季节性时间序列模型

第八章季节性时间序列模型第一节季节指数第二节综合分析第三节X11过程第四节随机季节差分【例】以北京市1995年——2000年月平均气温序列为例，介绍季节性时间序列模型的基本思想和具体操作步骤。

时序图一、季节指数季节指数的概念所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各时期季节性影响的相对数

季节模型返回本节首页下一页上一页季节指数的计算计算周期内各期平均数计算总平均数计算季节指数季节指数的理解季节指数反映了该季度与总平均值之间的一种比较稳定的关系如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常会高于总平均值如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常低于总平均值如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明该序列没有明显的季节效应

例1季节指数的计算季节指数图二、综合分析常用综合分析模型加法模型乘法模型混合模型返回本节首页下一页上一页例2

对1993年——2000年中国社会消费品零售总额序列进行确定性时序分析

月份199319941995199619971998199920001977.51192.21602.21909.12288.52549.52662.12774.72892.51162.71491.51911.22213.52306.42538.428053942.31167.51533.31860.12130.92279.72403.126274941.31170.41548.71854.82100.52252.72356.825725962.21213.71585.41898.32108.22265.22364263761005.71281.11639.719662164.723262428.826457963.81251.51623.61888.72102.52286.12380.325978959.812861637.11916.42104.42314.62410.9263691023.31396.217562083.52239.62443.12604.32854101051.11444.118182148.3234825362743.930291111021553.81935.22290.12454.92652.22781.53108121415.51932.22389.52848.62881.73131.43405.73680(1)绘制制时序图(2)选择择拟合模型型长期递增趋趋势和以年年为固定周周期的季节节波动同时时作用于该该序列，因因而尝试使使用混合模模型（b）拟合该序列列的发展(3)计算算季节指数数月份季节指数月份季节指数10.98270.92920.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335季节指数图图季节调整后后的序列图图(4)拟合合长期趋势势(5)残差差检验(6)短期预测三、X-11过程简介X-11过程是美国国国情调查查局编制的的时间序列列季节调整整过程。它它的基本原原理就是时时间序列的的确定性因因素分解方方法因素分解长期趋势起起伏季节波动不规则波动动交易日影响响模型加法模型乘法模型返回本节首首页下一页上一页方法特色普遍采用移移动平均的的方法用多次短期期中心移动动平均消除除随机波动动用周期移动动平均消除除趋势用交易周期期移动平均均消除交易易日影响例2续对1993年———2000年中中国国社社会会消消费费品品零零售售总总额额序序列列使使用用X-11过程程进进行行季季节节调调整整选择择模模型型（（无无交交易易日日影影响响））X11过程程获获得得的的季季节节指指数数图图季节节调调整整后后的的序序列列图图趋势势拟拟合合图图随机机波波动动序序列列图图§第四四节节季季节节时时间间序序列列模模型型4.1季节节时时间间序序列列的的重重要要特特征征一、、季季节节时时间间序序列列表表示示许多多商商业业和和经经济济时时间间序序列列都都包包含含季季节节现现象象，，例例如如，，冰冰淇淇淋淋的的销销量量的的季季度度序序列列在在夏夏季季最最高高，，序序列列在在每每年年都都会会重重复复这这一一现现象象。。相相应应的的周周期期为为4。类类似似地地，，在在美美国国汽汽车车的的月月度度销销售售量量和和销销售售额额数数据据在在每每年年的的7月和和8月也也趋趋于于下下降降，，因因为为每每年年这这时时汽汽车车厂厂家家将将会会推推出出新新的的产产品品；；在在西西方方，，玩玩具具的的销销售售量量在在每每年年12月份份会会增增加加，，主主要要是是因因为为圣圣诞诞节节的的缘缘故故；；在在中中国国，，每每年年农农历历5月份份糯糯米米的的销销售售量量大大大大地地增增加加，，这这是是因因为为中中国国的的端端午午节节有有吃吃粽粽子子的的习习惯惯。。以以上上三三种种情情况况的的季季节节周周期期都都是是12个月月。。由由上上面面的的例例子子可可以以看看到到，，很很多多的的实实际际问问题题中中，，时时间间序序列列会会显显示示出出周周期期变变化化的的规规律律，，这这种种周周期期性性是是由由于于季季节节变变化化或或其其他他物物理理因因素素所所致致，，我我们们称称这这类类序序列列为为季季节节性性序序列列。。单单变变量量的的时时间间序序列列为为了了分分析析方方便便，，可可以以编编制制成成一一个个二二维维的的表表格格，，其其中中一一维维表表示示周周期期，，另另一一维维表表示示某某个个周周期期的的一一个个观观测测值值，，如如表表8.1所示示。。表4.1单变变量量时时间间序序列列观观测测数数据据表表例如如，，1993~2000年各各月月中中国国社社会会消消费费品品零零售售总总额额序序列列，，是是一一个个月月度度资资料料，，其其周周期期S=12，起起点点为为1993年1月，，具具体体数数据据见见附附录录。。二、、季季节节时时间间序序列列的的重重要要特特征征季节节性性时时间间序序列列的的重重要要特特征征表表现现为为周周期期性性。。在在一一个个序序列列中中，，如如果果经经过过S个时时间间间间隔隔后后观观测测点点呈呈现现出出相相似似性性，，比比如如同同处处于于波波峰峰或或波波谷谷，，我我们们就就说说该该序序列列具具有有以以S为周周期期的的周周期期特特性性。。具具有有周周期期特特性性的的序序列列称称为为季季节节时时间间序序列列，，S为周周期期的的长长度度，，不不同同的的季季节节时时间间序序列列会会表表现现出出不不同同的的周周期期，，季季度度资资料料的的一一个个周周期期表表现现为为一一年年的的四四个个季季度度，，月月度度资资料料的的周周期期表表现现为为一一年年的的12各月月，，周周资资料料表表现现为为一一周周的的7天或或5天。。例如如，，图图4.16的数数据据是是1993年1月到到2000年12月的的中中国国社社会会消消费费品品月月销销售售总总额额。。图4.161993年1月—2000年12月的的中中国国社社会会消消费费品品月月销销售售总总额额当然然影影响响一一个个季季节节性性时时间间序序列列的的因因素素除除了了季季节节因因素素外外，，还还存存在在趋趋势势变变动动和和不不规规则则变变动动等等。。我我们们研研究究季季节节性性时时间间序序列列的的目目的的就就是是分分解解影影响响经经济济指指标标变变量量的的季季节节因因素素、、趋趋势势因因素素和和不不规规则则因因素素，，据据以以了了解解它它们们对对经经济济的的影影响响。。4.2季节节时时间间序序列列模模型型一、、随随机机季季节节模模型型季节节性性随随机机时时间间序序列列时时间间间间隔隔为为周周期期长长度度S的两两个个时时间间点点上上的的随随机机变变量量有有相相对对较较强强的的相相关关性性，，或或者者说说季季节节性性时时间间序序列列表表现现出出周周期期相相关关，，比比如如对对于于月月度度数数据据，，S=12，与与有有相相关关关关系系，，于于是是我我们们可可以以利利用用这这种种周周期期相相关关性性在在与与之之间间进进行行拟拟合合。。设一一个个季季节节性性时时间间序序列列{}通过过D阶的的季季节节差差分分后后为为一一平平稳稳时时间间序序列列，，即即，，则则一一阶阶自自回回归归季季节节模模型型为为或(8.5)其中中，，为为白白噪噪声声序序列列。。将将代代入入式式（（8.5），，得得(8.6)同样样的的思思路路，，一一个个一一阶阶移移动动平平均均季季节节模模型型为为或(8.7)推广广之之，，季季节节性性的的SARIMA为(8.8)其中中，，二、、乘乘积积季季节节模模型型式(8.8)的季季节节性性SARIMA模型型中中，，我我们们假假定定是是白白噪噪声声序序列列，，值值得得注注意意的的是是实实际际中中不不一一定定是是白白噪噪声声序序列列。。因因为为式式(8.8)的模模型型中中季季节节差差分分仅仅仅仅消消除除了了时时间间序序列列的的季季节节成成分分，，自自回回归归或或移移动动平平均均仅仅仅仅消消除除了了不不同同周周期期相相同同周周期期点点之之间间具具有有的的相相关关部部分分，，时时间间序序列列还还可可能能存存在在长长期期趋趋势势，，相相同同周周期期的的不不同同周周期期点点之之间间也也有有一一定定的的相相关关性性，，所所以以，，模模型型可可能能有有一一定定的的拟拟合合不不足足，，如如果果假假设设是是ARIMA（p,d,q）模型，则式式(8.8)可以改为(8.9)其中，称式(8.9)为乘积季节模模型，记为。。如果将模模型的AR因子和MA因子分别展开开，可以得到到类似的模型，不同的的是模型的系系数在某些阶阶为零，故是是疏系数数模型或子集集模型。三、常见的随随机季节模型型为了读者学习习起来方便，，这里列举几几个常见的随随机季节模型型，并简介其其生成的过程程。在实际问题中中，季节性时时间序列所含含有的成分不不同，记忆性性长度各异，，因而模型形形式也是多种种多样的。这这里以季节周周期S=12为例，介绍几几种常见的季季节模型。模型一(8.10)模型(8.10)先对时间序列列做做双重差分分，移动平均均算子由和和两两个因子子构成，该模模型是交叉乘乘积模型。。实实际上该模型型是由两个模模型组合而成成。由于序列列存在季节趋趋势，故先对对序列进行季季节差分，，差分后后的序列是一一阶季节移动动平均模型，，则(8.11)但式(8.11)仅仅拟合了间间隔时间为周周期长度点之之间的相关关关系，序列还还存在非季节节趋势，相邻邻时间点上的的变量还存在在相关关系，，所以模型显显然拟合不足足，不不仅是非白白噪声序列而而且非平稳，，如满足以以下的模型(8.12)式(8.12)拟合了序列滞滞后期为一期期的时间点之之间的相关，，为为白噪声序序列，将式(8.12)代入式(8.11)，则得到模型型一。模型二(8.13)模型(8.13)也是由两个模模型组合而成成，一个是(8.14)它刻画了不同同年份同月的的资料之间的的相关关系，，但是又有欠欠拟合存在，，因为不不是是白噪声序列列。如果满满足以以下MA（1）的模型，则则(8.15)将式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二二。4.3季节性检验和和季节模型的的建立检验一个时间间序列是否具具有季节性是是十分必要的的，如果一个个时间序列季季节性显著，，那么拟合适适应的季节时时间序列模型型是合理的，，否则会有欠欠拟合之嫌。。如果不是一一个具有显著著季节性的时时间序列，即即使是一个月月度数据资料料，也不应该该拟合季节性性时间序列模模型。下面我我们讨论如何何识别一个时时间序列的季季节性。一、季节性时时间序列自相相关函数和偏偏自相关函数数的检验根据Box-Jenkins的建模方法，，自相关函数数和偏自相关关函数的特征征是识别非季季节性时间序序列的工具。。从第七章第第二节的讨论论已经看到季季节性时间序序列模型实际际上是一种特特殊的ARIMA模型，不同的的是它的系数数是稀疏的，，即部分系数数为零，所以以对于乘积季季节模型的阶阶数识别，基基本上可以采采用Box-Jenkins的方法，考察察序列样本自自相关函数和和偏自相关函函数，从而对对季节性进行行检验。1.季节性MA模型的自相关关函数假设某一季节节性时间序列列适应的模型型为(8.16)(8.17)是白噪声序列列。将式(8.17)代入(8.16)，可得整理后，有这实际上是一一个疏系数的的MA(S+1)模型，除滞后后期为1，S和S+1时的滑动平均均参数不为零零以外，其余余的均为零。。根据前面第第三章的讨论论，不难求出出其自相关函函数。可见当得到样样本的自相关关函数后，各各滑动平均参参数的矩法估估计式也就不不难得到了。。更一般的情形形，如果一个个时间序列服服从模型(8.18)其中，。。整理后后可以看出该该时间序列模模型是疏系数数MA(ms+q)，可以求出其其自相关函数数，从而了解解时间序列的的统计特征。。2.季节性AR模型的偏自相相关函数假定是是一一个季节时间间序列，服从从如果我们将上上式展开整理理后，可以得得到这是一个阶段段为S+1的疏系数AR模型，根据偏偏自相关函数数的定义，该该模型的滞后后期1，S和S+1不为零，其他他的偏自相关关函数可能会会显著为零。。更一般的情形形，如果一个个时间序列服服从模型(8.19)其中，，，整理后可以以看到该时间间序列模型是是疏系数AR(kS+p)模型，求出其其偏自相关函函数，可以了了解时间序列列的统计特征征。季节时间序列列的样本自相相关函数和偏偏自相关函数数既不拖尾也也不截尾，也也不呈现出线线性衰减趋势势，如果在滞滞后期为周期期S的整倍数时出出现峰值，则则建立乘积季季节模型是适适应的，同时时SAR算子和和SMA算子的的阶数也可以以通过自相关关函数和偏自自相关函数的的表现得到。。关于差分阶数数和季节差分分阶数的选择择是试探性的的，可以通过过考察样本的的自相关函数数来确定。一一般情况下，，如果自相关关函数缓慢下下降同时在滞滞后期为周期期S的整倍数时出出现峰值，通通常说明序列列同时有趋势势变动和季节节变动，应该该做一阶差分分和季节差分分。如果差分分后的序列所所呈现的自相相关函数有较较好的截尾和和拖尾性，则则差分阶数是是适宜的。例4.3绘制1993年1月至2000年12月中国社会消消费品零售总总额序列的自自相关和偏自自相关图（图图4.17）。图4.17图4.17显示中国社会会消费品零售售总额月度时时间序列的自自相关函数缓缓慢下降，且且在滞后期为为周期倍数时时出现峰值，，滞后期为12的自相关函数数为0.645，滞后期为24的自相关函数数为0.318，说明该时间间序列是一个个典型的既有有趋势又有季季节变动的序序列，由于该该序列不是一一个平稳的时时间序列，所所以我们不能能由其偏自相相关函数简单单建立一个自自回归模型，，该序列建模模必须将序列列进行差分变变化，使其平平稳化。EVIEWS软件介绍(Ⅴ)一、X-12季节调整方法法简介X-12-ARIMA方法最早由美美国普查局Findley等人在20世纪90年代左右提出出，现已成为为对重要时间间序列进行深深入处理和分分析的工具，，也是处理最最常用经济类类指标的工具具，在美国和和加拿大被广广泛使用。其其在欧洲统计计界也得到推推荐，并在包包括欧洲中央央银行在内的的欧洲内外的的许多中央银银行、统计部部门和其他经经济机构被广广泛应用。X-12-ARIMA方法提供了四四个方面的改改进和提高，，（1）可选择季节节、交易日及及假日进行调调整，包括调调整用户定义义的回归自变变量估计结果果，选择辅助助季节和趋势势过滤器，以以及选择季节节、趋势和不不规则因素的的分解形式；；（2）对各种选项项条件下调整整的质量和稳稳定性做出新新诊断；（3）对具有ARIMA误差及可选择择稳健估计系系数的线性回回归模型，进进行广泛的时时间序列建模模和模型选择择能力分析；；（4）提供一个新新的易于分批批处理大量时时间序列能力力的用户界面面。X-12-ARIMA方法现已广泛泛应用于世界界各国的中央央银行、统计计部门和其他他经济机构，，并且已成为为对重要时间间序列进行深深入处理和分分析的工具。。二、案例：1993-2000年中国社会消消费品零售总总额月度序列列（单位：亿亿元）通过1993-2000年中国社会消消费品零售总总额月度序列列的时序图（（图8.16），我们可以以观察到该序序列有着很强强的季节特征征。通过该序序列的自相关关函数图（图图8.17）及单位根检检验结果（图图8.19）的进一步判判断，认为该该序列非平稳稳，并且有着着很强的季节节特征。图8.19①首先显示的的是SeasonalAdjustment（季节调整））模块（图8.19），该模块共共有5个选项区。在X11Method（X11方法）选项区区选Multiplicative（乘法模型））。在SeasonalFilter（季节滤子））选项区选Auto（自动）。在TrendFilter（趋势滤子））选项区选Auto（自动）。在ComponentSeriestoSave（保存分量））选项区选季季节调整序列列（_SA）、季节因子子序列（_SF）、趋势循环环序列（_TC）、不规则序序列（_IR）四个分量（（通过在小方方格内勾选保保存在工作文文件里）。②激活ARIMAOptions模块（图8.22）。在DataTransformation（变换数据））选项区选None；在ARIMASpec（ARIMA设定）选项区区选NoARIMA；Regressors（回归变量））选项区不选选；ARIMAEstimationSample选项区保持空空白。这些选选项意味着不不使用regARIMA运算模块。图8.22图8.23③激活TradingDay/Holiday模块（图8.23），共有三个个选项区。在在AdjustmentOptions（调整方法））选项区选AdjustinX11step（在X11模块做季节调调整）；在TradingDayEffects（交易日效应应）选项区选选Flowday-of-week（交易日效应应）；Holiday（假日）选项项区保持空白白。这些选项项意味着，在在X11阶段进行季节节调整，但只只考虑交易日日效应，不考考虑假日效应应（因为假日日效应中的复复活节、感恩恩节、圣诞节节等因素不适适用于中国经经济）。④激活Diagnostics（诊断）模块块，和Outliers（离群值）模模块（图8.24），不做选择择，维持默认认状态。图8.24做完上述选择择后，点击“确认”键，得到季节节调整序列SALES_SA；季节因子序序列SALES_SF；趋势循环序序列SALES_TC和不规则序列列SALES_IR，分别见图8.25至图8.28。9、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。23:48:4423:48:4423:4812/23/202211:48:44PM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。12月-2223:48:4423:48Dec-2223-Dec-2212、故人江海海别，几度度隔山川。。。23:48:4423:48:4423:48Friday,December23,202213、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。12月月-2212月月-2223:48:4423:48:44December23,202214、他他乡乡生生白白发发，，旧旧国国见见青青山山。。。。23十十二二月月202211:48:44下下午午23:48:4412月月-2215、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。十二月2211:48下下午12月-2223:48December23,202216、行动出成果果，工作出财财富。。2022/12/2323:48:4423:48:4423December202217、做前前，能能够环环视四四周；；做时时，你你只能能或者者最好好沿着着以脚脚为起起点的的射线线向前前。。。11:48:44下下午午11:48下下午23:48:4412月月-229、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。23:48:4423:48:4423:4812/23/202211:48:44PM11、成功就是是日复一日日那一点点点小小努力力的积累。。。12月-2223:48:4423:48Dec-2223-Dec-2212、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。23:48:4423:48:4423:48Friday,December23,202213、不知香香积寺，，数里入入云峰。。。12月-2212月-2223:48:4423:48:44Decemb