第章-代数方程的Galois理论课件

第5章代数方程的Galois理论西南大学数学与统计学院张广祥E.Galois1811-18321第5章代数方程的Galois理论西南大学数学与统计学5.1低次方程的求根公式解3次方程x3+ax2+bx+c=0代换y=x+a/3得y3+py+q=0代换y=u+v则y3=u3+v3+3uvyy3-3uvy

-(u3+v3)=0对比系数:uv=-p/3,u3+v3=-q解辅助方程t2+qt-p3/27=0(Lagrange预解式)求出u3与v3.J.Lagrange,177125.1低次方程的求根公式解3次方程x3+ax2+bx+c=解3次代数方程求出u,v:Y1=u+v,y2=u+2v,y3=2v+v3解3次代数方程求出u,v:35.2对称多项式定义5.2.1对称多项式;初等对称多项式定理5.2.2(对称多项式基本定理)每个对称多项式f(x1,…,xn)都是初等对称多项式的多项式f(x1,…,xn)=g(1,…,n),而且g的系数是f系数的有理整式.45.2对称多项式44次方程求根公式解4次代数方程z4+az3+bz2+cz+d=0代换z=x-a/4得x4+px2+qx+r=0再代换J.Lagrange,1771解方程y3+b1y2+b2y+b3=0,b1=-2p,b2=p2-4r,b3=q2(Lagrange预解式)54次方程求根公式解4次代数方程z4+az3+bz2+5.1-5.2作业练习5.1题1,2练习5.2题265.1-5.2作业65.3多项式的分裂域定义5.3.1系数域;根的分裂域引理5.3.2f(x)F[x],若f(x)=a(x-1)…(x-n)则分裂域为F(1,…,n)定理5.3.3f(x)F[x],则存在f(x)在F上的分裂域.证由单代数扩存在性定理3.2.2,对f(x)的不可约因子p(x),有1使p(1)=0,f(x)=(x-1)g(x)定理5.3.5分裂域唯一到同构.75.3多项式的分裂域定义5.3.1系数域;根正规扩域定义5.3.6正规扩域:EF,若不可约f(x)∈F[x]在E中有一个根,E就含f(x)的所有根.定理5.3.7设f(x)∈F[x],E是分裂域,则E是正规扩域.证反证法.设f(x)全体根1,…n,则E=F(1,…n).若不可约p(x)∈F[x],p(x)=0在E有根,但p(x)在E上不能分解为1次因式之积.8正规扩域定义5.3.6正规扩域:EF,若不可约f(正规扩域p(x)=(x-)q(x),q(x)有次数m大于1的不可约因子q1(x)∈E[x],由单代数扩域存在性定理3.2.4存在E(),使在E上极小多项式是q1(x).现在q1()=0,所以p()=0,由单代数扩域唯一性定理3.2.4F()≌F().因此F()[x]≌F()[x].且f(x)在同构下不变.F(,1,…n)是f(x)在F()上的分裂域,F(,1,…n)是f(x)在F()上的分裂域.9正规扩域p(x)=(x-)q(x),q(x)有次数正规扩域于是由分裂域唯一性定理5.3.5F(,1,…n)≌F(,1,…n)=E另一方面|E:F|=|F(,1,…n):F|=|E():E|.|E:F|=m|E:F|矛盾.10正规扩域于是由分裂域唯一性定理5.3.510非正规扩域的例例5.3.1设F=Q,是x3-2=0的一个根,证明F()不是F的正规扩域.证首先x3-2=0在F上不可约,故|F():F|=3.如果F()是F的正规扩域,那么F()应该是x3-2在F上的分裂域.下证|分裂域:F|=6x3-2=0的3个根是,,2.取是实根,则F()不含,|分裂域:F|=6.11非正规扩域的例例5.3.1设F=Q,是x3-2=练习5.3

作业:题2,3,55.5代数基本定理(略)12练习5.3125.4有限域定理5.4.1(1)有限域F一定含q=pn个元,p是素数.(2)含q=pn个元的有限域F是多项式xq-x的分裂域.(3)元素个数相同的有限域互相同构.证(1)素域Zp上n维向量空间.(2)q-1阶循环群F*满足xq-1-1=0.(3)分裂域唯一到同构.135.4有限域定理5.4.1135.4有限域定理5.4.2q个元素的有限域F,非零元素乘群F*循环,因此有限域F是素域上的单代数扩区域.练习5.4题4145.4有限域145.5代数基本定理定理每个复系数多项式在复数域中至少有一个根,由此n次多项式共有n个复数根(包括重根).注高斯1799年(21岁)在他的博士论文《一个单变量有理数方程分解为1次或2次因式乘积的新证明》中第一次正确地证明了这一定理.高斯1803155.5代数基本定理定理每个复系数多项式在复数域中至少有一个5.6Galois群定义5.6.1(1)有限可分正规扩域称为Galois扩域.(2)假定E是F的Galois扩域,将E的全体使F的元素不变的域自同构所组成的群称为扩域E/F的Galois群,记为Gal(E/F).(3)一个方程f(x)F[x]的Galois群是指f(x)在F上的分裂域E的Galois群.165.6Galois群定义5.6.1165.6Galois群注1方程的Galois群也是根的置换群.注2因为E是F的有限可分扩域,因此E是F的单代数扩域E=F(),设的极小多项式p(x)次数m,则|E:F|=m.另一方面,由正规性p(x)=0在E中有m个根:=1,…,m,由可分性,这m个根互不相同,则到i的置换i都是Galois群的元,这样的元素恰有m个,因此|Gal(E/F)|=|E:F|=m.175.6Galois群注1方程的Galois群也5.6Galois群—Galois基本定理1定理5.6.2设E是F的Galois扩域,G=Gal(E/F).则(1)每个中间域ELF,对应一个中间子群1≤H≤G,且H=Gal(E/L)(2)反之中间子群1≤H≤G,对应一个中间子域ELF,且L=InvE(H)(3)上面的对应是一一对应,并把正规扩域L/F对应到正规子H,并且G/H≌Gal(L/F)185.6Galois群—Galois基本定理1定理5.Galois基本定理Galois群对应:E1FGLH19Galois基本定理Galois群对应:E1FGLH1Galois基本定理证明证明(1)若L是中间域,易知G的所有固定L的元素满足子群条件,成为一个子群H.按定义H=Gal(E/L).(2)反之对G的子群H,H,若固定a,bE,则固定a-b与a/b,因此H的固定元素成为E的子域L=InvE(H)(3)按定义H=Gal(E/L)与L=InvE(H)同时发生,对应是一一的.20Galois基本定理证明证明(1)若L是中间域,易知GGalois基本定理证明下面证明最后一个结论:若gG使Lg=L1,H=Gal(E/L),H1=Gal(E/L1).aL,a1=ag,ah=a.现在说明若

L1=Lg,则H1=g-1Hg=Hg,反之也对.注意Lg=F(g).因此共轭的子域对应共轭的子群;正规子域对应正规子群.21Galois基本定理证明下面证明最后一个结论:21Galois群例1例5.6.1设F=Q,E=F(√2,√3),求Galois群G=Gal(E/F).解E是f(x)=(x2-2)(x2-3)在F上的分裂域.f(x)=0的4个根1,2,3,4=√2,-√2,√3,-√3.但G的元素把(x2-2)与(x2-3)都不变,因此G的元素把√2变为±√2;把√3变为±√3;G是一个4阶群,G≌{1,(12),(34),(12)(34)}22Galois群例1例5.6.1设F=Q,E=F(√2Galois群例2求方程f(x)=x4-2在有理数域F上的Galois群.解首先求x4-2在F上的分裂域E=F(,i),|E:F|=8=.1,2,3,4=,-,i,-i.1,2,3,4,5,6,7,8,:--ii-i-ii:ii-i-i--G={1,(12),(34),(12)(34),(13)(24),(1324),(1423),(14)(23)}23Galois群例2求方程f(x)=x4-2在有理数域F5.6Galois基本定理证明作业:练习5.6题1,2,5思考题:题6245.6Galois基本定理证明作业:练习5.6题15.7方程的Galois理论代数方程的根式解是指对于方程的系数进行代数运算(加、减、乘、除、开方)求出方程的根对的理解一个令人惊叹的事实：Galois发现方程的可解性由方程根的置换群（Galois群）的可解性决定255.7方程的Galois理论代数方程的根式解是指对于5.7方程的Galois理论定义5.7.5一个群G称为可解群,如果存在子群列G=G1▷G2▷…▷Gn-1▷Gn=1使得相邻商群Gi-1/Gi都是交换群.265.7方程的Galois理论定义5.7.5一个群G称方程的Galois理论例5.7.2对称群S3是可解群.例5.7.3对称群S4是可解群.例5.7.4对称群Sn(n≥5)不可解.27方程的Galois理论27方程的Galois理论定理5.7.6(E.Galois)设f(x)∈F[x],方程f(x)=0有根式解的充分必要条件是f(x)的Galois群是可解群.定理5.8.1(N.Abel,1824)5次和5次以上的一般系数多项式方程不可解.28方程的Galois理论定理5.7.6(E.GaloisGalois理论基本定理2定理5.7.6(Galois基本定理2)设f(x)∈F[x],方程f(x)=0有根式解的充分必要条件是f(x)的Galois群是可解群.引理1(5.7.2)若域F包含n次本原单位根,则Gal(E/F)是循环群当且仅当E=F(),a∈F.引理2(5.7.3)方程xn-1=0有根式解.引理3(5.7.4)设LF,f(x)∈F[x],E/F与K/L都是f(x)的分裂域,则Gal(E/F)Gal(K/L).29Galois理论基本定理2定理5.7.6(GaloisGalois理论基本定理2证明:必要性定理证明:必要性.若f(x)=0有根式解,E是分裂域,要证G=Gal(E/F)是可解群.不妨假定在分裂域E中添加需要的单位根得到扩域KE.记G1=Gal(K/F),G1～G.有根式解意味着在系数域F中逐次添加形如的元,由引理1每次添加对应的Galois群都循环,因此G1有次正规列,因子群循环,G1可解,G也可解.30Galois理论基本定理2证明:必要性定理证明:必要性Galois理论基本定理2证明:充分性下面证明充分性:假定G=Gal(E/F)是可解群,|G|=n.设是n次本原单位根,K=E(),L=F().由引理3G1=Gal(K/L)是G的子群,也可解.G1有合成列G1▷G2▷…Gs▷1且Gi/Gi+1阶为素数pi,由Galois基本定理1存在扩域序列K=K1K2…Ks=L,相邻扩域次数为素数pi,由引理1这些扩域都可以通过添加形如的元素而得到.那么E也可以通过在F中添加形如的元素而得到.方程存在根式解.31Galois理论基本定理2证明:充分性下面证明充分性:假定G不可解方程例5.8.1方程x5-x-1/2=0在有理数域上没有根式解.评论:代数基本定理:根是存在的Galois基本定理:根是不可发现的最好的数学同时也是一种最好的哲学32不可不可解方程x5-x-1/2=0引理5.8.2设p是素数.若p次置换群G包含一个p阶元与一个对合,则G=Sp.证设p阶元a=(12…p),对合b=(12)则a-1ba=(23),a-2ba2=(34),…(pp-1),(1p)∈G(13)=(12)(23)(12),(14)=(13)(34)(13),…,(1p-1)∈G,G=Sp.33不可解方程x5-x-1/2=0引理5.8.2设p是素不可解方程x5-x-1/2=0定理5.8.4设p是素数,p次不可约多项式f(x)∈Q[x],若f(x)恰有p-2个实根,则它的Galois群是Sp.证设E是f(x)在Q上分裂域,G=Gal(E/Q),则p||G|,由Couchy定理4.2.17G有p阶元.另一方面G有一个对合,因此由引理G=Sp.34不可解方程x5-x-1/2=0定理5.8.4设p是素数不可解方程x5-x-1/2=0例5.8.1方程x5-x-1/2=0在有理数域上没有根式解(不可解).证首先由反序Eisenstein法则x5-x-1/2在有理数域上不可约.x5-x-1/2=0恰有3个实根,利用定理5.8.4方程x5-x-1/2=0在有理数域上没有根式解.35不可解方程x5-x-1/2=0例5.8.1方程x5-第5章代数方程的Galois理论西南大学数学与统计学院张广祥E.Galois1811-183236第5章代数方程的Galois理论西南大学数学与统计学5.1低次方程的求根公式解3次方程x3+ax2+bx+c=0代换y=x+a/3得y3+py+q=0代换y=u+v则y3=u3+v3+3uvyy3-3uvy

-(u3+v3)=0对比系数:uv=-p/3,u3+v3=-q解辅助方程t2+qt-p3/27=0(Lagrange预解式)求出u3与v3.J.Lagrange,1771375.1低次方程的求根公式解3次方程x3+ax2+bx+c=解3次代数方程求出u,v:Y1=u+v,y2=u+2v,y3=2v+v38解3次代数方程求出u,v:35.2对称多项式定义5.2.1对称多项式;初等对称多项式定理5.2.2(对称多项式基本定理)每个对称多项式f(x1,…,xn)都是初等对称多项式的多项式f(x1,…,xn)=g(1,…,n),而且g的系数是f系数的有理整式.395.2对称多项式44次方程求根公式解4次代数方程z4+az3+bz2+cz+d=0代换z=x-a/4得x4+px2+qx+r=0再代换J.Lagrange,1771解方程y3+b1y2+b2y+b3=0,b1=-2p,b2=p2-4r,b3=q2(Lagrange预解式)404次方程求根公式解4次代数方程z4+az3+bz2+5.1-5.2作业练习5.1题1,2练习5.2题2415.1-5.2作业65.3多项式的分裂域定义5.3.1系数域;根的分裂域引理5.3.2f(x)F[x],若f(x)=a(x-1)…(x-n)则分裂域为F(1,…,n)定理5.3.3f(x)F[x],则存在f(x)在F上的分裂域.证由单代数扩存在性定理3.2.2,对f(x)的不可约因子p(x),有1使p(1)=0,f(x)=(x-1)g(x)定理5.3.5分裂域唯一到同构.425.3多项式的分裂域定义5.3.1系数域;根正规扩域定义5.3.6正规扩域:EF,若不可约f(x)∈F[x]在E中有一个根,E就含f(x)的所有根.定理5.3.7设f(x)∈F[x],E是分裂域,则E是正规扩域.证反证法.设f(x)全体根1,…n,则E=F(1,…n).若不可约p(x)∈F[x],p(x)=0在E有根,但p(x)在E上不能分解为1次因式之积.43正规扩域定义5.3.6正规扩域:EF,若不可约f(正规扩域p(x)=(x-)q(x),q(x)有次数m大于1的不可约因子q1(x)∈E[x],由单代数扩域存在性定理3.2.4存在E(),使在E上极小多项式是q1(x).现在q1()=0,所以p()=0,由单代数扩域唯一性定理3.2.4F()≌F().因此F()[x]≌F()[x].且f(x)在同构下不变.F(,1,…n)是f(x)在F()上的分裂域,F(,1,…n)是f(x)在F()上的分裂域.44正规扩域p(x)=(x-)q(x),q(x)有次数正规扩域于是由分裂域唯一性定理5.3.5F(,1,…n)≌F(,1,…n)=E另一方面|E:F|=|F(,1,…n):F|=|E():E|.|E:F|=m|E:F|矛盾.45正规扩域于是由分裂域唯一性定理5.3.510非正规扩域的例例5.3.1设F=Q,是x3-2=0的一个根,证明F()不是F的正规扩域.证首先x3-2=0在F上不可约,故|F():F|=3.如果F()是F的正规扩域,那么F()应该是x3-2在F上的分裂域.下证|分裂域:F|=6x3-2=0的3个根是,,2.取是实根,则F()不含,|分裂域:F|=6.46非正规扩域的例例5.3.1设F=Q,是x3-2=练习5.3

作业:题2,3,55.5代数基本定理(略)47练习5.3125.4有限域定理5.4.1(1)有限域F一定含q=pn个元,p是素数.(2)含q=pn个元的有限域F是多项式xq-x的分裂域.(3)元素个数相同的有限域互相同构.证(1)素域Zp上n维向量空间.(2)q-1阶循环群F*满足xq-1-1=0.(3)分裂域唯一到同构.485.4有限域定理5.4.1135.4有限域定理5.4.2q个元素的有限域F,非零元素乘群F*循环,因此有限域F是素域上的单代数扩区域.练习5.4题4495.4有限域145.5代数基本定理定理每个复系数多项式在复数域中至少有一个根,由此n次多项式共有n个复数根(包括重根).注高斯1799年(21岁)在他的博士论文《一个单变量有理数方程分解为1次或2次因式乘积的新证明》中第一次正确地证明了这一定理.高斯1803505.5代数基本定理定理每个复系数多项式在复数域中至少有一个5.6Galois群定义5.6.1(1)有限可分正规扩域称为Galois扩域.(2)假定E是F的Galois扩域,将E的全体使F的元素不变的域自同构所组成的群称为扩域E/F的Galois群,记为Gal(E/F).(3)一个方程f(x)F[x]的Galois群是指f(x)在F上的分裂域E的Galois群.515.6Galois群定义5.6.1165.6Galois群注1方程的Galois群也是根的置换群.注2因为E是F的有限可分扩域,因此E是F的单代数扩域E=F(),设的极小多项式p(x)次数m,则|E:F|=m.另一方面,由正规性p(x)=0在E中有m个根:=1,…,m,由可分性,这m个根互不相同,则到i的置换i都是Galois群的元,这样的元素恰有m个,因此|Gal(E/F)|=|E:F|=m.525.6Galois群注1方程的Galois群也5.6Galois群—Galois基本定理1定理5.6.2设E是F的Galois扩域,G=Gal(E/F).则(1)每个中间域ELF,对应一个中间子群1≤H≤G,且H=Gal(E/L)(2)反之中间子群1≤H≤G,对应一个中间子域ELF,且L=InvE(H)(3)上面的对应是一一对应,并把正规扩域L/F对应到正规子H,并且G/H≌Gal(L/F)535.6Galois群—Galois基本定理1定理5.Galois基本定理Galois群对应:E1FGLH54Galois基本定理Galois群对应:E1FGLH1Galois基本定理证明证明(1)若L是中间域,易知G的所有固定L的元素满足子群条件,成为一个子群H.按定义H=Gal(E/L).(2)反之对G的子群H,H,若固定a,bE,则固定a-b与a/b,因此H的固定元素成为E的子域L=InvE(H)(3)按定义H=Gal(E/L)与L=InvE(H)同时发生,对应是一一的.55Galois基本定理证明证明(1)若L是中间域,易知GGalois基本定理证明下面证明最后一个结论:若gG使Lg=L1,H=Gal(E/L),H1=Gal(E/L1).aL,a1=ag,ah=a.现在说明若

L1=Lg,则H1=g-1Hg=Hg,反之也对.注意Lg=F(g).因此共轭的子域对应共轭的子群;正规子域对应正规子群.56Galois基本定理证明下面证明最后一个结论:21Galois群例1例5.6.1设F=Q,E=F(√2,√3),求Galois群G=Gal(E/F).解E是f(x)=(x2-2)(x2-3)在F上的分裂域.f(x)=0的4个根1,2,3,4=√2,-√2,√3,-√3.但G的元素把(x2-2)与(x2-3)都不变,因此G的元素把√2变为±√2;把√3变为±√3;G是一个4阶群,G≌{1,(12),(34),(12)(34)}57Galois群例1例5.6.1设F=Q,E=F(√2Galois群例2求方程f(x)=x4-2在有理数域F上的Galois群.解首先求x4-2在F上的分裂域E=F(,i),|E:F|=8=.1,2,3,4=,-,i,-i.1,2,3,4,5,6,7,8,:--ii-i-ii:ii-i-i--G={1,(12),(34),(12)(34),(13)(24),(1324),(1423),(14)(23)}58Galois群例2求方程f(x)=x4-2在有理数域F5.6Galois基本定理证明作业:练习5.6题1,2,5思考题:题6595.6Galois基本定理证明作业:练习5.6题15.7方程的Galois理论代数方程的根式解是指对于方程的系数进行代数运算(加、减、乘、除、开方)求出方程的根对的理解一个令人惊叹的事实：Galois发现方程的可解性由方程根的置换群（Galois群）的可解性决定605.7方程的Galois理论代数方程的根式解是指对于5.7方程的Galois理论定义5.7.5一个群G称为可解群,如果存在子群列G=G1▷G2▷…▷Gn-1▷Gn=1使得相邻商群Gi-1/Gi都是交换群.615.7方程的Galois理论定义5.7.5一个群G称方程的Galois理论例5.7.2对称群S3是可解群.例5.7.3对称群S4是可解群.例5.7.4对称群Sn(n≥5)不可解.62方程的Galois理论27方程的Galois理论定理5.7.6(E.Galois)设f(x)∈F[x],方程f(x)=0有根式解的充分必要条件是f(x)的Galois群是可解群.定理5.8.1(N.Abel,1824)5次和5次以上的一般系数多项式方程不可解.63方程的Galois理论定理5.7.6(E.GaloisGalois理论基本定理2定理5.7.6(Galois基本定理2)设f(x)∈F[x],方程f(x)=0有根式解的充分必要条件是f(x)的Galois群是可解群.引理1(5.7.2)若域F包含n次本原单位根,则Gal(E/F)是循环群当且仅当E=F(),a∈F.引理2(5.7.3)方程xn-1=0有根式解.引理3(5.7.4)设LF,f(x)∈F[x],E/F与K/L都是f(x)的分裂域,则Gal(E/F)Gal(K/L).64Galo