高三数学教案：高考数学总复习第一讲：函数与方程

PAGEPAGE16高三数学教案：高考数学总复习第一讲：函数与方程.第一篇：高三数学教案：高考数学总复习第一讲：函数与方程.学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.高考数学总复习第一讲：函数与方程函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．一、例题分析例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(00，所以得αa，得到aα0，所以y=3-|x+1|,x∈[-2,0]．解法三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，∵函数周期是2，8学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.∴f(x+4)=f(x)．而f(x+4)=x+4，∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1)．当x∈[-1,0]时，-x∈[0,1]，且-x+2∈[2,3]．∵函数是偶函数，周期又是2，∴，于是在［–2，0］上，．由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，f(x)=3-|x+1|．本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题．例5．已知y=loga(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）．（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）［2，+∞］分析：设t=2-ax，则y=logat，因此，已知函数是上面这两个函数的复合函数，其增减性要考查这两个函数的单调性，另外，还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．解法一、由于a≠1，所以（C）是错误的．又a=2时，真数为2–2x，于是x≠1，这和已知矛盾，所以（D）是错的．当0故y=loga(2-ax)是x的增函数，所以（A）是错的．于是应选（B）．解法二、设t=2-ax，y=logat由于a>0，所以t=2-ax是x的减函数，因此，只有当a>1，y=logat是增函数时，y=loga(2-ax)在［0，1］上才是减函数；又x=1时，y=loga(2-a)，依题意，此时，函数有定义，故2–a>0综上可知：1故应选（B）．例6．已知则g(5)=_____________-，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称，解法一、由去分母，得，解出x，得，故，于是，设，去分母得，，解出x，得，8学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.∴的反函数．∴解法二、由∴，∴．，则．，即根据已知：的反函数为，∴．解法三、如图，f(x)和f-1(x)互为反函数，当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时，做为“镜面”的另一侧的“象”f(x)的图象一定向下平移1个单位，因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1，∴．本解法从图象的运动变化中，探求出f-1(x+1)的反函数，体现了数形结合的优势出二、巩固练习（1）已知函数值．在区间上的最大值为1，求实数a的（1）解：f(x)在区间上最大值可能在端点外取得，也可能在顶点外取得，，得，故此解舍去．，而顶点横坐标，最大值在顶点外取当最大值为f(2)时，f(2)=1，合理．，顶点在应在区间右端点取得最大值，此解8学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.当最大值在顶点处取得时，由，解得，当，此时，顶点不在区间内，应舍去．综上，．（2）函数的定义域是［a，b］，值域也是［a，b］，求a.b的值．2）解：y=f(x)的图象如图，分三种情况讨论．当a解得，当0≤a，由于b>0，应舍去．有，解得：a=1，b=2．当a0，应舍去．8学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.有，解得：a=1，b=2．当a2．设，则，由于该方程有实根，且实根大于2，∴解之，μ≥8．当μ=8时，x=4，故等号能成立．于是log2≥0且x=4时，等号成立，因此的最小值是3．解法二：∵，∴x>28学而思教育·学习改变命运思考成就未来！高考网www.设，则=∴μ≥8且，即x=4时，等号成立，∴log2μ≥3且x=4时，等号成立．故的最小值是3．（4）已知a>0,a≠1，试求方程有解时k的取值范围．4）解法一：原方程由②可得：③，当k=0时，③无解，原方程无解；当k≠0时，③解为，代入①式，．解法二：原方程原方程有解，应方程组，，即两曲线有交点，那么ak0，∴原不等式即∴当0（Ⅱ）在区间[0,+∞)上任取x1,x2，使得x1，（ⅰ）当a≥1时，∵∴又∴所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．（ⅱ）当0满足f(x1)=1,f(x2)=1，即第二篇：20XX年高考数学第一轮复习资料11(函数与方程)（模版）学案11函数与方程自主梳理1．函数零点的定义(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有________．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．2第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点c；第三步，计算______：①若________，则c就是函数的零点；②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|0A．0B．1C．2D．32．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()A．至少有一个B．至多有一个C．有且只有一个D．可能有无数个3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①②B．①③C．①④D．③④4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，∴函数在(1,3)上存在唯一零点．方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．变式迁移1(20XX·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．多于4个B．4个C．3个D．2个探究点二用二分法求方程的近似解例2求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．解设f(x)＝2x3＋3x－3.经计算，f(0)＝－30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，点0.6875作为函数f(x)零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．x＋的零点时，第一次经变式迁移2(20XX·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln2计算f(0)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为110，fA.22()1213，1fC.241B．(0,1)f2110，fD.24探究点三利用函数的零点确定参数例3已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．解若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.－3±7令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝.－3－73－7①当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∈[－1,1]，22－3＋73＋7当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∉[－1,1]，22∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)01－10Δ＝8a＋24a＋4>01，或－11或a≤.变式迁移3若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．一、选择题(每小题5分，共25分)1．(20XX·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)()1x2．(20XX·福州质检)已知函数f(x)＝log2x－若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0)4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1、x2，且x12，x2>5C．x15D．254x－4，x≤15．(20XX·厦门月考)设函数f(x)＝2，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)x－4x＋3，x>1的零点个数是()A．4B．3C．2D．1二、填空题(每小题4分，共12分)6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2006x＋log2006x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．7．(20XX·深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．8．(20XX·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题(共38分)x119．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋.，证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.24210．(12分)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围．a11．(14分)(20XX·杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)3a>2c>2b，求证：b3(1)a>0且－3fcos3333(D)fsin>fcos22例5．已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有(B)fsin()()(()()())f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)1，2（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数；（3）解不等式f(2x1)2．（五）高考回顾：考题1（20XX山东）下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（D）（A）f(x)sinx（B）f(x)x1（C）f(x)考题2（20XX上海）若函数f(x)=1x2xaax（D）f(x)ln22x1,则该函数在(-∞,+∞)上是(A)X21(A)单调递减无最小值(B)单调递减有最小值(C)单调递增无最大值(D)单调递增有最大值考题3（20XX天津）若函数f(x)loga(x3ax)(a0,a1)在区间(11,0)内单调递增，则a的取值2范围是（B）A．[,1)14B．[,1)34C．(,)94D．(1,)94考题4(20XX重庆)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(a>1时)缩(a0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的________倍得到.二、小题自测1.作出下列函数的图像：3,x2,y3x,2x2,3,x2.（1）yx22,xZ,且x2（2）yx2x(3)2.将函数f(x)2x的图像向____平移____个单位，就可以得到y2x2的图像.3.将函数y＝log(x－1)的图象上各点的横坐标缩小到原来的31，再向右平移2半个单位，所得图象的解析式为_______