2023届福建省福安市高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则A． B． C． D．2．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（）A． B． C． D．3．设a，b，c为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不修要条件4．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（）A． B．C． D．5．设复数满足，在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．6．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为A． B． C． D．7．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（）A． B．C． D．8．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（）A． B． C． D．9．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（）A． B． C． D．10．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A． B． C． D．11．关于函数，有下列三个结论:①是的一个周期；②在上单调递增；③的值域为.则上述结论中，正确的个数为（）A． B． C． D．12．已知三棱柱()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．14．在中，，，则_________.15．已知半径为4的球面上有两点A，B，AB=42，球心为O，若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°16．已知的展开式中含有的项的系数是，则展开式中各项系数和为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．18．（12分）等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）设，记为数列前项的和，若，求．19．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.20．（12分）设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx．（1）讨论函数f(x)在[−π，π]上的单调性；（2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点．21．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.（1）求的极值点与极值.（2）当，时，证明：.22．（10分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得.【详解】因为或，，所以，故选C.【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2．D【解析】

根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.【详解】函数（，）是上的奇函数，则，所以.又的图象关于直线对称可得，，即，，由函数的单调区间知，，即，综上，则，.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.3．B【解析】

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：，，为正数，当，，时，满足，但不成立，即充分性不成立，若，则，即，即，即，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．4．A【解析】

如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.【详解】如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.5．B【解析】

设，根据复数的几何意义得到、的关系式，即可得解；【详解】解：设∵，∴，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.6．B【解析】

推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，∴6和28恰好在同一组的概率．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．B【解析】

由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，当时，；当时，；当时，.时，，时，，当或时，；当时，.故选：【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.8．D【解析】

三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.故选：D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.9．B【解析】

根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，设，则当时，，，即，要使在区间上单调递减，则得，得，即实数的最大值为，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.10．A【解析】

由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.11．B【解析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出．【详解】①因为，所以是的一个周期，①正确；②因为，，所以在上不单调递增，②错误；③因为，所以是偶函数，又是的一个周期，所以可以只考虑时，的值域．当时，，在上单调递增，所以，的值域为，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选B．【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用．12．C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围.【详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，即+m=0有两个不同的解，解之得即或因为的导函数，令，解得x>e，，解得0<x<e，可得f（x）在（0，e）递增，在递减；f(x)的最大值为，且且f(1)=0；要使函数有3个不同的零点，（1）有两个不同的解，此时有一个解；（2）有两个不同的解，此时有一个解当有两个不同的解，此时有一个解，此时，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得，此时=-m，此时有两个不同的解，此时有一个解此时，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得，此时=，综上：的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.14．【解析】

先由题意得：，再利用向量数量积的几何意义得，可得结果.【详解】由知：，则在方向的投影为，由向量数量积的几何意义得：，∴故答案为【点睛】本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.15．4【解析】

设△ABC所在截面圆的圆心为O1，AB中点为D，连接OD,易知∠ODO1即为二面角C-AB-O的平面角，可求出OD, O1D及OO1，然后可判断出四面体OABC外接球的球心E在直线OO1上，在【详解】设△ABC所在截面圆的圆心为O1，AB中点为D，连接OD,OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，∠ODO1即为二面角∠ODO因为OA=OB=4, AB=42，所以△OAB在Rt△ODO1中，由cos60º＝O1D因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体OABC外接球的球心E在直线OO设四面体OABC外接球半径为R，在Rt△O1由勾股定理可得：O1B2+O【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题．16．1【解析】

由二项式定理及展开式通项公式得：，解得，令得：展开式中各项系数和，得解．【详解】解：由的展开式的通项，令，得含有的项的系数是，解得，令得：展开式中各项系数和为，故答案为：1．【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【解析】

（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.【详解】（1）当时，由得由得解：，得∴当时，关于的不等式的解集为（2）①当时，，所以在上是减函数，在是增函数，所以，由题设得，解得.②当时，同理求得.综上所述，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.18．（1）（2）【解析】

（1）由基本量法求出公差后可得通项公式；（2）由等差数列前项和公式求得，可求得．【详解】解：（1）设的公差为，由题设得因为，所以解得，故．（2）由（1）得．所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，由得，解得．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式，解题方法是基本量法．19．（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）设点，，，由，，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.【详解】（1）依题意得，解得即椭圆：；（2）设点，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，满足由的任意性知，，，即直线恒过一个定点.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.20．见解析【解析】

（1）f(x)=2x−4xcosx−4sinx+4sinx=，由f(x)=1，x∈[−π，π]得x=1或或．当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x1f(x)−1+1−1+f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．（2）由（1）得极大值为f(1)=−4；极小值为f()=f()<f(1)<1．又f(π)=f(−π)=π2+4>1，所以f(x)在，上各有一个零点．显然x∈(π，2π)时，−4xsinx>1，x2−4cosx>1，所以f(x)>1；x∈[2π，+∞)时，f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>1，所以f(x)在(π，+∞)上没有零点．因为f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)=x2−4xsinx−4cosx=f(x)，所以f(x