电气新手必知：单一参数正弦交流电路

电气新手必知：单一参数正弦交流电路电路，实际上就是各种电路部件和电路器件相互连接而成的电流通路装置。就我们目前所学而得知，电路可以分为交流电路和直流电路，直流电路比交流电路简单很多。在交流电路和直流电路中，电阻元件（本文的电阻元件均指线性电阻元件）、电感元件（本文的电感元件均指线性电感元件）与电容元件（本文的电容元件均指线性电容元件）所表现出来的特性各有不同。在直流电路中，电阻元件的伏安特性曲线是过原点的一条直线;而电感元件在直流电路中相当于通电导线或电阻元件（线圈电阻较大时）；电容元件在直流电路中其两端电压恒定，相当于开路，电流无法流通，即电容元件有隔断直流的作用。电感元件和电容元件在交流电路中又有怎样的特性呢？这正是我们这次要学习的内容：单一参数正弦交流电路，这里的单一参数指的是电阻元件、电感元件和电容元件的相关参数。关于电阻电阻元件、电感元件和电容元件，我们在之前就已经学习过，在这里，我再次带大家简单回顾一下这三种元件。1、电阻元件:

在电压和电流取关联参考方向时，在任何时刻电阻元件两端的电压和电流服从欧姆定律u=iR，如图32-1所示，即电阻元件上的电压u与通过该元件的电流i成线性关系。其中R为电阻元件参数，称为元件的电阻，当电压的单位为伏特(V)、电流的单位为安培(A)时，此时电阻的单位为欧姆(。)。电阻元件的伏安特性曲线电阻元件的伏安特性曲线⑶电阻的能量5-睥必。图32-1另外，金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能(电阻率)有关，其表达式如图32-1的(2)所示，其中p为导体的电阻率，l为导体的长度，S为导体的横截面积。电阻元件从t0到t的时间内吸收的电能如图32-1的(3)所示，在直流电路中可表示为W=UIt=I2Rt，电阻元件一般把吸收的电能转换成热能或其他能量。电阻元件还是比较简单的，当流过一个电阻元件的电流无论为何值时，它的端电压恒为零，此时就把它称为〃短路”，当电阻元件的端电压不论为何值时，流过它的电流恒为零值，就把它称为“开路”。2,电感元件：如图32-2所示，它是实际线圈是理想化模型，线圈，也就是用导线一圈—圈绕制而成。电感元描述了线圈通有电流时产生磁场、储存能量的性质。图32-2所示的线圈，流过该线圈的电流i产生的磁通中L与N匝线圈交链，则磁通链WL=N^L。电感元件的特性指的是磁通链(磁链)中与电流i的代数关系，其元件特性如图32-2的(2)所示，其中L为电感元件的参数，称为电感，它是一个正实常数，单位为亨利(H)。线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能(磁导率)等有关，其表达式如的(3)所示，其中口为介质的磁导率，S为线圈的横截面积，N为线圈的匝数，l为线圈的长度。

图32-2当磁链随时间变化时，线圈就会产生感应电动势，即线圈两端会产生感应电压(与感应电动势大小相等，方向相反)，如图32-2的(4)所示，感应电动势的参考方向与磁通的方向满足右手螺旋关系。图32-2的(4)式可以表明，当电感上电流发生剧变(即电流变化率非常大)时，电压很大;而当电流不变时，此时的电压为零，这就是上文所说电感元件在直流电路中相当于通电导线，理想情况下元件两端不会产生压降。图32-2电感元件从零初始状态开始到t的时间内电感元件吸收能量如图32-2的⑸所示，即电感元件是一种储能元件，它把吸收的能量以磁场能量的形式存储在磁场中。当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源吸收电能;当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源释放能量。3,电容元件:是实际电容器的电路模型，描述电容器两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并存储电场能量的性质。电容元件的元件特性是电路物理量电荷q与电压u的代数关系，如图32-3的(1)所示，其中C是电容元件的参数，称为电容，它是一个正实常数，单位为法拉(F)。电容器的电容与极板的尺寸及其极板间介质的介电常数等有关，表达式如图32-3的(2)所示，其中S为极板面积，d为极板间距离，£为介电常数。如果电容元件的电流i与电压u取关联参考方向，当电压u变化时，在电路中电容元件的电压电流关系(VCR)如图32-3的(3)所示，这表明电容元件的电流与电压的变化率成正比，以电荷q(单位为库伦)和电压u(单位为伏特)为坐标画出电容元件的库伏特性曲线是一条过原点的直线。图32-3另外，图32-3的(3)中表明的的电容元件的电流与电压的变化率成正比关系，可以发现，当电容上电压发生剧变(即电压变化率非常大)时，电流很大，电流大到一定程度时可能会烧坏电容器;而当电压不变时，此时的电流为零，这就是上文所说的电容器有隔直作用。电容元件从零初始状态开始到t的时间内电容元件吸收能量如图32-3的⑷所示，即电容元件也是一种储能元件，它把吸收的能量以电场能量的形式存储在电场中。当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源吸收电能;当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源释放能量。在回顾完一遍电阻元件、电感元件和电容元件的相关参数与特性后，我们便开始学习单一参数正弦交流电路的相关知识。其中包括电阻元件的交流电路、电感元件的交流电路与电容元件的交流电路。(1)电阻元件的交流电路在前文就有提到过，在直流电路中，电阻元件的伏安特性曲线都是过原点的一条直线，但是在交流电路中，电压和电流都是以正弦规律变化的，此时电阻元件两端的电压电流关系又是怎样的呢？如下图32-4所示，在图(1)电阻元件的正弦交流电路中，根据欧姆定律有u=iR，设电压的瞬时值表达式u=Umsin3t,初相角为零，则电流i的瞬时值为i=u/R,代入电压u的表达式得i=Imsinwt。比较电压和电流的瞬时值表达式，可以发现，电压和电流的频率相同，它们的大小关系为I=U/R，此时电压与电流的相位相同，即两者相位差为零。(3)相星式<4)相呈图根据欧姆定律：u(3)相星式<4)相呈图根据欧姆定律：u=iR设八。/诅内「兰二代辿一二血血欢二⑵如做mRRJim(1)电路图⑵波形图I=zzo°U-UZOQ-1Rp=ui=i2p=ui=i2r=图32-5⑴由u=sini=/msin则:也就是说，在电阻元件的正弦交流电路中，电压和电流的差别只在于数值大小不同，它们的波形图、相量式与相量图如上图32-4所示。由于电压与电流的相位相同，它们的相量图方向相同，两者重叠。交流电路中，瞬时功率定义为瞬时电压与瞬时电流的乘积，用小写字母p表示;而平均功率则是指瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母P表示。显然，在电阻元件的正弦交流电路中，它的瞬时功率和平均功率显然是不一样的。p=ui=^(1-cos2car)>0如上图32-5所示，电阻元件的正弦交流电路中，设u=Umsin3t,i=Imsinwt，此时瞬时功率p的表达式如图32-5中的式(1)所示，并画出其波形图，中间的推导过程大家看不懂也没关系，只需知道结论即可。从表达式和波形图可以看出，瞬时功率p的值是恒大于等于零的，这表明电阻元件是耗能元件，且随时间变化。另外，由平均功率的定义，结合瞬时功率的表达式，如图32-5中的式(2)所示，可得平均功率P=UI，其中的U和I是分别电压和电流的有效值。这其实有点类似电阻元件的直流电路中的功率，均是电压乘以电流。(2)电感元件的交流电路在上一次学习电路基本定律的相量形式的时候，我就有提到过，在正弦交流电路中，流过电阻元件的电流与电阻元件两端的电压同相;流过电感元件的电流滞后于电感元件两端的电压90°;流过电容元件的电流超前于电容元件两端的电压90°。下图32-6(a)所示为一电感元件的交流电路。

图32-6(5)由i一k2J加*u-\2L7sin(ftX+9O<))J得:«■--uU---7=ZZ0^C7=t/Z90°.又由-=-Z90°=j^.则:t'=/^Z90°=j/^=Z(j)}7电感元件的交流电路中电压与电流的关系如图32-7(1)所示。根据上文电感元件的电压电流公式，设流过线圈的电流i是初相角为零的正弦量，代入(1)式，得到的结果如图32-7(2)式所示，微分公式的变换过程大家了解一下就行，我们要知道的是结果。比较图32-6(b)中的电压与电流的波形图和图32-7(2)式中的电压与电流的瞬时值表达式，可以发现，电压和电流的频率相同，此时电压的相位是超前电流相位90°的。从图32-7的(2)式可得，电压U的有效值是等于IwL的。类似于欧姆定律U=IR，在电感元件的交流电路中，如图32-7的(3)所示，定义感抗XL=3L,可得U=IXL。在交流电路中，阻抗包含了电阻和电抗，而电抗又包含感抗和容抗，这里的感抗就是XL。由角频率3与频率f的关系3=2nf，如图32-7的(3)所示，可得感抗XL=2nfL,即感抗XL是频率f的函数，如图32-6(c)所示，感抗XL与频率f的函数曲线为过原点的直线，而电流I与频率f的关系为反比例函数。正如图32-7(4)所示，当在直流电路时，频率f为零，此时线圈感抗XL为零，在交流电路中，随着频率f的增大，感抗XL也增大，即电感具有通直阻交的作用，或者可以这样说，电感元件具有通低频阻高频的特性。

根据图32-7(2)式，电压超前电流90°,可画出电压与电流的向量图，如图32-6(d)所示，即电压相量与电流相量夹角为90°。另外，电压与电流的相量式如图32-7(5)所示，结合之前在学“正弦量的相量表示”时所学的复数知识(复数F=ajb)，其中的j为90°旋转因子，可以得到电压相量除以电流相量的商为jwL，这其实就是电感电路复数形式的欧姆定律。在上文中，我们知道了电感元件是储能元件，在交流电路中，它把吸收的电能转化为磁场能量存储在磁场中。同是图32-6(a)所示的电感元件的交流电路，电感元件的功率关系如图32-8所示。根据上文提到的瞬时功率和平均功率的定义，电感元件的瞬时功率p的表达式为图32-8(1)式所示，其中三角函数的变换大家看看就行，不懂也没关系，记住结论就可以了。根据瞬时功率p的表达式画出其波形右图0)所示。结合电压u、电流i和瞬时功率p的波形图，可以发现，当电压与电流的方向一致时，电感元件向电源吸收能量并存储;当电压与电流方向相反时，电感元件向电源释放能量，这个吸收和释放能量的过程是可逆的，且吸收的能量和释放的能量相等。也就是说，电感元件在存放能量的过程中是没有消耗能量的，只是和电源进行能量的交换。由此可推理出电感元件的平均功率为零，正如图32-8(2)式所示。在这里先引入一个新的概念：无功功率Q。无功功率是指在具有电抗的交流电路中，能量在电源和电抗元件(电容、电感)之间不停地交换，交换率的大值称为“无功功率”。也就是说，无功功率是用于衡量电感或电容电路中能量交换的规模，用瞬时功率达到的大值表征，如图32-8(3)式所示，取瞬时功率p的大值UI，用字母Q表示，单位是乏(var)。所谓无功，并不是说它是无用的，这是相对于有功功率而言。无功功率的更多内容在此就不展开讲述，大家感兴趣的可以拓展自学。(3)电容元件的交流电路在学习了电感元件的交流电路的基础上，学习电容元件的交流电路就会简单很多，因为它们两者有很多相似的地方。如图32-9(a)所示为一电容元件的交流电路。结合上文提到的电容元件的电压与电流的基本关系式，如下图32-10(1)所示，设电压u初相角为0，其瞬时值表达式如图32-10(2)式所示，将电压u的瞬时值表达式代入(1)式中可以得到此时电流i的瞬时值表达式，微分公式的变换过程大家不用在意，记得结果就行。

根据图32-10(2)式中电压与电流的表达式，可以发现，在电容元件的正弦交流电路中，电流是超前电压90°(电压滞后电流90°)的，且它们两者的频率相同，其波形图如图32-9(b)所示。另外，从图32-10(2)式中也可以看到，电流的有效值I是等于U3C的。图32-10根据电压与电流的关系I=U3C,同样是类似于欧姆定律U=IR，如图32-10(3)所示，定义容抗XC=1/3C，则U=IXC。关于容抗，上文也说了，它和感抗统称为电抗。同样的，由角频率3与频率f的关系3=2nf,如图32-10的(3)所示，可得容抗XC=1/2nfC，即容抗XC也是频率f的函数，如图32-9(c)所示，容抗XC与频率f的函数曲线为反比例函数曲线，而电流I与频率f的关系曲线为过原点的直线，和电感元件的感抗与频率关系曲线相比较，大家是否发现了它们之间的差异？正如图32-10(4)所示，当在直流电路时，因为频率f在分母中，频率趋于零时，此时容抗XC趋于无穷大，相当于开路;在交流电路中，随着频率f的增大，容抗XC减小，所以说电容器有隔直作用。和电感元件的电压相量、电流相量类似，电容元件的电压相量与电流相量关系如图32-10(5)所示，画出它们的向量图如图32-9(d)所示，电压相量与电流相量的夹角为90°。结合之前所学的复数知识，当90°旋转因子为-j时，对于相量顺时针旋转90°,由于电压滞后电流90°,所以此时图32-10(5)中的电流相量乘以-j而不是j。和电感元件一样，电容元件也是储能元件，在交流电路中，它把吸收的电能转化为电场能量存储在电场中。同是图32-9(a)所示的电容元件的交流电路，电容元件的功率关系如图32-11所示。由图32-11(1)所示，电容元件的瞬时功率和电感元件的瞬时功率相似，根据其瞬时功率p的表达式画出其波形右图0)所示。结合电压u、电流i和瞬时功率p的波形图，可以发现，当电压与电流的方向一致时，电容元件向电源吸收能量并存储；当电压与电流方向相反时，电容元件向电源释放能量，这个吸收和释放能量的过程是可逆的，且吸收的能量和释放的能量相等。也就是说，电容元件在存放能量的过程中是没有消耗能量的，只是和电源