种种方法.再把5个元素素(包含含一个复复合元素)装装入4个个不同的的盒内有有_____种种方法.根据分步步计数原原理装球球的方法法共有_____解决排列列组合混混合问题题,先选选后排是是最基本本的指导思思想.此法与相邻元素素捆绑策策略相似似吗?练习题一个班有有6名战战士,其其中正副副班长各各1人现从中选选4人完完成四种种不同的的任务,每人完成一种种任务,且正副副班长有有且只有有1人参加,则则不同的的选法有有________种种1923名医生生和6名护士士被分配到到3所所学校为学学生体检,每校分配配1名名医生和2名护护士,不同同的分配方方法共有多多少种?先选后排问问题的处理理方法解法一：先先组队后分分校（先分分堆后分配配）解法二：依依次确定到到第一、第第二、第三三所学校去去的医生和和护士.为支援西部部开发,有有3名教师师去银川市市三所学校校任教,每每校分配1人,不同同的分配方方法共有_______种(用数字作作答).练习改为4名教教师？改为5名教教师？小结：本题涉及一一类重要问问题：问题题中既有元元素的限制制，又有排排列的问题题，一般是是先元素（（即组合））后排列。。实验法（穷穷举法），，（枚举法法）应用举例实验法（穷穷举法）题中附加条条件增多，，直接解决决困难时，，用实验逐逐步寻求规规律有时也也是行之有有效的方法法。例将将数字1，2，3，4填入入标号为1，2，3，4的四四个方格内内，每个方方格填1个个，则每个个方格的标标号与所填填的数字均均不相同的的填法种数数有（））实际操作穷穷举策略例.设有编编号1,2,3,4,5的五五个球和编编号1,23,4,5的五个盒盒子,现将将5个球投投入这五个盒子内,要求每个个盒子放一一个球，并并且恰好有两个个球的编号号与盒子的的编号相同同,.有多少投法法？解：从5个球中中取出2个个与盒子对对号有_____种种还剩下3球球3盒序号号不能对应应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法3号盒4号盒5号盒345实际操作穷穷举策略例.设有编编号1,2,3,4,5的五五个球和编编号1,23,4,5的五个盒盒子,现将将5个球投投入这五个盒子内,要求每个个盒子放一一个球，并并且恰好有两个个球的编号号与盒子的的编号相同同,.有多少投法法？解：从5个球中中取出2个个与盒子对对号有_____种种还剩下3球球3盒序号号不能对应应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2种练习：：（不对号号入座问题题）（1）（2004湖湖北）将标标号为1，，2，3，，……，10的10个球放放入标号为为1，2，，3，………，10的的10个盒盒子中，每个盒内放放一个球，，恰好有3个球的标标号与其所所在盒子的标号不一一致的放入入方法有___________种（2）编号号为1、2、3、4、5的五五个球放入入编号为1、2、3、4、5的五个盒盒子里，至至多有2个个对号入座座的情形有有___________种种109直接法：间接法：注意区别““恰好”与与“至少””从6双不同同颜色的手手套中任取取4只，其其中恰好有有一双同色色的手套的的不同取法法共有（））(A)480种种（B）240种（（C）180种（（D））120种种小结：“恰恰好有一个个”