理解定积分定义要注意以下三点课件

第九章

定积分

§1

定积分的概念教学内容：

1)

定积分概念的引入2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立3)

定积分的数学定义重点：

定积分的数学定义难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立定积分概念的引入一、背景1、曲边梯形的面积2、变力所做的功1第九章

定积分1

1

曲边梯形的面积

中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。2

1

曲边梯形的面积2上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。3上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精假设抛物线方程为:

将等分成n等份，抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用宽为，高为的矩形代替，如下图：则它的第i个小曲边梯形的面积：

所求的总面积:

4假设抛物线方程为:

将等分成n等份，抛物线下面

我们分别取n=10,50,100用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的近似值：5

我们分别取n=10,50,100用计算机把它的图象画出6677由此可知，分割越细，越接近面积准确值

再看一个变力做功的问题

设质点m受力

的作用，沿直线由A点运动到B点，求变力

的做的功。F虽然是变力，但在很短一段间隔内看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，，F的变化不大，可近似1）

对作分割：8由此可知，分割越细，越接近面积准确值

再看一当每个小区间的长度都很小时，小区间上的力：在

上，力F作的功2）求和力F在

上作的功

分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细度：时，9当每个小区间的长度都很小时，小区间上的力：3）取极限

对上面和式取极限，极限值就是力在

上作的功。

从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如：的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义（下页）103）取极限从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面

定义

设是定义在区间

上的一个函数，在闭区间

上任取n-1个分点

把[a,b]分成n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T表示,分割的细度用表示，在分割T所属的各个小区间内各取一点称为介点，作和式:以后简记为

11定义

设是定义在区间上的一个函数，在闭区间此和式称为在上属于分割T的积分和（或黎曼和，设是一个确定的数，若对任意总存在某个

，使得上的任何分割T，只要它的细度，属于分割T的所有积分和

都有则称在上可积,称J为函数在上的定积分(或黎曼积分)，记作12此和式称为在上属于分割T的积分利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为:变力作功问题可表示为例

用定义求积分

解

分法与介点集选法如例1,

有

13利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为:变力上式最后的极限求不出来,

但却表明该极限值就是积分

三．理解定积分定义要注意以下三点：1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割有无穷多种，即使分割确定，介点仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关14上式最后的极限求不出来,

但却表明该极限值就是积

。3)

表示分割越来越细的过程，

分点个数，但反过来，并不能保证，所以：不能写成：4)、定积分的几何意义(作图并解释）abxyo15

。分点个数，但反过来，并不能保证四．小结：

学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边梯形，以“直”代“曲”；然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，即，这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取极限”是定积分的核心思想。16四．小结：16§2牛顿—莱布尼兹公式若用定积分定义求，一般来说是比较困难的。是否有较简便的方法求？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。17§2牛顿—莱布尼兹公式若用定积分定义求，一般来说是比较公式使用说明：18公式使用说明：18利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。19利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的§3可积条件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的的主要问题。一、可积的必要条件20§3可积条件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节

1.

思路与方案:

思路:

鉴于积分和与分法和介点有关,

先简化积分和.

用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件。

方案:

定义上和和下和

，研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.

2.

达布和:

21

1.

思路与方案:

方案:

定义上和和下和由达布和定义可知，达布和未必是积分和.但达布

和由分法唯一确定.则显然有：22由达布和定义可知，达布和未必是积分和.但达布和由分法23232424定理9.6说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。思考题：1、闭区间上仅有一个间断点的函数是否必可积？2、闭区间上有无穷多个间断点的函数是否必不可积？3、闭区间上的单调函数是否必可积？例2

25定理9.6说明，单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积22626§4定积分性质一、定积分的基本性质27§4定积分性质一、定积分的基本性质272828利用性质4可得一个重要的结论：即对积分值大小的基本估计方法29利用性质4可得一个重要的结论：即对积分值大小的基本估计方法2303031313232xyY=f(x)033xyY=f(x)0333434§5微积分学基本定理.定积分计算（续）本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次提到的问题—连续函数必存在原函数；第二部分的内容主要介绍定积分的换元积分法及积分分部积分法。一、变限积分与原函数存在定理1、变限积分35§5微积分学基本定理.定积分计算（续）本节363637373838393940404141例1求例2求为技巧积分题例3求为技巧积分题例4已知：，求42例1求例2求为技巧积分题例3求为技巧积分题例4已解：43解：43=，，解得：直接求得于是,

当为偶数时,

有：

44=，，解得：直接求得于是,

当为偶数时,

有：4当为奇数时,

有：注：有关利用定积分分部积分法推广推导出Taylor公式的积分型余项的内容放到Taylor级数内容一起讲授。45当为奇数时,

有：注：有关利用定积分分部积分法推广推第九章

定积分

§1

定积分的概念教学内容：

1)

定积分概念的引入2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立3)

定积分的数学定义重点：

定积分的数学定义难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立定积分概念的引入一、背景1、曲边梯形的面积2、变力所做的功46第九章

定积分1

1

曲边梯形的面积

中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。47

1

曲边梯形的面积2上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。48上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精假设抛物线方程为:

将等分成n等份，抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用宽为，高为的矩形代替，如下图：则它的第i个小曲边梯形的面积：

所求的总面积:

49假设抛物线方程为:

将等分成n等份，抛物线下面

我们分别取n=10,50,100用计算机把它的图象画出来，并计算出面积的近似值：50

我们分别取n=10,50,100用计算机把它的图象画出516527由此可知，分割越细，越接近面积准确值

再看一个变力做功的问题

设质点m受力

的作用，沿直线由A点运动到B点，求变力

的做的功。F虽然是变力，但在很短一段间隔内看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，，F的变化不大，可近似1）

对作分割：53由此可知，分割越细，越接近面积准确值

再看一当每个小区间的长度都很小时，小区间上的力：在

上，力F作的功2）求和力F在

上作的功

分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细度：时，54当每个小区间的长度都很小时，小区间上的力：3）取极限

对上面和式取极限，极限值就是力在

上作的功。

从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如：的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义（下页）553）取极限从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面

定义

设是定义在区间

上的一个函数，在闭区间

上任取n-1个分点

把[a,b]分成n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T表示,分割的细度用表示，在分割T所属的各个小区间内各取一点称为介点，作和式:以后简记为

56定义

设是定义在区间上的一个函数，在闭区间此和式称为在上属于分割T的积分和（或黎曼和，设是一个确定的数，若对任意总存在某个

，使得上的任何分割T，只要它的细度，属于分割T的所有积分和

都有则称在上可积,称J为函数在上的定积分(或黎曼积分)，记作57此和式称为在上属于分割T的积分利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为:变力作功问题可表示为例

用定义求积分

解

分法与介点集选法如例1,

有

58利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为:变力上式最后的极限求不出来,

但却表明该极限值就是积分

三．理解定积分定义要注意以下三点：1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割有无穷多种，即使分割确定，介点仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关59上式最后的极限求不出来,

但却表明该极限值就是积

。3)

表示分割越来越细的过程，

分点个数，但反过来，并不能保证，所以：不能写成：4)、定积分的几何意义(作图并解释）abxyo60

。分点个数，但反过来，并不能保证四．小结：

学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用“直”的长方形去近似代替小曲边梯形，以“直”代“曲”；然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值，即，这时又从“直”回到了“曲”。“分割、近似求和、取极限”是定积分的核心思想。61四．小结：16§2牛顿—莱布尼兹公式若用定积分定义求，一般来说是比较困难的。是否有较简便的方法求？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。62§2牛顿—莱布尼兹公式若用定积分定义求，一般来说是比较公式使用说明：63公式使用说明：18利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的数列通过适当的变形，能化成某一函数在某一区间上关于某一特定分割的积分和时，则可用定积分的定义来求数列的极限。64利用定积分的定义可求某些数列的极限：若待求极限的§3可积条件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节所要讨论的的主要问题。一、可积的必要条件65§3可积条件一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节

1.

思路与方案:

思路:

鉴于积分和与分法和介点有关,

先简化积分和.

用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限,且与分法及介点无关的条件。

方案:

定义上和和下和

，研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件.

2.

达布和:

66

1.

思路与方案:

方案:

定义上和和下和由达布和定义可知，达布和未必是积分和.但