现代控制理论-东北大学高立群-清华大学出版社-第6章

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----第6章“状态反馈和状态观测器”习题与解答6.1判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。一12一X=X+3一12一X=X+311)1010010X=0—21X+0100—200u=\bAb]="11一c03uu2)1)秩U=2，系统完全能控，所以可以用状态反馈任意配置特c征值。2)AbA22)AbA2b101010010—204000000，秩u=2，系统不完全能控，所以c不能通过状态反馈任意配置特征值。6.2已知系统为X=XX=Xx=—x—x—x+3u3123试确定线性状态反馈控制律，•使闭环极点都是—3,并画出闭环系统的结构图。解根据题意，理想特征多项式为a*(s)=(s+3)3=s3+9s2+27s+27"010一一0一v—X—001X+0u—1—1—1_3_令u=-虬k2七]X，并带入原系统的状态方程，可得TOC\o"1-5"\h\z一010一X=001X—1—3k—1—3k—1—3k.1-123」其特征多项式为a(s)=s3+(1+3k3)s2+(1+3k2)s+(1+3k1)，通过比较系数得1+3k3=9,1+3k3=9,1+3k=27,1+3k=27,726726即，k=—，k=—13232心8k=—13326326T闭环系统的结构图:6.3给定系统的传递函数为1G(s)=s(s+4)(s+8)6.3给定系统的传递函数为1试确定线性状态反馈律，使闭环极点为-2,-4,-7。解根据题意，理想特征多项式为a*(s)=(s+2)(s+4)(s+7)=s3+13s2+50s+56由传递函数g(s)s(s+4)(s+8)s3+12s2+32s可写出原系统的能控标准形一010一一0一V—X一001X+0_0—32—12_1_u令U=-Rkk]X，并带入原系统的状态方程，可得123一010一X=001X—k1-1—32—k2—12—k3」其特征多项式为a(s)=s3+(12+k3)s2+(32+k2)s+3k1通过比较系数得k广56,32+k2=50,12+k3=13,即k=56,k=18,k=1。一000一「1]X=1—60X+0_01—12_0_6.4给定单输入线性定常系统为:u试求出状态反馈u=—k工使得闭环系统的特征值为人*=—2,人*=—1+j,人*=—1—j。123解易知系统为完全能控，故满足可配置条件。系统的特征多项式为s00-1s+600-1s+12det(sI-A)=det=s2+18s2+72s进而计算理想特征多项式以*(s)=rf(s一人*)=(s+2)(s+1一j)(s+1+j)=s3+4s2+6s+4ii=1于是，可求得k=「a*-a,00再来计算变换阵a*-a]=[4,-66,-14]22」aa110072181r_一_f12P=bAbA2ba1001-618101——1210000110072181=1210100并求出其逆一001Q=P-1=01-121-18144从而，所要确定的反馈增益阵k即为:00k=kQ=[4,-66,-14]011-181-12=[-14,186,144-1220]6.5给定系统的传递函数为(s-1)(s+2)g(s)=(s+1)(s-2)(s+3)试问能否用状态反馈将函数变为:(s一D()_(s+2)(s+3)和g^s_(s+2)(s+1)(s+3)若有可能，试分别求出状态反馈增益阵k，并画出结构图。解当给定任意一个有理真分式传递函数G(s)时，都可以得到它的一个能控标准形实现，用这个能控标准形可任意配置闭环系统的极点。对于传递函数G(s)=(s-1)(s+2)，所对应的能控标准型为(s+1)(s-2)(s+3)-010--0-x=001x+0u65-2_1_所对应的闭环传递数为g&)=(s-1)。通过状态反馈u=-[341]x能将极点配置为k(s+2)(s+3)1,-1,-3，此时所对应的闭环传递数为„(s)=(s+2)。从而，可看出状态反馈可以任意配置传'k)(s+1)(s+3)递函数的极点，但不能任意配置其零点。闭环系统结构图6.6判断下列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。1)G(s6.6判断下列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。1)G(s)=3s2+24s+1s2+2s+12s2+s+11s-12)-1--1解1)《=min{2,2}-1=1，E^=[32]，d2=min{1,1}-1=0，E2=[41]，E=f1=32非奇异，所以能用状态反馈和输入变换实现解耦控制。E412)因为cB=[2-00--00_10=[-11],cB=[021]2100101。又因为E非奇异，-11]所以d=d=0-E~--11E1-2」=21E=，所以能用状态反馈和输入变换实现解耦控制。6.8给定双输入一双输出的线性定常受控系统为0100--00-3002x+100001000-20001x=u10010试判定该系统用状态反馈和输入变换实现解耦？若能，试定出实现积分型解耦的K和L。最后将解耦后子系统的极点分别配置到=-2,=-4;X*=-2+j,X*=-2-j。2211解易知该系统完全能控能。1）判定能否解耦因为122100100001=[0cB=11000]0]010000cAB=11000]30021010001000--20001-00-cB=[0010]10=[00]20001一一-0100--00-cAB=[0010]30021020001000-200_01_=h=[00]1]于是可知d1=1,d2=1;E=1110],E2=[0「E[-10-1E1-2」=011］。因为E=非奇异，因此可进行解耦。2）导出积分型解耦系统计算K=E-1F=300K=E-1F=300—202000100000000010000A=A—BE-1FB=BE-1=010-,F=cA2一3002一1=1_cA22_0—200_「1ET=03）确定状态反馈增益矩阵K令~K=k100k1100k200一k21则可得一01A—BK=—k—k101101—k20—k21对解耦后的两个子系统分别求出理想特征多项式f*(s)=(s+2)(s+4)=s2+6s+81f*(s)=(s+2—j)(s+2+j)=s2+4s+52进而，可求出、进而，可求出、=8,k“=6;从而k=8,k=44）确定受控系统实现解耦控制和极点配置的控制矩阵对{乙,K}1001K=E-1F+E-1K=F+K0—2一8~60—2一8~600一,_00540~200110602—2545）确定出解耦后闭环系统的状态空间方程和传递函数矩阵一0100一_00一-8-600x+10000100_00-5-4__01_x=(A-BK)x+BLvvy=y=Cx=1000传递函数矩阵则为:G(s)=C(si-A+BK)-iBL=6.9给定系统的状态空间表达式为\1101。\1101。]x1）设计一个具有特征值为-3,-4,-5的全维状态观测器;2）设计一个具有特征值为-3,-4的降维状态观测器；3）画出系统结构图。解1）设计全维状态观测器方法1s+10-1det(si一At)=2s+10=s3+3s2+6s+63-1s+1a=3,a=6，a=6123观测器的期望特征多项式为a*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60a*=12，aa*=12，a*=47，a*-aa*-aa*-aa*=60=[5441一1-1-1一一63「一22「1-353102010-22_100-4-20Q=[cTAtCT(At)2CTaaa1a101100P=Q-1232-22-440-4-4-418-9状态观测器的状态方程为23-2-3=(A—EC)x+Bu23-2-323[10]-9[1-9252723——-322「2]353105—X+u+-—2212109-1-9L」L」y方法2何00-<0人0|_00人01det[XI-(A-EC)]=det1-2E1+E2Eu3-1-31[110]>X+1+E=detE2E-132+E2人+1+E2E3-1

妇14E+6)3=人3+(E+E+3认2+(2E-2E+6)人+(2E+2E1与期望特征多项式比较系数得21312E]4E+6)31与期望特征多项式比较系数得2E-2E+6=472R+2E2-4E3+6=60解方程组得ET=235-922°2）设计降维观测状态器_D令x=Px=x=0

cL」10-11则有P-1=010100X1=PAPx+Pbux1-2」10-11]七X1-2」y=cP^x=[o02-1(a-ea1121则有-2e1-2e2-2ei-2e于是det「si-(A-EAL11::)1(a-ea1121则有-2e1-2e2-2ei-2e于是det「si-(A-EAL11::)1=det21-Is-2e+1

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s-2e+12-6-6W+-6-6W+一「—52x2u+T—521-61-1-61-1W+11_0_6"i0I+0矛2—5y—00112-1W=(A-EA)l¥+(B-EBX+FaEA+2112=s^-2es+s-2e