相关变化率曲率课件

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二十讲一元微积分的应用——相关变化率、曲率、经济应用高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学在实际问题中，往往是同时出现几个变量.变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数(例如，都是时间t的函数.)从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出其他变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.在实际问题中，往往是同时出现几个变量.例1解例1解例2解例2解例3解例3解相关变化率曲率课件我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如判定曲线的弯曲程度.而在许多实际问题中何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工具的设计等等.你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?二、曲率我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如判定单位弧长上的转角︵曲率的概念单位弧长上的转角︵曲率的概念相关变化率曲率课件例4解求半径为R的圆上任意一点处的曲率.如图所示,在圆上任取一点M,则︵故即圆上点的曲率处处相同：半径越小的圆,弯曲得越厉害.例4解求半径为R的圆上任意一点处的曲率.如图所示,设曲线方程为则在曲线上点处的曲率为曲率的计算公式设曲线方程为则在曲线上点处的曲率为曲率的计算公式证如图所示,曲线在故又从而证如图所示,曲线在故又从而例5解直线上任意一点处的曲率均为零.例5解直线上任意一点处的曲率均为零.将它们代入曲率计算公式中即可得：参数方程下曲率的计算公式将它们代入曲率计算公式中即可得：参数方程下曲率的计算公式例6解哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.利用参数方程求导法求出例6解哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.利用参数方程求故得驻点故得驻点故在各象限中++ⅣⅢⅡⅠ由此可得:故在各象限中++ⅣⅢⅡⅠ由此可得:例7解会出现导数的分母为零的情形,相同,相同,故原问题可以转为求曲线图形形状例7解会出现导数的分母为零的情形,相同,相同,相关变化率曲率课件在有些实际问题中,在有些实际问题中,现在问你一下:(假设单位是统一的)如果告诉你一条曲线在点M处的曲率为你能想象出它的弯曲程度吗？如果告诉你有一个半径为5的圆,你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？由此及前面讲的例题,你有什么想法？现在问你一下:(假设单位是统一的)如果告诉你一条曲线在曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q,使以Q为中心,R为半径所作的圆称为曲线在点M处的曲率圆,圆心Q称为曲率中心,R

称为曲率半径.曲率圆、曲率中心作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q,使以Q曲率圆与曲线在点M处相切,且在点M处两者曲率相同.曲率圆与曲线在点M处具有相同的一、二阶导数.当讨论曲线在点M处与一、二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部性质来实现.曲率圆的性质曲率圆与曲线在点M处相切,且在点M处两者曲率相同则曲线在点曲率中心的坐标则曲线在点曲率中心的坐标证则曲线在点由于故有证则曲线在点由于故有其斜率为曲线在点M处切线的斜率为从而,有(1)(2)由(1),(2)两式消去其斜率为曲线在点M处切线的斜率为从而,有(1)(2)由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以故对上式两边开方得由(2)式,得画画图更清楚由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以故对上式两边开方得例9解曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.例9解曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.曲率中心为曲率圆的方程为曲率中心为曲率圆的方程为库存问题假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型.设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q=,进货周期为t=,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成库存问题假定计划期内货物的总需求为R,考(1)进货费(2)贮存费于是总费用E可表示为批量q的函数最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到最小值,(1)进货费最优进货次数为最优进货周期最小总费用最优进货次数为最优进货周期最小总费用复利问题例设林场的林木价值是时间t的增函数V=,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间．解考虑到资金的时间因素,晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值．设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)=的现值,按连续复利计算应为复利问题例设林场的林木价值是时间t的增函数V=相关变化率曲率课件作业P1751,7作业P175削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.练习.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,解:

设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m

处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最练习

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,解:设高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第二十讲一元微积分的应用——相关变化率、曲率、经济应用高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学在实际问题中，往往是同时出现几个变量.变量之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数(例如，都是时间t的函数.)从它们对这另一个变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个变量的变化率求出其他变量的未知的变化率，就是所谓的相关变化率问题.在实际问题中，往往是同时出现几个变量.例1解例1解例2解例2解例3解例3解相关变化率曲率课件我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如判定曲线的弯曲程度.而在许多实际问题中何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工具的设计等等.你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?二、曲率我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如判定单位弧长上的转角︵曲率的概念单位弧长上的转角︵曲率的概念相关变化率曲率课件例4解求半径为R的圆上任意一点处的曲率.如图所示,在圆上任取一点M,则︵故即圆上点的曲率处处相同：半径越小的圆,弯曲得越厉害.例4解求半径为R的圆上任意一点处的曲率.如图所示,设曲线方程为则在曲线上点处的曲率为曲率的计算公式设曲线方程为则在曲线上点处的曲率为曲率的计算公式证如图所示,曲线在故又从而证如图所示,曲线在故又从而例5解直线上任意一点处的曲率均为零.例5解直线上任意一点处的曲率均为零.将它们代入曲率计算公式中即可得：参数方程下曲率的计算公式将它们代入曲率计算公式中即可得：参数方程下曲率的计算公式例6解哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.利用参数方程求导法求出例6解哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.利用参数方程求故得驻点故得驻点故在各象限中++ⅣⅢⅡⅠ由此可得:故在各象限中++ⅣⅢⅡⅠ由此可得:例7解会出现导数的分母为零的情形,相同,相同,故原问题可以转为求曲线图形形状例7解会出现导数的分母为零的情形,相同,相同,相关变化率曲率课件在有些实际问题中,在有些实际问题中,现在问你一下:(假设单位是统一的)如果告诉你一条曲线在点M处的曲率为你能想象出它的弯曲程度吗？如果告诉你有一个半径为5的圆,你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？由此及前面讲的例题,你有什么想法？现在问你一下:(假设单位是统一的)如果告诉你一条曲线在曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q,使以Q为中心,R为半径所作的圆称为曲线在点M处的曲率圆,圆心Q称为曲率中心,R

称为曲率半径.曲率圆、曲率中心作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q,使以Q曲率圆与曲线在点M处相切,且在点M处两者曲率相同.曲率圆与曲线在点M处具有相同的一、二阶导数.当讨论曲线在点M处与一、二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部性质来实现.曲率圆的性质曲率圆与曲线在点M处相切,且在点M处两者曲率相同则曲线在点曲率中心的坐标则曲线在点曲率中心的坐标证则曲线在点由于故有证则曲线在点由于故有其斜率为曲线在点M处切线的斜率为从而,有(1)(2)由(1),(2)两式消去其斜率为曲线在点M处切线的斜率为从而,有(1)(2)由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以故对上式两边开方得由(2)式,得画画图更清楚由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以故对上式两边开方得例9解曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.例9解曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.曲率中心为曲率圆的方程为曲率中心为曲率圆的方程为库存问题假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型.设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q=,进货周期为t=,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成库存问题假定计划期内货物的总需求为R,考(1)进货费(2)贮存费于是总费用E可表示为批量q的函数最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到最小值,(1)进货费最优进货次数为最优进货周期最小总费用最优进货次数为最优进货周期最小总费用复利问题例设林场的林木价值是时间t的增函数V=