利用导数求极值最值（精讲） 新高考 数学一轮复习专项 提升精讲精练 （含答案解析）

4.3利用导数求极值最值（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一无参函数的极值（点）【例1】（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学）函数在区间上的极小值点是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由题设，所以在上，递减，在上，递增，所以极小值点为.故选：B【一隅三反】1．（2022·天津·耀华中学）已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】，由题意有，解得，所以，令，解得或，所以函数的另一个极值点为．故选：A．2．（2022·天津·崇化中学）函数有（

）A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为【答案】A【解析】,由，得，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A3．（2022·重庆八中模拟预测）（多选）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（

）A．是的最小值点B．是的极大值点C．是的极大值点D．是的极大值点【答案】BD【解析】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.故选：BD.考点二已知极值（点）求参数【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，导函数.因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．，解得：，实数a的取值范围.故选：C．【例2-2】（2022·陕西）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，令，若，则，此时在单调递增，在单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.若，可知是的极大值点，故不符合题意.若，，此时在单调递增，在单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.当，，，此时在单调递增，在单调递减，可知是的极小值点，符合题意.若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.综上可知：故选：B【一隅三反】1．（2022·广东·惠来县第一中学）若函数在处有极值，则（

）A． B．C． D．a不存在【答案】B【解析】因为函数，故又函数在处有极值，故，解得.经检验满足题意故选：B.2．（2022·河南）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，令，因为函数有两个极值点，所以有两个不同的解，且在零点的两侧符号异号.，当时，，在上单调递增，故不可能有两个零点.当时，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减，所以，即，.当时，，故在上有一个零点；当时，，所以在上有一个零点，综上，，故选：D.3．（2022·江西鹰潭）已知函数的极大值点，极小值点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】又因为当时取得极大值，当时取得极小值，可得、是方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可得即：作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可求出边界交点坐标分别为、、，表示平面区域内的点与点连线的斜率，由图可知，根据倾斜角的变化，可得故选:B4．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数在上有且仅有6个极值点，则正整数的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】设，则当时，由在上有且仅有6个极值点，则在上有且仅有6个极值点.如图由正弦函数的图像性质可得解得，所以正整数的值为3故选：B考点三无参函数的最值【例3】（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D【一隅三反】1．（2022·海南华侨中学）已知函数，下列说法正确的是（

）A．函数在上递增 B．函数无极小值C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为3【答案】C【解析】因为定义域为，所以，所以当或时，当时，所以在上单调递减，在和上单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值，即，，又，，故函数在上最大值为；故选：C2．（2022·四川省成都市新都一中）函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】对求导，可得：故在区间上单调递减，在区间单调递增可得：，，可得：故在区间上的最大值为故答案为：3．（2022·四川·威远中学校）对任意，存在，使得，则的最小值为_____.【答案】【解析】由得：，令，则，；，令，则，令，则，在上单调递增，又，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，即的最小值为.故答案为：.考点四已知最值求参数【例4-1】（2022·全国·高考真题（理））当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.【例4-2】（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以将函数的图象向左平移个单位，可得，令，解得即函数的单调递增区间为，令，可得函数的单调递增区间为，又由函数在区间上无极值点，则的最大值为.故选：A.【一隅三反】1．（2022·江西省丰城中学模拟预测（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，若函数在上有最小值，即在先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点是，，则切线方程是：，将代入切线方程得：，故切点是，切线的斜率是1，只需即可，解得，即，故选：D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，即，构造函数，所以，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，令，则，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．当时，，从四个选项均为负，考虑，此时有，两边取对数得：，所以令，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，无最大值，此时无解，综上：故a的最小值是．故选：C3．（2022·河南洛阳）若曲线与曲线：=有公切线，则实数的最大值为（

）A．+ B．- C．+ D．【答案】C【解析】设在曲线上的切点为，则切线斜率为，在曲线上的切点为，切线斜率为，所以切线方程分别为、，即、，有，整理得，设，则，令，令，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上，如图，由图可知，即k的最大值为.故选：C.4（2022·吉林·延边二中）若函数最小值为，最小值为，则+=（

）A．-2 B．0 C．2 D．-4【答案】A【解析】由题意知：、定义域均为；，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，，使得，此时，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；；令，则，令，解得：，令，解得：在上单调递减，在上单调递增，又，，，，，，使得，，即，，，；当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；的极小值，，；.故选：A.考点五最值极值综合运用【例5】（2022·浙江嘉兴）已知函数．（注：是自然对数的底数）(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)当时，，故，故在点处的切线方程为，化简得．(2)由题意知有且只有一个根且有正有负．构建，则①当时，当时恒成立，在上单调递增，因为，所以有一个零点，即为的一个极值点；②当时，当时恒成立，即无极值点；③当时，当；当，所以在单调递减，在上单调递增，故，若，则即.当时，，当时，,设，故，故在上为增函数，故，故，故当时，有两个零点，此时有两个极值点．当时，当时恒成立，即无极值点；综上所述：．(3)由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．当时，，故，所以的最小值为e；当时，当时，，所以无最小值，即无最小值；当时，由（2）得只有一个零点，即且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，因，所以代入得，令，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，此时，所以的最小值为．【一隅三反】1．（2022·河北·石家庄二中）已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)由题意得，则，当时，，在上是减函数，∴，设，在上是增函数，∴，∴当时，．(2)，且，令，得或a，①当时，则，单调递减，函数没有极值；②当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在取得极大值，在取得极小值，则；③当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在取得极大值，在取得极小值，由得：，综上，函数在区间上存在极大值时，a的取值范围为．2．（2022·四川省成都市新都一中）已知函数．(1)当时，若对任意，恒成立，求b的取值范围；(2)若，函数在区间上存在极大值，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意，在上恒成立，即，设，对称轴为，开口向上，所以当时，，则．(2)，且，令，得或a．①当时，则，单调递减，函数没有极值；②当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减．∴在取得极大值，在取得极小值，则；③当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减．∴在取得极大值，在取得极小值，由得：．综上，函数在上存在极大值时，a的取值范围为．3．（2022·全国·哈师大附中）已知函数，为的导函数．(1)证明：当时，函数在区内存在唯一的极值点，；(2)若在上单调递减，求整数a的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)当时，，，，，令，则，所以导函数在区间单调递减，又，，据零点存在定理可知，存在唯一零点，使得，所