苏州市2016届高三调研测试数学试题

第14页共14页苏州市2016届高三调研测试数学Ⅰ试题2016．1参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差，其中．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．设全集U＝｛x|x≥2，x∈N｝，集合A＝｛x|x2≥5，x∈N｝，则＝▲．复数，其中i为虚数单位，＝，则a的值为▲．N图）开始z←N图）开始z←x+yx←1，y←1z<6y←zY输出eq\f(y,x)结束x←y若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为▲．已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，且a⊥(a-b)，则实数x=▲．阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为▲．函数的值域为▲．连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为▲．将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则＝▲．已知是第三象限角，且，则＝▲．已知是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列的第n项到第n+5项的和为Tn，则取得最小值时的n的值为▲．若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝▲．已知函数f(x)＝－kx(x≥0，k∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则＝▲．已知，，则的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分14分）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若的面积为，，求边的长．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且A1E，求证：平面A1C1FE.（本小题满分14分）图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米．（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？（本小题满分16分）如图，已知椭圆O：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；②求的取值范围．（本小题满分16分）已知数列满足：，，,.（1）若，且数列为等比数列，求的值；（2）若，且为数列的最小项，求的取值范围.20．（本小题满分16分）已知函数（a∈R），为自然对数的底数．（1）当a＝1时，求函数的单调区间；（2）=1\*GB3①若存在实数，满足，求实数的取值范围；=2\*GB3②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．数学II（附加题）21．【选做题】A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABDC内接于圆．BD＝CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点。（1）求证：∠EAC＝2∠DCE（2）若BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的长。B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知二阶矩阵M有特征值＝3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（－1,2）变换成（9,15），求矩阵M．C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy中，已知曲线C1的参数方程是为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是＝2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标。D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）设函数。（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围。出文字说明、证明过程或演算步骤．22、（本小题满分10分）一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率均为，购买B种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．

（1）求该网民至少购买2种商品的概率；

（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．23、（本小题满分10分）如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在这一下层的两个小正方形之上，现对第k层的每个小正形用数字进行标注，从左到右依次记为其中中其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为。（1）当k＝4时，若要求为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？（2）当k＝11时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？苏州市2016届高三调研测试数学Ⅰ试题2016．1参考答案与评分标准一、填空题1． 2．－5 3．4．25．96．7．8．9．510．11．5或612．1813．14．二、解答题15．解：（1）由余弦定理知，…3分，，….………………5分又，.………7分（2），，………10分又，…13分.…………………14分16．解：（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，（第16题图）C1E（第16题图）C1EOD1B1A1FDCBA由直棱柱知AA1CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1所以EF∥A1C1故A1，C1，F，E四点共面．……………7分（2）连接BD，因为直棱柱中平面，平面，所以．………9分因为底面A1B1C1D1是菱形，所以．又，所以平面．………11分因为平面，所以OD．又A1E，，平面A1C1FE，平面A1C1FE，所以平面A1C1FE.………14分17．解：（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，因为AB＝2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为．………3分因为水深CD＝0.4米，所以OD＝0.6米，在Rt△ODM中，（米）．……5分所以MN＝2DM＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米．………6分（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为．……8分令y＝0，得，令y＝-1，得．设直角梯形OCFE的面积为S，则（）．……10分，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．………12分所以时，面积S取得最小值，最小值为．此时，即当渠底宽为米时，所挖的土最少．…………14分18．解：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即，联立，解得或（舍），即．……………2分连BF，则直线BF：，即，而，．………4分故．………5分（2）解法一：①设，且，则直线PM的斜率为，则直线PM的方程为，联立化简得，解得，……8分所以，，所以为定值．…10分②由①知，，，所以，…13分令，故，因为在上单调递增，所以，即的取值范围为．……16分解法二：①设点，则直线PM的方程为，令，得.…7分所以，，所以（定值）.………………10分②由①知，，，所以=．………………13分令，则，因为在上单调递减，所以，即的取值范围为……16分19．解：（1），，∴，，由数列为等比数列，得，解得或.……………3分当时，，∴符合题意；………4分当时，，∴=，∴符合题意.………6分（2）法一：若，，∴==.……………8分∵数列的最小项为，∴对，有恒成立，即对恒成立.………10分当时，有，∴；当时，有，∴；当时，有，∴；当时，有，∴；………12分当时，，所以有恒成立，令，则，即数列为递增数列，∴.………15分综上所述，.………16分法二：因为，，又为数列的最小项，所以即所以.…………8分此时，，所以.…………10分当时，令，，所以，所以，即.…………14分综上所述，当时，为数列的最小项，即所求q的取值范围为.………16分20．解：（1）当a＝1时，，，…………1分由于，当时，，∴，当时，，∴，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.………………4分（2）①由得．当时，不等式显然不成立；当时，；当时，.…6分记=，，∴在区间和上为增函数，和上为减函数．∴当时，，当时，．……8分综上所述，所有a的取值范围为．………9分②由①知时，，由，得，又在区间上单调递增，在上单调递减，且，∴，即，∴.………12分当时，，由，得，又在区间上单调递减，在上单调递增，且，∴，解得.………15分综上所述，所有a的取值范围为．………16分苏州市2016届高三调研测试数学Ⅱ试题2016．1参考答案与评分标准一、选做题21．．（1）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．…………………2分所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…………………5分（2）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．…………………6分因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．………7分由切割线定理得EC2=AEBE，即AB2=AE(

AE－AB)，即AB2+2

AB-4=0，解得AB=.…………………10分．解：设,则,故…3分,故…………………6分联立以上两方程组解得,故=.…10分．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝\f(\r(3t),3)，))消去t得曲线C1的普通方程y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)；…3分由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.…………6分联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x（x≥0），,x2＋y2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1.))故曲线C1与C2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1)).…………10分．（1）证明：由a>0，有f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))＋|x－a|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)－(x－a)))＝eq\f(1,a)＋a≥2，所以f(x)≥2.…………4分（2）解：f(3)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3＋\f(1,a)))＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5得3<a<eq\f(5＋\r(21),2).…………6分当0<a≤3时，f(3)＝6－a＋eq\f(1,a)，由f(3)<5得eq\f(1＋\r(5),2)<a≤3.…………8分综上，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1