四年级上册数学试题奥数第16讲数论初步全国通用含答案

第16讲数论初步研究整数性质的数学分支叫数论。人们很早就开始了对数论的研究。有人说：“要发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把此刻任何一本数论教材的习题做出，就应当碰到激励，并可在将来从事数学方面的工作。”因此在国内外各样数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性，带余除法，奇数与偶数，质数与合数，约数与倍数，整数的分解与分拆，完好平方数等。本讲介绍几个稍难一些的数论问题。例1能否找到4个整数a，b，c，d，使得它们两两乘积与2002的和都是完好平方数？解析：完好平方数被4除余0或1，也就是说，若一个数被4除余2或3，则它必然不是完好平方数。再结合2002被4除余2，于是我们只要从这四个整除被4除的余数下手考虑即可。解：若a，b，c，d中存在一个4的倍数，则它与其他另一个数的乘积被4除余0，这样这个乘积与2002的和被4除余2，自然不是完好平方数。若a，b，c，d中没有4的倍数，它们被4除只能余1，2，3；依照抽屉原理知，a，b，c，d中必有两个被4除同余。而相同的余数为（1，1），（2，2）或（3，3）；简单考据：1×1+2≡3（mod4），2×2+2≡2（mod4），3×3+2≡3（mod4），因此无论哪一种情况，这两个数的乘积与2002的和被4除余2或3。它必然不是完好平方数，即不存在4个整数a，b，c，d使它们两两乘积与2002的和都是完好平方数。，0g≠d≠0，af，g是1位整数，≠0，ea例2，其中，b，c，d，，g的值。e，f，a，求，b，c，d，a+b+c=10，d+e+f=8应此题若从数字谜或末位数字的角度考虑很难下手，注意到数字和是一个定值，解析：采用“弃九法”作为问题解决的打破口。）。mod9（1≡1（mod9），因此≡9解：考虑被除的余数，由于a+b+c=10（mod9），可见又因为d+e+f=8≡8）≡8（mod9≡因此g+1+0+3+1=g+58（mod9）于是g=3，即，，c=7这表示a=2，b=1，，e=4f=3。d=1利用“弃九法”解决的问题还有：说明：a=kba1能否用数字至7组成两个没有重复数字的七位数和b，使得（k＞）？1请同学们自行解答。）个数中，这，3213例在，，，19951995找出所有满足下面条件的数（a来：1995+a。a×1995能整除．可取哪aa，因此难以定出解析：是一个整数，这个式子的分子，分母都有。些值，应当先进行变形，使得分子不含有a解：==1995－是整数，因此是整数。依照已知，1995+a由于1995×1995=3，因此意

2222注能够经过检验的方法定出。，×5×7×19因此它的因数1≤a≤199539901995＜1995+a≤整除，那么它的值只能是以下两种：若是1995+a不被1922=36753×5×7223×5×7=22052若是1995+a被19整除，而不被19整除，它的值只能是以下两种：23×7×19=279325×7×19=3325219整除，它的值只能是以下两种：若是1995+a被219=25277×22=32493×19个值是：，得出的61995于是满足条件的a有6个，即从以上1995+a的6个值分别减去，1254。1680，210，798，1330，532。使得只说明：此题采用的是整数分别法。即形如的分式，能够化成的值。为整数时），有助于定出a有分母含a，而分子不含a。这种方法（在个数字是多少？1003××的积中，从右边数第254例在1×2×个数字0，而第25个连续的×解析：我们不难求出12×3××100从右边数恰有24只有经过解剖其中的质是第一个非零数字。为确定此数字，经过找规律的方法是行不通的，因数才能获取正确的结果。94，×1×23××100中，尾端连续有24个0而把每一个数分解质因数，共有在解：至17，，9，在17022个，而其中有24个与5相乘，余下个2。而质数的末位只能是，31623（个），41（个），61与个，共各中，末位是的质数有（个），个），共1（73个），2（43个），4（23个），7（13个），45（3的质数有3个，末位是有59个，末位是7的质数有7（15个），17（5个），37（2个），47（1个），67（1个），97（1个），共有25个，末位是9的质数有19（5个），29（3个），59与79和89各1个，共有7059251112311个。那么我们只要看2×3×7×9的末位是几就可以了。而2=2，2=4，2=8，4570592=16，2=32，发现末位出现循环了，而且是每4个一循环。因此，2的末位是4，3的末251170592511位是7，7的末位是7，9的末位是9。因此，2×3×7×9的末位是4。那么，在1×2×3××100的积中，从右边数第25个数字是4。，试求：的值。是一个完好平方数，且x与y相差1都是四位数，例5若是x，yx=m；（x＋1）＋解：设=m，则①10000x＋x＋1=m或②10000）1）（m－1对于①有：10001x=（m＋）（）m－173即137××x=（m＋12＜10000000m＜99999999∵＜m＜9999∴3162整除的数，经试验，得唯一解：当2吻合能被73∈137k中（kZ），找137k±这样在7810=60996100100）m＋100）（m－对于②有：10001x=（）（）m－100100137

时，m=7810。k=572即即×73×x=（m＋2m=9079，即：9079=82428241仿上可得唯一解：k=67，82428241。综上：此题的值是60996100或能够改成两位数，三位数；方法近似，读者不如一试。说明：此题的四位数x，y已知p，q为正整数，且6例3001整除。q，求证：能被为质数，另一方面同等式右边的巧妙变形是解题的要点。解析：一方面注意到3001解：将等式右边变形====3001．由于3001是质数，与括号中所有项分母各因数皆互质，故在通分过程中保留不动，于整除。q能被3001是最后化成时，在竞赛数学中应用相当又称对偶原理，说明：此题的最后一步变形利用的是配对原理，广泛。阅读资料杨辉五圆圈杨辉是我国历史上出名的数学家、教育家，他为后辈留下了丰富的数学著作。恰好杨辉讲故事其实不儿子缠着杨辉让他讲故事，一年的中秋，杨辉和儿子在家中乘凉，擅长，于是，以圆月为题，给儿子出了一道特别幽默的数学题：有五个大圆，每个大圆上的四个小圆圈中11中，图24中选出21个数填入图请从1～的数字与该圆心圆圈里的数字共五个数相加，使这些相加的和都相等。你有兴趣试一试吗？练习题23N的每相邻的两个数码形成的两位数都是17或1．正整数N是一个1999位数，而且，求N的末十位数码。的倍数，N的所有数码之和为9599，，69，85，23，46，解：注意到17或23的倍数中，所有的两位数为1734，51，6892不出现重复的链只有两条；①→92→236923→34→46→→17（此时不能够再连续下去）。②→34→46→68→8551→23位出现次，至多在后边9位吻合条件的数，链①最少出现因此，要形成一个1999398，若是倒数第398=47位数之和为9599－（2+3+4+6+9）×9链②，进而该1999位数的后边，矛盾，进而可知只能倒推，，则后九位数只能是234692346，而它们之和为39十位数为9。N4进而，经解析可知，该数的后位为4685，依此倒推，可得的末位数字为3469234685的倍数。5不会是时，写成一个最简分数将和试说明，．2．，2的分母分解为质因数的积，仅有的分母中5的指数是解析：将1，的指数是零）。通分时，公51（若是没有5作为因数，约定其他的分母中5的指数至多是的关系即可。的指数为2。注意这时分子与5分母中5，3，，，40的最小公倍数。由于2，解：设。应当是2，3不整除）。40中仅有25被整除，因此被整除，而且（即整除，因此通分后，它们的分子都应在通分时，除外，其他分数的分母均不被整除。进而不被5分子不乘以而通分后，5或5的倍数，5乘以或，进而被5整除。整除）不是5的倍数。于是通分后，分子的和（其中仅有一项不被5的指数均5仅在一个分母中出现，其他分母中此题的要点在于分母分解质因数后，2.小于．任意十个连续的自然数，求证：其中最少有一个与其他九个数都互质。3证明：在连续十个自然数中，下面的结论成立：（1）必有五个数是偶数；3的倍数，其中至多有二个数是奇数；（2）最多有四个数是的倍数，其中至多有一个数是奇数；）最多有两个数是（35的倍数，其中至多有一个数是奇数。（4）最多有两个数是75+2+1+1=9因此，在这十个连续的自然数中，是2、3、5某一个的倍数的数至多有、7、7中任一个的倍数。我们设这个数为。、个。因此，最少有1个数不是23、、5下面证明与其他九个数都互质。a的差，又已知b整除a与pb设是其他九个数中的任一个，若a、有质因数p，则中任一3pb与的差不高出9，因此必等于2、、5、7、、不是中的一个。这与“23、57(a,b)=1个的倍数”相矛盾，因此只能有。即a与其他九个数都互质。综上所证，任意十个连续自然数中，最少有一个与其他九个数都互质。10，．某酒店的一座楼每层都有410套房间，房间自第一层开始依次编号为12，，，这样等等）。现知德莱和，，11，1220号，并逐层依次续编下去，（第二层的序号为，试求德麦里都住在该楼内，德莱的层号恰巧等于麦里的房号，而他们的房号之和等于239莱的房号？，并10≤≤1，则他的房号必为设德莱的房号为解答：的形式，其中，因此且麦里的房号就是即．，这样一来，10≤，因此必有进而必为11的倍数，由于1≤就有。因此德莱的房号是C5余5；A除以A．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不高出400，且除以B商57，这四个自然数相加的和是多少？商7余A商6余6；除以D400，且依题意可知A+B+C+D≤解答：A=5B+5A=6C+6A=7D+7（=7D+1）即A=5（B+1）=6（C+1）7=210，进而×是5、6、7的最小公倍数，因此A=5×6由此可知A）÷5=41B=（210－56=346C=（210－）÷7=29D=（210－7）÷因此，这四个自然数的和是210+41+34+29=314厘米的正方形，用6．高为50厘米，底面周长为50厘米的圆柱的侧面上划分边长为1”字形拼成圆柱侧面？厘米的小正方形组成“T”字形，问：能否用625个“T四个边长为1并对你的结论加以说明。解析：此题属于奇偶解析题目，采用黑白相间二染色的方法解决。解：不能够。的正方形，将其黑白相间染色，则黑格与白格各有偶数个。50×50由于圆柱侧面是的正方形，×5050T又由于每个“”字型含有3个或1个黑格，若能用T字型纸片拼成”字型含有奇数个黑格，矛盾，因此T）÷×504=625个“T”字型，而625个“则需要（50不能能拼成。后所得的新的三位数的各位数字的和等于所求三位数各位数字7．求三位数，使它加3的和的，那么，这样所得的三位数的总和是多少？；3后，所得新三位数的各位数字的和更大了）7解：所求三位数的个位数≥（否则，加后，经进位，所得新三位数39又所求三位数的百位数字及十位数字都