2022年第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛试卷(小学组)及

2022年第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛试卷

（小学组）及（时间2022年3月19日10：00-11：00）这次华杯赛，除上述十道题目外，南京有的考点还有2道附加题第11题：有6个时刻，6:30，6:31，6:32，6:33，6:34，6:35这几个时刻里，时刻时针和分针靠得最近，时刻时针和分针靠得最远。第12题：一个纸片倒过来，0，1，8三个数字转180°后不变，6变成9,9变成6，其他数字转180°后没意义。问，7位数转180°后不变的有个，其中能被4整除的数有个，这些转180°后不变的7位数的总和是.【参考答案及详解】.任何四个连续自然数之和一定被4除余2，所以只有102满足条件。“都为合数”这个条件可以被无视了。询.容易发现，如果原数字有n根火柴，则对应数字7-n。原数字的火柴数目依次是2，5，5，4，5，6，3，7，6，6，包含了2，3，4，5，6，7，共6个不同数字，所以对应的也有6个不同的。C.这属于和倍问题，大数是小数的6倍，所以它们的和等于小数的7倍，即小数为6/7，大数为36/7，两数之积为216/49，两数之差为30/7=210/49，所以差为6/49。D口.任何两人说的话都不能同时为真，所以最多有一个人说的是真话，如果有一个人复习了，那么李说的是真话，符合题意；如果没有人复习了，那么张说的是真话，矛盾。B口.看蚂蚁所在的列，可知应该在中间一列，这列上有N和Q；看蚂蚁所在的行，可知应该在中间一行，所以是N。B口.增加3台计算机，时间变成75%也就是3/4，说明计算机增加到4/3，增加了1/3，原来有9台；如果减少3台计算机，减少到2/3，时间变为3/2,增加了1/2,所以原定时间是5/6某2=5/3(小时)。A.如图所示，有8个。画出其中的两个，其余的完全对称。8.相遇后，甲还需要3小时返回甲地。第二次相遇时，甲距离相遇点的距离等于甲2.5小时的路程，乙用了3.5小时走这些路程，所以甲乙速度比为7:5。甲乙相遇需要3小时，那么乙单独到需要180某12+5=432分钟。432.易知夹在平行线之间的4ABM和4£尸乂面积相等，4CDN和^EFN面积相等。而4EFM和4EFN的面积之和等于EF某(MO+ON)+2=26,所以空白部分的面积总和为52，所求答案为65。65.显然华=1。总共有9个数字,也就是说0到9中有一个不能用,根据弃九法,5不能用。每进一位数字和减少9,0+1+2+3+4+6+7+8+9-(2+0+1+1)=36,所以共进4位。所以个位和十位之一需要进两位,有两种可能：(1)个位数字之和为11,十位数字之和为20,百位数字之和为8；(2)个位数字之和为21,十位数字之和为9,百位数字之和为9。为了让“华杯初赛”尽量大，“杯”应尽量大，“十”应尽量小。“十”最少为2，优先考虑情况(2)，此时“杯”可以等于7。剩余数字0，3，4，6，8，9，个位和为21的显然是4+8+9，十位和为9的剩下0+3+6，所以最大为1769。不必再考虑(1)了。1769第11题这是一道典型时钟问题，以钟表里的一小格为一个单位为，则在6:30，时针和分针相差5/2=2.5格分针一分钟走一格，速度为1格/分，时针1小时走5小格，则速度为1/12格/分则每过一分钟，分针比时针多走11/12格故可列出下表：时间间隔6:306:316:326:336:346:352.519/128/123/1214/1225/25可见6:33靠的最近，6:30分靠的最远第12题首位可以是1、6、8、9中的一个，4种选择；第二位可选0、1、6、8、9中的一个，5种选择；第三位可选0、1、6、8、9中的一个，5种选择；第四位是七位数中间的数，转180度后不变位置，所以只能从0、1、8中选择，3种。所以一共有4某5某5某3=300个。2、是4的倍数，只需考虑末两位即可。由题意可得，末两位只能是96、16、08、68、88共5种；末两位确定后，前两位也确定下来，只剩三、四、五位，第四位即中间一位只能从0、1、8中选择，所以有3种选择；第三、五位相对应，只需要确定一位即可，可以从0、1、6、8、9中选择，5种。所以能被4整除的数有：5某5某3=75种。3、所有这些数中，第七位只能是1、8、6、9，每一个数共出现300/4=75次，和为：(1+8+6+9)某75某1000000=1800000000；第六位可以是0、1、8、6、9，每一个数共出现300/5=60次，和为：(0+1+8+6+9)某60某100000=144000000；第五位可以是0、1、8、6、9，每一个数共出现300/5=60次，和为：(0+1+8+6+9)某60某10000=14400000；第四位可以是0、1、8，每一个数共出现300/3=100次，和为：(0+1+8)某100某1000=900000；第三位可以是0、1、8、6、9，每一个数共出现300/5=60次，和为：(0+1+8+6+9)某60某100=144000；第二位可以是0、1、8、6、9，每一个数共出现300/5=60次，和为：(0+1+8+6+9)某60某10=14400；第六位可以是1、8、6、9，每一个数共出现300/4=75次，和为：(1+8+6+9)某75某1=1800；所以所有数的和为：1800000000+144000000+14400000+900000+144000+14400+1800=1959460200第一题：考察的是数论里面质数合数的基本知识，容易知道这四个数是24,25,26,27,故和为102,选C第二题：有点类似于新定义运算，给出了我们一个规则，然后让我们进行分析。根据前面的条件，去掉一根火柴，我们可以得到9这个数字，此时称9对应1，即为去掉火柴得到的数字对应去掉火柴的根数，而我们知道数字8由7根火柴构成可见，最多可以去掉5根（再多就没法构成数字了）那么我们可以列出下表：第三行的数字即为对应的数字，有0〜5,六个，选C注意到题目里面的规定8对应0也要算上，不少同学漏了吧8对应0，实际上就是不去掉火柴的情况，一定要注意第三题：公开题，不解释，有不会的请面壁思过简单和倍问题可求出两个数分别为36/7,7/6,然后简单的四则运算~选D第四题：明显可见张必定说假话，如果张为真，那么无人复习，但复习了的人说真话，矛盾后面依次进行真假假定，可见只有李说了真话，故只有一个人去了复习第五题：很多同学应该一上来就开始逐个点开始计算线段数了，但是此题不需要我们求出具体的路程，只要知道谁是最短路线即可，故可以选择一个点位基准点，其余的点都跟它比较即可选取M点为基准点，设七只蚂蚁走到M点一共要走a条方格边那么口对于N点，从左边数第一只蚂蚁要比到M点多走一段方格边，第二只也要多走一段方格边以此类推，七只蚂蚁走到N点共要走a+1+1+1-1-1-1-1=a-1同理，七只蚂蚁走到P点共要走a+1-1+1+1-1-1+1=a+1七只蚂蚁走到Q点共要走a+2+0+2+0-2-2+0=a所以总和最小的格点为N，选B口第六题：可见，录同一部书稿，计算机越多，录入用的时间越少，增加三台计算机后，录入时间变为原来的75%与原来的时间比即变为3:4，所以其录入计算机数量比为4:3，故原来录入用的计算机数量为3+(4-3)某3=9台口减少三台的话，变成了9-3=6台，计算机数量比变为3:2，故录入时间比为2:3，减少3台录入时间多用了5/6小时则原定录入时间即为5/6+(3-2)某2=5/3小时，选A第七题：如图，可将正六边形分割为6个面积为1的小正三角形，如果要以这些六边形为顶点连接面积为4的正三角形，则这些正三角形的边和高都应该是面积为1的正三角形的2倍那么在直线AD上，只有AC,BD两条线段的长度为小正三角形的2倍。另外，通过六边形的端点作平行线，可见图中的四条平行线中，相邻的两条平行线之间的距离都是小正三角形的高，故若以AC,BD为底，则正三角形的另外一个顶点必定在中间第三条线上的端点，可见此时三角形ACb，BDc满足条件同理，反过来看三角形acB,bdC也满足条件。口另外以中间的平行线ac为轴，可见图形上下对称所有一共有2某2某2=8个正三角形符合条件第八题：典型的相遇往返问题，此题关键在于作好线段图，从中寻找等量关系由题意，甲乙行程图如下：那么由图可见：3V甲=3V乙+0.5V甲+0.5V乙可得V甲：V乙=7:5口所以相遇的时候，甲乙走的路程比为：S甲：S乙=7:5口所以相遇后乙走完剩下的路需要用的时间为：3+5某7=4.2小时所以乙从A到B需用时3+4.2=7.2小时口一定要注意到甲往回走用的时间跟一开始是一样的，另外甲在往回走的时候，乙依然在走所以等量关系为3V甲=3V乙+0.5V甲+0.5V乙而不是3V甲=0.5V甲+0.5V乙口第九题：梯形ABCD面积知道，那么只要求出空白部分的面积就可以得到阴影面积由题可知中间空白部分EMFN的面积为（13某4）+2=26而EF把梯形ABCD分割成两个梯形ABEF和EFCD，由蝴蝶定理可知口三角形ABM面积=三角形EMF面积，三角形DNC面积=三角形EFN面积口所以三角形ABM面积+三角形DNC面积二三角形EMF面积+三角形EFN面积二四边形EMFN面积=26所以空白部分的面积总和为：26+26=52所以阴影部分面积为117-52=65平方厘米对角线垂直要注意到可通过将四边形分割成两个等底三角形求面积，然后有梯形存在，应该要想到蝴蝶定理的运用，基本定理熟练掌握即可得解第十题：个位数一共有0~9十个数，而竖式中一共有九个不同的数字，那么必有一个数字没有用到，设为N那么九个汉字的数字和为：45-N进行加法后得到的得数的数字和为：2+0+1+1=4所以数字和减少了41-%而在十进制里面，逢十进一，即每进一次位，数字和减少10-1=9所以41-N必定能被9整除，可见只有N=5的时候,41-N=36能被9整除，即在竖式里面发生了四次进位再观察竖式，可见“十”+“杯”尾数为0，必定发生了一次进位，故“华”字一定为1要四位数“华杯初赛”最大，则首先要考虑“杯”的取值由于竖式里个位加和，十位加和的尾数均为1，则十位个位都发生了至少一次进位，那么十位可向百位进1或者进2，此时“十”+“杯”=9或者8，又因为“十”为三位数的首位