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文档简介

一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法§1.4最大公因式三、互素四、多个多项式的最大公因式提供网站：i)

1．公因式:若满足:且2．最大公因式:若满足：ii)若，且，则则称为的最大公因式．

则称为的公因式．一、公因式最大公因式说明：

是．④

，与零多项式0的最大公因式①的首项系数为1的最大公因式记作:②若，则的最大公式为零。若不全为零，则③二、最大公因式的存在性与求法若等式成立，则与有相同的公因式,从而．

引理：提供网站：定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使．

若有一为0，如，则就是一个最大公因式．且

考虑一般情形：

用除得：

其中或.

若，用除，得：

证：若，用除，得

如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为0．设其中或．

即

于是我们有一串等式

从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到说明:定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法．如:

，则

取，有

取，也有

取,也有

成立．事实上,若则对，例1求，并求使

解:

且由

得

例2.设

求，并求使

因式，即就可以)，这是因为和具有完全相同的若仅求，为了避免辗转相除时出现注1:分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始为非零常数．但是，在不同数域内公因子可能有变化。注2:最大公因式的存在性不因数域扩大而改变，例如定理3

互素

，使

2．互素的判定与性质证：显然．设为的任一公因式，则从而又故定理4若，且，则证：使于是有又证明：若

，则练习:若满足:

定义i)

则称为的最大公因式．

ii)若则四、多个多项式的最大公因式作业P45

5.1）6.1)9.

13.

14.＋)

附1:综合除法的商式

和余式可按下列计算格式求得：这里，若

则

除去除①求一次多项式的商式及余式．②

把表成的方幂和，即表成的形式．说明：综合除法一般用于提供网站：１4１解:∵

1０００００例２.把表成的方幂和．１１１１１１１１１１１１=１232345=１１１136１3614１41110=5=10=附2:最小公倍式设，若i)i

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