高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第五章-第四节-数列求和

第五章数列第四节数列求和第五章数列命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，其中等差、等比数列的通项与求和、数列与不等式的综合、以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现．本节通过数列求和以及数列的综合应用提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养．命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，其中等差、等比数列na1na12．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．4．倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．2．分组转化法5．错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．5．错位相减法

必明易错1．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．2．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．必明易错

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3．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2．答案：(n－1)2n＋1＋23．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn4．(易错题)求1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0且x≠1)的和．解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②4．(易错题)求1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0且x

题型一分组转化法求和

[例]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2an－1，求数列{bn}的前n项和Tn． 题型一分组转化法求和[例]已知等差数列{an}的

分组转化法求和的常见类型分组转化法求和的常见类型[对点训练](2021·合肥质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an＋an，求数列{bn}的前n项和Tn．[对点训练]

题型二裂项相消法求和 题型二裂项相消法求和

裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．裂项相消法求和的实质和解题关键

题型三错位相减法求和[例]

(2020·高考全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．[解析]

(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2．所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．故{an}的公比为－2． 题型三错位相减法求和[例](2020·高考全国卷Ⅰ)

运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{an}，{bn}一个为等差数列，一个为等比数列；二是错位相减；三是注意符号，相减时要注意最后一项的符号．运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{an}，[对点训练](2020·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n．(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．解析：(1)a2＝5，a3＝7．猜想an＝2n＋1．证明：由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，…，a2－5＝3(a1－3)．因为a1＝3，所以an＝2n＋1．[对点训练](2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n．①从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1．②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2．(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，

数列求和中的核心素养数学运算——数列求和的创新交汇应用[例]

(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8．(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100． 数列求和中的核心素养数学运算——数列求和的创新交汇

解析：(1)设{an}的公比为q．由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8．由题设得a1＝2．所以{an}的通项公式为an＝2n．(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m＜2n＋1时，bm＝n．所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480．解析：(1)设{an}的公比为q．由题设得a1＝2．1．本题利用基本元的思想，将已知条件转化为a1，q的形式，求解出a1，q，由此求得数列{an}的通项公式．2．通过分析数列{bm}的规律，由此求得数列{bm}的前100项和S100．1．本题利用基本元的思想，将已知条件转化为a1，q的形式，求百度文库VIP特权福利特权说明服务特权VIP专享文档下载特权VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。年VIP月VIP连续包月VIP享受60次VIP专享文档下载特权，一次发放，全年内有效。VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买的VIP类型决定。每月专享9次VIP专享文档下载特权，自VIP生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号-我的设置随时取消。共享文档下载特权VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文档消耗一个共享文档下载特权。年VIP月VIP连续包月VIP享受100次共享文档下载特权，一次发放，全年内有效赠送的共享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买的VIP类型决定。赠送每月15次共享文档下载特权，自VIP生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号-我的设置随时取消。累积特权在购买的VIP时长期间，下载特权不清零。100W优质文档免费下载VIP有效期内的用户可以免费下载VIP免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券/积分获取。部分付费文档八折起VIP用户在购买精选付费文档时可享受8折优惠，省上加省；参与折扣的付费文档均会在阅读页标识出折扣价格。内容特权0下载券文档一键搜索VIP用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索0下载券文档，下载券不够用不再有压力！无限次复制特权VIP有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容文档格式转换VIP有效期内可以将PDF文档转换成word或ppt格式，一键转换，轻松编辑！阅读页去广告VIP有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。多端互通VIP有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。其他特权抽奖特权开通VIP后可以在VIP福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！福利特权开通VIP后可在VIP福利专区定期领取多种福利礼券。VIP专享精彩活动开通VIP后可以享受不定期的VIP优惠活动，活动多多，优惠多多。VIP专属身份标识当您成为百度文库VIP后，您的专有身份标识将被点亮，随时随地彰显尊贵身份。专属客服VIP专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服QQ：800049878VIP礼包百度阅读VIP精品版特权享受阅读VIP精品版全部权益：1.海量精选书免费读2.热门好书抢先看3.独家精品资源4.VIP专属身份标识5.全站去广告6.名人书友圈7.三端同步知识影响格局，格局决定命运！百度文库特权福利特权说明服务特权VIP专享文档下载特权VIP

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必明易错1．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．2．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．必明易错

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3．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2．答案：(n－1)2n＋1＋23．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn4．(易错题)求1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0且x≠1)的和．解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②4．(易错题)求1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0且x

题型一分组转化法求和

[例]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足关于x的不等式a1x2－S2x＋2＜0的解集为(1，2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝a2n＋2an－1，求数列{bn}的前n项和Tn． 题型一分组转化法求和[例]已知等差数列{an}的

分组转化法求和的常见类型分组转化法求和的常见类型[对点训练](2021·合肥质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2an＋an，求数列{bn}的前n项和Tn．[对点训练]

题型二裂项相消法求和 题型二裂项相消法求和

裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．裂项相消法求和的实质和解题关键

题型三错位相减法求和[例]

(2020·高考全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．[解析]

(1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2．所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．故{an}的公比为－2． 题型三错位相减法求和[例](2020·高考全国卷Ⅰ)

运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{an}，{bn}一个为等差数列，一个为等比数列；二是错位相减；三是注意符号，相减时要注意最后一项的符号．运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{an}，[对点训练](2020·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n．(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．解析：(1)a2＝5，a3＝7．猜想an＝2n＋1．证明：由已知可得an＋1－(2n＋3)＝3[an－(2n＋1)]，an－(2n＋1)＝3[an－1－(2n－1)]，…，a2－5＝3(a1－3)．因为a1＝3，所以an＝2n＋1．[对点训练](2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n．①从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1．②①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1，所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2．(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，

数列求和中的核心素养数学运算——数列求和的创新交汇应用[例]

(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8．(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100． 数列求和中的核心素养数学运算——数列求和的创新交汇

解析：(1)设{an}的公比为q．由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8．由题设得a1＝2．所以{an}的通项公式为an＝2n．(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m＜2n＋1时，bm＝n．所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480．解析：(1)设{an}的公比为q．由题设得a1＝2．1．本题利用基本元的思想，将已知条件转化为a1，q的形式，求解出a1，q，由此求得数列{an}的通项公式．2．通过分析数列{bm}的规律，由此求得数列{bm}的前100项和S100．1．本题利用基本元的思想，将已知条件转化为a1，q的形式，求百度文库VIP特权福利特权说明服务特权VIP专享文档下载特权VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。年VIP月VIP连续包月VIP享受60次VIP专享文档下载特权，一次发放，全年内有效。VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买的VIP类型决定。每月专享9次VIP专享文档下载特权，自VIP生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号-我的设置随时取消。共享文档下载特权VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文档消耗一个共享文档下载特权。年VIP月VIP连续包月VIP享受100次共享文档下载特权，一次发放，全年内有效赠送的共享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买的VIP类型决定。赠送每月15次共享文档下载特权，自VIP生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号-我的设置随时取消。累积特权在购买的VIP时长期间，下载特权不清零。100W优质文档免费下载VIP有效期内的用户可以免费下载VIP免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券/积分获取。部分付费文档八折起VIP用户在购买精选付费文档时可享受8折优惠，省上加省；参与折扣的付费文档均会在阅读页标识出折扣价格。内容特权0下载券文档一键搜索VIP用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索0下载券文档，下载券不够用不再有压力！无限次复制特权VIP有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容文档格式转换VIP有效期内可以将PDF文档转换成word或ppt格式，一键转换，轻松编辑！阅读页去广告VIP有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。多端互通VIP有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。其他特权抽奖特权开通VIP后可以在VIP福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！福利特权开通VIP后可在VIP福利专区定期领取多种福利礼券。VIP专享精彩活动开通VIP后可以享受不定期的VIP优惠活动，活动多多，优惠多多。VIP专属身份标识当您成为百度文库VIP后，您的专有身份标识将被点亮，随时随地彰显尊贵身份。专属客服VIP专属客服，第一时间解决你的问题。专属客服QQ：800049878VIP礼包百度阅读VIP精品版特权享受阅读VIP精品版全部权益：1.海量精选书免费读2.热门好书抢先看3.独家精品资源4.VIP专属身份标识5.全站去广告6.名人书友圈7.三端同步知识影响格局，格局决定命运！百度文库特权福利特权说明服务特权VIP专享文档下载特权VIP

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