浙教版九年级上册数学 第四章 4.1比例线段 第3课时 比例中项随堂练习（解析版）

.@:4.1__比例线段__比例中项1．三条线段a，b，c中，有c2＝ab，那么称c是a，b的比例中项，假设a＝2，b＝8，那么a，b的比例中项c的值为〔A〕A．4 B．±4C．±16 D．16【解析】∵c2＝2×8，∴c1＝4，c2＝－4〔不合题意，舍去〕．应选A.2．假设x是a，b的比例中项，那么以下式子错误的选项是〔D〕A．x2＝abB.eq\f〔a,x〕＝eq\f〔x,b〕C.eq\f〔b,x〕＝eq\f〔x,a〕 D．ab＝eq\r〔x〕3．假如a∶b＝12∶8，且b是a和c的比例中项，那么b∶c等于〔B〕A．4∶3 B．3∶2C．2∶3 D．3∶4【解析】∵a∶b＝12∶8，b是a和c的比例中项，即a∶b＝b∶c，∴b∶c＝12∶8＝3∶2.应选B.4．如图4－1－7，点C是线段AB的黄金分割点〔AC>BC〕，以下结论中正确的选项是〔C〕图4－1－7A．AB2＝AC2＋BC2B．BC2＝AC·BAC.eq\f〔BC,AC〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕D.eq\f〔AC,BC〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕5．线段AB＝2cm，C是线段AB的黄金分割点〔AC＞BC〕，那么AC的长为〔C〕A．〔eq\r〔5〕－2〕cm B．〔3－eq\r〔5〕〕cmC．〔eq\r〔5〕－1〕cm D．〔2－eq\r〔5〕〕cm【解析】∵C是线段AB的黄金分割点〔AC＞BC〕，∴AC＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕AB，∵AB＝2cm，∴AC＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕×2＝〔eq\r〔5〕－1〕cm.应选C.6．如图4－1－8，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，假设黄金比取0.618，那么x为〔B〕图4－1－8A．222 B．138C．139 D．108【解析】由题意，得eq\f〔x,y〕＝0.618，y＝360－x，∴x＝0.618〔360－x〕，解得x≈138.应选B.7．[2019·奉贤区一模]线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足eq\f〔BP,AP〕＝eq\f〔AP,AB〕，那么AP的长为__5eq\r〔5〕－5__cm.【解析】设AP＝xcm，那么BP＝〔10－x〕cm，∵eq\f〔BP,AP〕＝eq\f〔AP,AB〕，∴eq\f〔10－x,x〕＝eq\f〔x,10〕，∴x1＝5eq\r〔5〕－5，x2＝－5eq\r〔5〕－5〔不合题意，舍去〕，∴AP的长为〔5eq\r〔5〕－5〕cm.8．如图4－1－9是一种贝壳的示意图，点C分线段AB近似于黄金分割比．AB＝12cm，那么AC的长约为__7.4__cm〔结果准确到0.1cm〕．图4－1－9【解析】由图可知AC＞BC，∴AC＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕×12≈0.618×12≈7.4〔cm〕．9．[2019·台州模拟]如图4－1－10，连结正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形〞，黄金三角形的底与腰之比为eq\f〔\r〔5〕－1,2〕.假设AB＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，那么MN＝__eq\r〔5〕－2__．图4－1－10【解析】在△DAB中，∠ADB＝36°，AD＝BD，即△DAB是“黄金三角形〞，∴eq\f〔AB,BD〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴BD＝EC＝1，又∵EN＝MC＝AB＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴MN＝EN－〔EC－MC〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕－eq\b\lc\〔\rc\〕〔\a\vs4\al\co1〔1－\f〔\r〔5〕－1,2〕〕〕＝eq\r〔5〕－2.10．〔1〕a＝4，c＝9，假设b是a，c的比例中项，求b的值；〔2〕线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长，并考虑两题有何区别．解：〔1〕∵b是a，c的比例中项，∴a∶b＝b∶c，∴b2＝ac，∴b＝±eq\r〔ac〕.又∵a＝4，c＝9，∴b＝±eq\r〔36〕＝±6；〔2〕∵线段MN是AB，CD的比例中项，∴AB∶MN＝MN∶CD，∴MN2＝AB·CD，∴MN＝±eq\r〔AB·CD〕.又∵AB＝4cm，CD＝5cm，∴MN＝±eq\r〔20〕＝±2eq\r〔5〕.又∵MN不可能为负值，∴MN＝2eq\r〔5〕cm.通过解答〔1〕，〔2〕发现，b，MN同时作为比例中项出现，b可以取负值，而MN不可以取负值．11．[2019·江干区一模]〔1〕我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP，PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且eq\f〔AP,AB〕＝eq\f〔BP,AP〕，点P就是线段AB的黄金分割点，此时eq\f〔AP,AB〕的值为__eq\f〔\r〔5〕－1,2〕__〔填一个实数〕；〔2〕如图4－1－11，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E.求证：点E是线段AB的黄金分割点．图4－1－11解：〔1〕设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP＝x，那么BP＝1－x，根据题意得eq\f〔x,1〕＝eq\f〔1－x,x〕，解得x1＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，x2＝eq\f〔－\r〔5〕－1,2〕〔舍去〕，故eq\f〔AP,AB〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕；〔2〕证明：设BC＝a，那么AB＝2a，那么AC＝eq\r〔5〕a，由题意得CD＝BC＝a，∴AE＝AD＝eq\r〔5〕a－a，BE＝AB－AE＝3a－eq\r〔5〕a，∴eq\f〔AE,AB〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，eq\f〔BE,AE〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴eq\f〔AE,AB〕＝eq\f〔BE,AE〕，即点E是线段AB的黄金分割点．12．一般认为，假如一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，那么这个人好看．如图4－1－12是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她穿多高的鞋子比较好看？〔结果准确到1cm，参考数据：黄金分割比为eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，eq\r〔5〕≈2.236〕图4－1－12解：设应该穿xcm高的鞋子．由题意，得eq\f〔65,95＋x〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，解得x≈10.答：她穿10cm高的鞋子比较好看．13．如图4－1－13，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD到点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，那么DG的长为〔D〕图4－1－13A.eq\r〔3〕－1B.3－eq\r〔5〕C.eq\r〔5〕＋1D.eq\r〔5〕－114．[2019·山西]宽与长的比是eq\f〔\r〔5〕－1,2〕〔约为0.618〕的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图4－1－14所示，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连结EF；以F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.那么图中以下矩形是黄金矩形的是〔D〕图4－1－14A．矩形ABFE B．矩形EFCDC．矩形EFGH D．矩形DCGH【解析】设正方形的边长为2，那么CD＝2，CF＝1，在Rt△DCF中，DF＝eq\r〔5〕，∴FG＝eq\r〔5〕，∴CG＝eq\r〔5〕－1，∴eq\f〔CG,CD〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴矩形DCGH是黄金矩形．应选D.15．如图4－1－15，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2〔eq\r〔5〕－1〕，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试证明D是线段AC的黄金分割点．图4－1－15证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝eq\f〔180°－36°,2〕＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°，∴∠CDB＝180°－72°－36°＝72°＝∠C，∠A＝∠ABD＝36°，∴BC＝BD＝AD＝2〔eq\r〔5〕－1〕，∴eq\f〔AD,AC〕＝eq\f〔2〔\r〔5〕－1〕,4〕＝eq\f〔\r〔5〕－1,2〕，∴D是线段AC的黄金分割点．16．如图4－1－16，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置B′，因此EB′＝EB.类似地，在线段AB上折出点B″，使AB″＝AB′，这时B″就是线段AB的黄金分割点．请你证明这个结论．图4－1－16证明：设正方形ABCD的边长为2.∵E为BC的中点，∴BE＝1，∴AE＝eq\r〔AB2＋BE2〕＝eq\r〔5〕.又∵B′E＝BE＝1，∴AB′＝AE－B′E＝eq\r〔5〕－1.又∵AB″＝AB′＝eq\r〔5〕－1，∴AB″∶AB＝〔eq\r〔5〕－1〕∶2，∴B″是线段AB的黄金分割点．17．假设一个矩形的短边与长边的比值为eq\f〔\r〔5〕－1,2〕〔黄金分割数〕，我们把这样的矩形叫做黄金矩形．〔1〕操作：请你在图4－1－17所示的黄金矩形ABCD〔AB>AD〕中，以短边AD为一边作正方形AEFD；〔2〕探究：在〔1〕中得到的四边形EBCF是不是黄金矩形？请说明理由；〔3〕归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论〔不需要说明原因〕．图4－1－17第17题答图解：〔1〕在AB和DC上分别截取AE＝DF＝AD，连结EF，如答图所示，那么四边形AEFD就是所求作的正方形；〔2〕四边形EBCF是黄金