2021版高考数学一轮复习选修4-4坐标系与参数方程第1讲坐标系教案文新人教A版

第1讲坐标系I.了和型标第舲柞川・了事江平而出曲弋械系帅招空费作用下早面周掣的里化情出.工了鲜快里帕的妹布概念.会在旭坐标票中用板坐标蒯哨点的曲麴趋势本讲后费与4直师坐标系勺极坐标拿的互化.nti4FR*AJi.杳曲■点，苴卑度青中,一位置・第通行崔生席箱立甫坐爆的生生.3,能在於1fl系中给出苛单阳彬表示岬根堂域方程.桂心索界数学理慢;出觇想象 最新考纲考向预泅获救制•好实必制知识走迸教材、知识梳理.坐标系（1）伸缩变换x'=入•x（入>0）,设点Rx,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换6：y，_y（>0） 的作用下，点P（x,y）对应到点P'（入X,wy），称6为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.（2）极坐标系在平面内取一个定点Q叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM叫做点M的极径，记为p;以极轴Ox为始边，射线。就终边的角xOMPU做点M的极角，记为0,有序数对（p,0）叫做点M的极.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点， x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 （x,y）和（p,0）,则P2=x2+y2,x=pcos0,yy=psin0,tan0=x（xw0）.

.直线的极坐标方程若直线过点MP0,8。，且极轴到此直线的角为 a,则它的方程为：psin(e—a)=posin(9o—a).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(i)直线过极点：e=e°和e=兀+e0.(2)直线过点Ma,0)且垂直于极轴：pcos8=a.兀(3)直线过点Mb,—且平行于极轴：psin8=b..圆的极坐标方程若圆心为M(P。，8。)，半径为r,则该圆的方程为：2 2 2p—2p0pcos(8—8。)+p。一r=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：p=r.(2)当圆心位于M(a,0),半径为a：p=2acose.,一 兀 ，一，(3)当圆心位于Ma,5，半径为a：p=2asin4.常用结论.明辨两个坐标伸缩变换关系式(入>0),伸缩变换关系式(入>0),(w>0),点(x,y)在原曲线上，点(x',y')在变换后的曲线上，因此点(X,y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x',y')的坐标满足变换后的曲线方程..极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式 x=Pcose及y=Psin0直接代入并化简.(2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如 Pcose,Psine,P的形式，进行整体代换.、习题改编

1.（选彳1.（选彳^4-4P15T2改编）在极坐标系中，圆p=—2sin0的圆心的极坐标是（ ）兀 兀A.1,2 B.1,—~2C.（1,0） D.（1,兀）解析：选B.由P=—2sine,得p2=—2psin0,化为直角坐标方程为x2+y2=—2y,化成标准方程为x2+（y+1）2=1,圆心坐标为（0,—1）,其对应的极坐标为1,--2.故选B.兀2.（选彳4-4P15T2改编）圆心C的极坐标为2,彳，且圆C经过极点.求圆C的极坐标方程.解：圆心C的直角坐标为（QJ2）,则设圆C的直角坐标方程为（x—，2）2+（y—J2）2r2依题意可知r2=（0->/2）2+（0-^2）2=4,故圆C的直角坐标方程为（x—，2）2+（y—、/2）2=4,化为极坐标方程为 p2-2^/2p（sin0+cos8）=0,即p=2g（sin 0+cos0）.走出误区一、思考辨析判断正误（正确的打“，”，错误的打“x”）（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一TOC\o"1-5"\h\z一对应关系.（ ）（2）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的. （ ）（3）极坐标方程8=兀（p>0）表示的曲线是一■条直线.（ ）答案：（1）X（2）V（3）X二、易错纠偏常见误区（1）对极坐标几何意义不理解；（2）极坐标与直角坐标的互化致误.兀 「兀1.在极坐标系中，已知两点A3,了，BV2,万，则|AB=.兀 「兀解析：设极点为 O在△OAB中，A3,—,BV2,-2,由余弦定理，得AB=

32+(娟)2-2X3XJ— 兀7tLV2Xcosy--=s/5.程为答案：52.确定极坐标方程解：由极坐标方程p2(cos20-sin22pcos20—2pcos2Pcos29—2Pcos0)-2pcos8=1.x=pcos0由互化公式 y=psin9x32+(娟)2-2X3XJ— 兀7tLV2Xcosy--=s/5.程为答案：52.确定极坐标方程解：由极坐标方程p2(cos20-sin22pcos20—2pcos2Pcos29—2Pcos0)-2pcos8=1.x=pcos0由互化公式 y=psin9x2+y2=p2,得x2—y2—2x=1,即(x—1)2—y2=2.故此方程表示以（1,0）为中心，F1（—1,考点9=1表木的曲线.e=1,得0）,F2（3,0）为焦点的等轴双曲线.平面直角坐标系中的伸缩变换（师生共研）例叵（1）曲线C：x2+y2=1（2）曲线C经过伸缩变换x【解析】（1）因为y明者向-育击考例考法♦x经过伸缩变换y,y=2x,得到曲线C',则曲线C'的方程=2x=3y=2x所以后所得曲线的方程为x'2+y，2=1,则曲线C的方=y，x代入曲线C的方程得C':一（2）根据题意，曲线c经过伸缩变换xy=y'，2=1.x'=2x.后所得曲线的方程为y'=3yx'2+y'2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.「一x'2 2 2 2【答案】 (1)—+y =1(2)4x2+9y2=1

x'=入X(入>0),.平面上的曲线y=f(x)在变换6：, 的作用下的变换方程的求法y=(1y(w>。)x，是将入代入y=f(x),整理得y'=h(x')即为所求.yy=V.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P'(x',y')的坐标关系，用方程思想求解.1.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换1.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换x'=3x, 1,则点A.一2经过变换2y=y, 3后所得的点A'的坐标为.x'=3x,x=3x,解析：设A'(x',y'),由伸缩变换6：a，y得到y,_1y由于点A的坐标为王一2,于是x=3*不=1,y=jX(—2)=—1,3 3 2所以A'的坐标为(1,—1).答案：(1,-1)2.将圆x2.将圆x2+y2=1变换为椭圆2 29+匕1的一个伸缩变换公式为X=ax(a>0),6： 求Y=by(b>0),a,b的值.解：由X=ax,Y=byx=ax解：由X=ax,Y=byx=ax，1y=bY，代入x2+y2=1中得X2+YL1,所以a2=9,b=4,因为a>0,b>0,所以a=3,b=2.考点考点极坐标与直角坐标的互化 (师生共研)例国(1)已知直线l的极坐标方程为 2psin 0—~4=42,点A的极坐标为A227兀A227兀,求点A到直线l的距离.(2)把曲线G：x2+y2—8x—10y+16=0化为极坐标方程.【解】⑴由2psin9——=y2,得2P^2sin9—乎cos9=^2,所以y—x=1.由点A的极坐标为2姆，7m得点A的直角坐标为(2,-2)，所以d』*1|=52-2.即点A到直线l的距离为平(2)将X—°C0s 代入x2+y2—8x—10y+16=0,y=psin0得p—8Pcos9—10Psin9+16=0,所以Q的极坐标方程为 p—8Pcos9—10psin0+16=0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x=pcos9及y=psin9直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)P及方程两边平方是常用的变形技巧.1.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,1.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已兀兀pcos0--=a,且点A在直线上,知点A的极坐标为212,4,直线的极坐标方程为求a的值及直线的直角坐标方程.解：因为点A(隹亍)在直线pcos0--4=a±,所以a=42cos亍-~4=\[2,所以直线的方程可化为 pcos0+psin8=2,从而直线的直角坐标方程为 x+y—2=0.2.在极坐标系下，已知圆Qp=cos0+sin0和直线l:psin0 =-^2(p>0,(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当ec(0,兀)时，求直线l与圆o的公共点的极坐标.解：⑴圆Qp=cos0+sin8,即p2=pcos9+psin0,故圆O的直角坐标方程为x2+y2—x—y=0,一, 兀 \/2直线l:psin9——=2,即Psin8—pcos9=1,故直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"x+y—x—y=0, x=0将两方程联立得 解得x-y+1=0, y=1,即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为 (0,1),… 兀将(0,1)转化为极坐标为1,万即为所求.考占E1求曲线的极坐标方程(师生共研)例叵(2019•高考全国卷n)在极坐标系中， O为极点，点MP。，e0)(p0>0)在曲线C：p=4sine上，直线l过点A(4,0)且与O阿直，垂足为P.兀. (1)当。0=~3时，求p0&l的极坐标方程；(2)当点M在C上运动且点P在线段OML:时，求P点轨迹的极坐标方程.【解】(1)因为Mp380)在C上，当00=十时，p0=4sin"3=273.兀由已知得|OP=|OAcos-3=2.设QP,e)为l上除点P外的任意一点.连接OQ兀在RtAOPCfr,pcos0—3=|OP=2.兀 兀经检验，点P2,y在曲线pcose=2±.兀所以，l的极坐标方程为pcose--=2.(2)设Rp,0),在RHOAP43,|OP=|OAcos0=4cos0,即p=4cos0.因为P在线段OMk,且APIOM兀兀故e的取值范围是了，—.兀兀所以，p点轨迹的极坐标方程为 p=4cose,e€ ,—.律方法求曲线的极坐标方程的步骤(i)建立适当的极坐标系，设 p(p,e)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 p和极角e之间的关系(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程..在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点 O作圆C:P=8cose的弦on交圆C于点n求ON勺中点M的轨迹的极坐标方程.解：设Mp,8),Npi,81).因为N点在圆P=8cos0上，所以pi=8cose1.①P1=2p,因为M是ON的中点，所以01=0,代入①式得2p=8cos0,故点M的轨迹的极坐标方程是 p=4cos0..在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极兀坐标方程为pcos9--=1(0<0<27t),MN分别为曲线C与x轴，y轴的交点.3(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求MN的极坐标；(2)设MN勺中点为P,求直线OP的极坐标方程.八 兀解：(1)由Pcose--=1得3 “P2cos0+sin8=1.从而曲线c的直角坐标方程为%+咨=1,即x+弧-2=0.当e=0时，p=2,所以M2,0).当e=~2■时，P=乎，所以N2^，-f.

(2)由(1)知，M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为0,冶-.所以p点的直角坐标为1,当，则P点的极坐标为坐，4.3 6… 兀所以直线OP的极坐标方程为e=-6-(P€R).考点EI曲线极坐标方程的应用(师生共研)x=2+cosy=2+sinx轴的正半例⑷(2020•福州四校联考x=2+cosy=2+sinx轴的正半'(a为参数)，直线G的方程为y=，3x.以坐标原点a轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线G和直线G的极坐标方程;(2)若直线(2)若直线C2与曲线C交于A,B两点，求-1-4|0A【解】(1)由曲线x【解】(1)由曲线x=2+cosC的参数方程为y=2+sina,(a为参数)，得曲线aG的普通方程为(x—2)2+(y—2)2=1,则C1的极坐标方程为 p2—4pcos0-4psin8+7=0,由于直线C2过原点，且倾斜角为故其极坐标方程为0=《(p6R)(tan0=43).3 32p-4Pcose-4Psin8+7=0,(2)由兀 得p2—(2镜+2)p+7=0,设A,B对应e=T的极径分别为P1,P2,则P1+P2=2y3+2,p1p2=7,洞11 , 1_|OA+|OB「1+P2=2/3+2所以|OA|OB—|OA.IOB—p1p2— 7 .圆陶团国在已知极坐标方程求曲线交点、 距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.1.(2020•昆明市诊断测试)在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为

x=3cost,y=sint(t为参数).以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lx=3cost,y=sint. 兀坐标方程为9=~6(peR).(1)求曲线G的极坐标方程；(2)若曲线。的极坐标方程为 P+8cose=0,直线l与曲线C在第一象限的交点为与曲线。的交点为B(异于原点)，求|AB.解：(1)消去参数t得曲线G的普通方程为x2+9y2=9,故曲线C的极坐标方程为+8p2sin20-9=0.兀 兀(2)因为AB两点在直线l上，所以可设AP1,y,BP2,—.o O 。兀 L把点A的极坐标代入G的极坐标方程得，p1+8P1Sin——9=0,解得p1=±，3已知A点在第一象限，所以p1=43.因为B异于原点，所以把点B的极坐标代入G的极坐标方程得，p2+8cos—=0,解得p2=—4(3.所以|ab=|p1—p2|=।,\y3+4a/3|=5a/3.2.(2020•安徽五校联盟第二次质检 )在直角坐标系xOy中，直线l1：x=0,圆C-1)2+(y-1-V2)2=1,以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l1和圆C的极坐标方程； TT ... … (2)若直线12的极坐标方程为 e=—(peR),设l1,l2与圆C的公共点分别为A,求^OAB勺面积.解：(1)因为x=pcos0,y=psin0,x2+y2=p2,所以直线l1的极坐标方程为 pe=0,即e=-2-(p€R),圆C的极坐标方程为 p2—2pcose—2(1+42)Psin0+3+242=0.(2)将e=-2-代入P2—2Pcose-2(1+啦)Psin0+3+2>/2=0,得p2—2(1+啦)p+3+2*=0,解得p尸1+啦.将0=5代入P2-2pcos2(1+/)psin0+3+2啦=0,得p2-2(1+亚)p+3+25=0,(xB,cos解得p2=1+"^2.(xB,cos7t4=1+4故4OAB7t4=1+4故4OAB勺面积为；x(1+出)2xsin［基础题组练］1X=2X， 22.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线C：x+y=36变为,1y=3y何种曲线，并求曲线的焦点坐标.解：设圆x2+y2=36上任一点为Rx,y),伸缩变换后对应的点的坐标为 P'(x',y'),则x=2x'所以4x'2+9y'2=36,即?+y—=1.y=3y', ¥ 9 4所以曲线C在伸缩变换后得椭圆x-+y-=1,94其焦点坐标为(土邓,0)..在极坐标系中，圆C是以点C2,喑为圆心，2为半径的圆.6(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l:e=墨(PeR)所截得的弦长.兀解：(1)圆C是将圆p=4cose绕极点按顺时针方向旋转~6■而得到的圆，兀所以圆C的极坐标方程是P=4cos0+y.(2)将9=—彳2~代入圆C的极坐标方程p=4cos8+"6"，得p=2\［2,所以，圆C被直线1:8=712,即直线e=—5|■所截得的弦长为272..在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲’, 兀线C:p=4cos00<9<—,G:pcos0=3.(1)求C与C2的交点的极坐标；(2)设点Q在G上，OQ=2O"求动点P的极坐标方程.5TOC\o"1-5"\h\zPcos9=3, M3解：（1）联立 得cose=± ,p=4cos0, 2一， 兀因为0we<—,

所以8=~6"，P=2V3,L兀所以交点坐标为2.3,—.兀(2)设Rp,9),Qpo,8°),则po=4cos80,80C0，~2~，-2 兀所以5P=4cose,ee0,万，所以点P所以点P的极坐标方程为兀p=10cos9,9€0,—.xx x=6i6cos6..(2020•黑龙江哈尔滨三中一模)已知曲线C：x+g3y=，3和G： (6y=y2sin6为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)把曲线。和G的方程化为极坐标方程；(2)设C与x,y轴交于MN两点，且线段MN勺中点为P.若射线OP与G,G交于P,Q两点，求P,Q两点间的距离.x=\6cos6,解：(1)因为C2的参数方程为 (巾为参数)，y=^j2sin62 2所以其普通方程为，+^=1,又G：x+43y={3,贡市 2 6所以可得极坐标方程分别为 C：Psin6+3=5,Q：p=1+2sin2g.(2)易知M木,0),N(0,1),所以P2^,2，.一 TT所以OP的极坐标方程为 e=y(p€R),, 兀,，、 兀 313把0=~6~代入psin0+—=2,兀得P1=1,P1,3，7t代入67t代入7 2~1+2sin0兀得P2=2,Q2,—,所以|PQ=|P2—p1|=1,即P,Q两点间的距离为1.

.直角坐标系xOy中，倾斜角为a的直线l过点M—2,—4),以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为psin20=2cose.(1)写出直线l的参数方程(a为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A,B两点，且|MA•IMB=40,求倾斜角a的值.X=—2+tCOSa解：(1)直线l的参数方程为 (t为参数)，y=—4+tsinapsin20=2cos8,即p2sin20=2pcos0,将x=pcos0,y=psin0代入曲线C的直角坐标方程得y2=2x.(2)把直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2a—(2cosa+8sina)t+20=0,设A,B对应的参数分别为ti,t2,由一元二次方程根与系数的关系得， t1t2=J0-,sina根据直线的参数方程中参数的几何意义， 得|MA・IMB=|tit2|=—■20—=40,得a=4sina 43兀或a=——.4又△=(2cosa+8sina)2—80sin2a>0,所以a="4..(2020•江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+2cosx=2+2cosy=2sina(a为参数)，以O为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；. -■ 、 .. .. TT 一一一一…(2)已知AB是曲线C上任意两点，且/AOB=—,求^OAE®积的最大值.3解：(1)消去参数a,得到曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,故曲线C的极坐标方程为 p=4cos0.一.，一一一一一| 一r、、i 兀.…। 一 一 兀 兀(2)在极坐标系中，不妨设Ap1,90),B(p2,9g+-),其中p1>0,p2>0,—~<90<―,由(1)知，p1=4cos0g,p2=4cos(8。+石).3 一一__ 1 兀厂 兀△OABU积S=2p1p2sin_3=443cos80cos(入十1)，S=2淄cos290—6sin80cos90=^3(1+cos29o)—3sin290=2/cos2%十后十淄，当28。+—=0时，即90=—6时，cos280+-3有最大值1.此时Smax=3>y3.故^OA前积的最大值为33.［综合题组练］.(2020・长沙市统一模拟考试 )在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为x=1+cos6(6为参数