2022届高考数学一轮复习专练34空间几何体的结构特征表面积和体积【含答案】

专练34空间几何体的结构特征、表面积和体积考查空间几何体的结构特征，空间几何体的表面积和体积.[基础强化]一、选择题1．[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)2．[2021·江苏省学情调研]用一平面截正方体，所得截面的面积最大时，截面的几何形状为()A．正六边形B．五边形C．长方形D．三角形3．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为A.1B．2C．3D．44．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3)D．2π5．[中考真题-全国卷Ⅰ]已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是()A．2πR2B.eq\f(9,4)πR2C.eq\f(8,3)πR2D.eq\f(3,2)πR27．[2021·河北省六校联考]已知A，B是球O的表面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．124πB．144πC．156πD．196π8.[2021·云贵川桂四省联考]如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为()A．(eq\r(15)＋4)πB．(2eq\r(15)＋4)πC．(3eq\r(15)＋4)πD．(4eq\r(15)＋4)π9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)二、填空题10．[中考真题-全国卷Ⅲ]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．11．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．12．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．[能力提升]13．[中考真题-全国卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)14．(多选)[2021·全国新高考Ⅰ卷]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→）＝λeq\o(BC,\s\up6(→）＋μeq\o(BB1,\s\up6(→），其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则()A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值C．当λ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P15．[2021·山东威海模拟]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为eq\f(2,3)的鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝2，CD＝1，则该鳖臑外接球的表面积为________．16．[2021·山东潍坊阶段性监测]在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是DCC1D1所在平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则eq\f(PD,PC)＝________，三棱锥P－BCD的体积最大值是________．

专练34空间几何体的结构特征、表面积和体积1．B设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×eq\r(2)，解得l＝2eq\r(2).故选B.2．C由题意用一平面截正方体，所得截面可以为正六边形、五边形、正方形、长方形、梯形、三角形．而当截面是以面对角线为长、正方体棱长为宽的长方形时，可知该截面的面积最大，故选C.3.A如图，易知V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN，由正方体的结构特征，知D1A1⊥平面A1MN，所以D1A1为三棱锥D1－A1MN的高．因为M，N分别为棱BB1，AB的中点，所以S△A1MN＝2×2－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(1,2)×1×2－eq\f(1,2)×1×2＝eq\f(3,2)，所以V三棱锥A1－D1MN＝V三棱锥D1－A1MN＝eq\f(1,3)×S△A1MN×D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝1.4．C过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示．由于V圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，V圆锥＝eq\f(1,3)π·CE2·DE＝eq\f(1,3)π×12×(2－1)＝eq\f(π,3)，所以该几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝2π－eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).5．A如图，由题知△ABC为等边三角形，圆O1的半径r＝2，即O1B＝2，∴BC＝2eq\r(3)＝OO1，在Rt△OO1B中，OB2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1B2＝16，∴球O的半径R＝OB＝4，则S球O＝4πR2＝64π.故选A.6．B设内接圆柱的底面半径为r(0<r<R)，母线长为h，则eq\f(r,R)＝eq\f(3R－h,3R)，即h＝3R－3r，则该圆柱的全面积为S＝2πr(r＋3R－3r)＝2π(－2r2＋3Rr)，因为S＝2π(－2r2＋3Rr)＝2πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(3R,4）)2＋\f(9R2,8）)，所以当r＝eq\f(3R,4)时，内接圆柱的全面积的最大值为eq\f(9,4)πR2.7．B如图所示，当点C位于垂直平面AOB的直径端点时，三棱锥O－ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π.8．D设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝eq\r(42－1)＝eq\r(15)，圆柱的侧面积为2πr·2h＝4eq\r(15)π，故制作这样一个粮仓的用料面积为(4eq\r(15)＋4)π.9．C如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,)1－AC2)＝eq\r(42－22＋22)＝2eq\r(2)，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).故选C.10.eq\f(\r(2),3)π解析：如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图．其中球心为O，设其半径为r，AC＝3，O1C＝1，∴AO1＝eq\r(AC2－O1C2)＝2eq\r(2).∵OO1＝OM＝r，∴AO＝AO1－OO1＝2eq\r(2)－r，又∵△AMO∽△AO1C，∴eq\f(OM,O1C)＝eq\f(AO,AC)，即eq\f(r,1)＝eq\f(2\r(2)－r,3)，故3r＝2eq\r(2)－r，∴r＝eq\f(\r(2),2).∴该圆锥内半径最大的球的体积V＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2）)3＝eq\f(\r(2)π,3).11．8π解析：由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高．设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得eq\f(1,2)l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故该圆锥的体积V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.12.eq\f(1,3)解析：四棱锥的底面BB1D1D为矩形，其面积为1×eq\r(2)＝eq\r(2)，又点A1到底面BB1D1D的距离，即四棱锥A1－BB1D1D的高为eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱锥A1－BB1D1D的体积为eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).13．C如图，设正四棱锥的底面边长BC＝a，侧面等腰三角形底边上的高PM＝h，则正四棱锥的高PO＝eq\r(h2－\f(a2,4），∴以|PO|为边长的正方形面积为h2－eq\f(a2,4)，一个侧面三角形面积为eq\f(1,2)ah，∴h2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ah，∴4h2－2ah－a2＝0，两边同除以a2可得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,a）)2－2·eq\f(h,a)－1＝0，解得eq\f(h,a)＝eq\f(1±\r(5),4)，又∵eq\f(h,a)>0，∴eq\f(h,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4).故选C.14．BD易知，点P在矩形BCC1B1内部(含边界)．对于A，当λ＝1时，eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\o(BC,\s\up6(→）＋μeq\o(BB1,\s\up6(→）＝eq\o(BC,\s\up6(→）＋μeq\o(CC1,\s\up6(→），即此时P∈线段CC1，△AB1P周长不是定值，故A错误；对于B，当μ＝1时，eq\o(BP,\s\up6(→）＝λeq\o(BC,\s\up6(→）＋eq\o(BB1,\s\up6(→）＝eq\o(BB1,\s\up6(→）＋λeq\o(B1C1,\s\up6(→），故此时P点轨迹为线段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确；对于C，当λ＝eq\f(1,2)时，eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→）＋μeq\o(BB1,\s\up6(→），取BC，B1C1中点分别为Q，H，则eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\o(BQ,\s\up6(→）＋μeq\o(QH,\s\up6(→），所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，1），Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，μ），Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0），则eq\o(A1P,\s\up6(→）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0，μ－1），eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，μ），eq\o(A1P,\s\up6(→）·eq\o(BP,\s\up6(→）＝μeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－1）＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均满足，故C错误；对于D，当μ＝eq\f(1,2)时，eq\o(BP,\s\up6(→）＝λeq\o(BC,\s\up6(→）＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→），取BB1，CC1中点为M，N.eq\o(BP,\s\up6(→）＝eq\o(BM,\s\up6(→）＋λeq\o(MN,\s\up6(→），所以P点轨迹为线段MN.设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，y0，\f(1,2）)，因为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0，0），所以eq\o(AP,\s\up6(→）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，y0，\f(1,2）)，eq\o(A1B,\s\up6(→）＝eq\b\