计算图形学推导作图

PAGE计算机图形学试题共29页第29页四、推导题（共10分）1．用Bresenham算法生成椭圆 时，若： 在第一象限上半部分误差项递推公式为：下半部分的递推公式为：当 时，说明从椭圆的上半部分转入下半部分。请写出画整个椭圆的算法步骤。1．答：算法步骤如下：1）.输入椭圆的长半轴a和短半轴b。2）.计算初始值d=b2+a2(-b+0.25)、x=0、y=b。3）.绘制点(x,y)及其在四分象限上的另外三个对称点。4）.判断d的符号。若d≤0，则先将d更新为d+b2(2x+3)，再将(x,y)更新为(x+1,y)；否则先将d更新为d+b2(2x+3)+a2(-2y+2)，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。5）.当b2(x+1)<a2(y-0.5)时，重复步骤3和4。否则转到步骤6。6）.用上半部分计算的最后点(x,y)来计算下半部分中d的初值：7）.绘制点(x,y)及其在四分象限上的另外三个对称点。8）.判断d的符号。若d≤0，则先将d更新为b2(2xi+2)+a2(-2yi+3)，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)；否则先将d更新为d+a2(-2yi+3)，再将(x,y)更新为(x,y-1)。9）.当y>0时，重复步骤7和8。否则结束。1．写出正二测投影变换矩阵，确定变换矩阵中的参数，并给出详细步骤。答案：正轴测投影变换矩阵的一般形式：X轴上的单位矢量[1001]变换后为：[x‘y’z‘1]=[1001]T=[cosθ0-sinθsinφ1]Y轴上的单位矢量[0101]变换后为：[x‘y’z‘1]=[1001]T=[-sinθ0-cosθsinφ1] Z轴上的单位矢量[0011]变换后为：[xyz1]=[0011]T=[00cosφ1]则三个方向的变形系数分别为： 按照正二轴测投影变换的定义有：p=r假定Y轴上的单位矢量经变换后长度变为1/2，即取Y轴的变形系数恒为1/2：可得：θ=20。42‘,φ=19。28’。五、作图题（共20分）用Bresenham算法生成直线段。要求：根据已知条件，先列出计算式算出各点的坐标值，然后在下面的方格中标出各点（用“●”）。已知：线段的起点(0，0)，终点(-6，-4)（1）确定计长方向及走步数；（2分）（2）算出误差值，正确取点；（16分）（3）在方格图中正确标出各点；（2分）（4）若在各点之间连线，扣1分。已知一直线段起点（2，10），终点（8，2），利用Bresenham算法生成此直线段，写出生成过程中坐标点及误差ε的变化情况。并在下面的方格中，标出直线上各点解:以Y方向计长走步数C=8∵是第四象限方向C=8x0=2，y0=10，取点(2，10)C=7ε(x1)=2△X-△Y=12-8=4>0x1=x0+1=3，y1=y0-1=9取点(3，9)C=6ε(x2)=ε(x1)+2△X-2△Y=4+12-16=0x2=x1+1=4，y2=y1-1=8取点(4，8)C=5ε(x3)=ε(x2)+2△X-2△Y=0+12-16=-4<0x3=x2=4，y3=y2-1=7取点(4，7)C=4ε(x4)=ε(x3)+2△X=-4+12=8x4=x3+1=5，y4=y3-1=6取点(5，6)C=3ε(x5)=ε(x4)+2△X-2△Y=8+12-16=4>0x5=x4+1=6，y5=y4-1=5取点(6，5)C=2ε(x6)=ε(x5)+2△X-2△Y=4+12-16=0x6=x5+1=7，y6=y5-1=4取点(7，4)C=1ε(x7)=ε(x6)+2△X-2△Y==0+12-16=-4<0x7=x6-=7，y7=y6-1=3取点(7，3)C=0ε(x8)=ε(x7)+2△X=-4+12=8x8=x7+1=8，y8=y7-1=2取点(8，2)确定计长方向及走步数:2分算出误差值，正确取点:16分在方格图中正确标出各点:2分若在各点之间连线，扣2分用Bresenham算法生成直线段。要求：根据已知条件，先列出计算式算出各点的坐标值，然后在下面的方格中标出各点（用“●”）。已知：线段的起点(0，0)，终点(6，5)解:起点坐标为(0,0),终点坐标为(6,5)△y=y2-y1=5,△x=x2-x1=6m=△y/△x=6/5d1=y-yk=m(xk+1)-ykd2=(yk+1)-y=(yk+1)-m(xk+1)那么d1-d2=2m(xk+1)-2yk–1将m=△y/△x，△y＝y2-y1,△x＝x2-x1带入令pk=△x(d1-d2)=2△y.xk-2△x.yk+c=12.xk-10.yk+7(其中c=2△y-△x)又有pk+1=2△y.xk+1-2△x.yk+1+c=12.xk+1-10.yk+1+7所以pk+1-pk=2△y(xk+1-xk)-2△x(yk+1-yk)ifpk<0,d1-d2<0,取右方象素，有yk+1=yk,则pk+1=pk+2△yifpk>=0,d1-d2>=0,取右上方象素，有yk+1=yk+1,yk+1-yk=1,则pk+1=pk+2△y-2△x第一点为(0,0)所以pk=7>0第二点为(1,1)第二点为(1,1)所以pk=5>0第三点为(2,2)第三点为(2,2)所以pk=3>0第四点为(3,3)第四点为(3,3)所以pk=1>0第五点为(4,4)第五点为(4,4)所以pk=-1<0第六点为(5,4)第六点为(5,4)所以pk=-3<0第七点为(6,5)用Bresenham算法生成直线段。要求根据已知条件，先列出计算式算出各点的坐标值，然后在下面的方格中标出各点（用“●”）。已知：线段的起点(0，0)，终点(-8，4)给定顶点P0P1P2P3P4构成的控制多边形，绘出二次B样条曲线的形状示意图。要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字说明）曲线上各特征点的切线矢量。正确绘制曲线8分画出以P0P1P2决定的地0段3次样条曲线： A为P0P1的中点，B为P1P2的中点，C为AB连线的中点与P1连线的中点，该段曲线起点为A点，终点为B点，并在1/2处过C点；A点的切矢为P1-P0，B点的切矢为P2-P1，C点的切矢平行于P2-P0，且等于P0P2的1/2。正确标出A、B、D三点3分指出A、B、D三点的切矢3分以同样的方法画出：以P1P2P3决定的地3段1次样条曲线1分给定顶点P0P1P2P3P4P5P6构成的控制多边形，绘出三次B样条曲线的形状示意图。P0P0P1P3P2P4P5P6画出以P0P1P2P3决定的第0段3次样条曲线： M1为P0P2的中点，A点位于P1M1的1/3处，A点的切矢平行于P0P2，且等于P0P2的1/2，A点的二阶导数矢量为中线矢量P1M1的两倍；M2为P2P3的中点，B点位于P2M2的1/3处，A点的切矢平行于P1P3，且等于P1P3的1/2，B点的二阶导数矢量为中线矢量P2M2的两倍；正确标出A、B两点、指出A、B点的切矢、指出A、B点的二阶导数矢量以同样的方法画出其它样条曲线。2、请利用下面给出的控制点的坐标，做三次Brezier曲线：p0=(1,0,0)；p1=(5,5,0)；p2=(15,7,0)；p3=(10,2,0)。答：则n=3时，B0(t)=(1-t)³，B1(t)=3(1-t)²t，B2(t)=3(1-t)t²，B3(t)=t³，对于参数t的不同取值，坐标P(t)可以用下式求得：P(t)＝B0(t)p0＋B1(t)p1＋B2(t)p2＋B3(t)p300.20.40.60.81B010.510.220.060.010B100.380.430.230.10B200.10.230.430.380B300.010.060.220.511P(0)=1×(1,0,0)＋0×(5,5,0)＋0×(15,7,0)＋0×(10,2,0)＝(1,0,0)P(0.2)=0.51×(1,0,0)＋0.38×(5,5,0)＋0.10×(15,7,0)＋0.01×(10,2,0)＝(4.01,2.62,0)P(0.4)=0.22×(1,0,0)＋0.43×(5,5,0)＋0.23×(15,7,0)＋0.06×(10,2,0)＝(6.42,3.88,0)P(0.6)=0.06×(1,0,0)＋0.23×(5,5,0)＋0.43×(15,7,0)＋0.22×(10,2,0)＝(9.86,4.60,0)P(0.8)=0.01×(1,0,0)＋0.10×(5,5,0)＋0.38×(15,7,0)＋0.51×(10,2,0)＝(11.31,4.18,0)P(1)=0×(1,0,0)＋0×(5,5,0)＋0×(15,7,0)＋1×(10,2,0)＝(10.00,2.00,0)001234524681012(1,0,0)(4.01,2.62,0)(6.42,3.88,0)(9.86,4.60,0)(11.31,4.18,0)(10.00,2.00,0)

用扫描线填充法将顶点为P0(2，5)，P1(2，10)，P2(9，6)，P3(16，11)，P4(12，2)，P5(7，2)的多边形填充。写出填充步骤并进行填充。答：（1）建立NET：（2）写出每一条扫描线的AET

用扫描线填充法将顶点为P0(2，5)，P1(2，10)，P2(9，6)，P3(16，11)，P4(12，2)，P5(7，2)的多边形填充。写出填充步骤并进行填充。答：（1）建立边分类表EL：57-5/34124/955.3-5/357-5/34124/955.3-5/3412.44/953.6-5/3412.94/952-5/31113.34/91020109-7/41197/51113.74/91020107.3-7/41110.47/51114.21020107.3-7/41110.47/51114.24/91020105.6-7/41111.87/51114.64/91020103.9-7/41113.27/511154/91020102.2-7/41114.67/51115.54/911167/511164/9y=2，AEL 交点：（7,2）（12,2），着色两点间所有点y=3，AEL 交点：（5.3,3）(12.4,3),根据左闭右开原则，着色（5,3）(14,3)之间所有点y=4,AEL 交点：(3.6,4)(12.9,4),根据左闭右开原则，着色(3,4)(12,4)之间所有点y=5,AEL 交点：(2,5)(13.3,5),根据左闭右开原则，着色(2,5)(13,5)之间所有点y=6,AEL 交点：（2,6）(9,6)(9,6)(13.7,6)，按X大小配对，并根据左闭右开原则，着色 （2,6）与(9,6)，(9,6)与(13,6)之间的所有点y=7,AEL交点：（2,7）(7.3,7)(10.4,7)(14.2,7)，按X大小配对，并根据左闭右开原则，着色(2,7)与(7,7)，(10,7)与(14,7)之间的所有点y=8,AEL交点：（2,8）(5.6,8)(11.8,8)(14.6,8)，按X大小配对，并根据左闭右开原则，着色（2,8）与(5,8)，(11,8)与(14,8)之间的所有点y=9,AEL交点：（2,9）(3.9,9)(13.2,9)(15,9)，按X大小配对，并根据左闭右开原则，着色（2,9）与(3,9)，(13,9)与(15,9)之间的所有点y=10,AEL交点：（2,10）(2.2,10)(14.6,10)(15.5,10)，按X大小配对，根据左闭右开原则，着色（2,10）与(2,10)，(14,10)与(15,10)之间的所有点y=11,AEL交点(16,11)(16,11),着色点(16,11)。试根据下列给定的条件，画出有关曲线的形状示意图。已知：图(a)所示三次Bezier曲线的控制多边形，共有4个控制点P0P1P2P3;图(b)所示为二次B样条曲线的控制多边形，共有4个控制点P0P1P2P3。要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字说明）B样条曲线上各特征点的切线矢量。图(a)：共7分（1）正确标出A、B、C、各点，（5分）（2）正确绘制曲线，（2分）图(b)：共8分A为P0P1的中点，A点的切矢为P0P1的走向且等于(P1-P0)；B为ΔAP1C中线P1M的中点，B点的切矢平行于AC，且等于1/2(P2-P0)；C为P1P2的中点，C点的切矢为P1P2的走向且等于(P2-P1)；D为ΔCP2E中线P2M1的中点，其切矢平行于CE，且等于1/2(P3-P1)；E为P2P3的中点，其切矢为P2P3的走向且等于(P3-P2)。(1)正确标出A、B、C、D、E各点，（5分）（2）正确绘制曲线，（2分）（3）说明（或作出）曲线上A、B、C、D、E各点的切矢，（1分）给定顶点P0P1P2P3构成的控制多边形，绘出三次Bezier曲线的形状示意图。要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字说明）曲线上各特征点的切线矢量。P3P2P0P1AGFEDCBH解：A为的P0P1中点，B为P1P2的中点，C为P2P3的中点，D为AB的中点，E为BC的中点，F为DE的中点，该曲线的起点为P0，P0的切矢为P0P1的走向且等于3（P1-P0）；终点为P3，P3的切矢为PP3P2P0P1AGFEDCBH2.S1—6—7—3—10—11—12—9—2—8—5—4311463114731148331148210311482911311482912311482931148231148583114853114831143113图中ABCD为矩形窗口，P1P2为待裁剪线段。试用中点分割法求出P1的最远可见点，当线段长度≤0.5时算法结束。P1P2已知窗口及线段的坐标分别为A（0，0）、B（0，6）、C（10，6）、D（10，0），P1P1P2解：设P1P2的中点为P12(x1，y1)x1=(-1+11)/2=5，y1=(11+0)/2=5因为P12P2不是完全不可见，故对P12P2作进一步处理设P12P2的中点为P22(x2，y2)x2=(5+11)/2=8，y2=(5+0)/2=2.5因为P22P2不是完全不可见，故对P22P2作进一步处理设P22P2的中点为P32(x3，y3)x3=(8+11)/2=9.5，y3=(2.5+0)/2=1.25因为P32P2不是完全不可见，故对P32P2作进一步处理设P32P2的中点为P42(x4，y4)x4=(9.5+11)/2=10.25，y4=(1.25+0)/2=1.125因为P42P2是完全不可见，故对作进一步处理设P32P42的中点为P52(x5，y5)x5=(9.5+10.25)/2=9.875，y5=(1.25+1.125)/2=1.1875所以P1的最远可见点为P52(9.875，1.1875)六、计算题（共15分）已知图中所示三角形ABC各顶点的坐标A(2，4)、Ｂ（4，4）、Ｃ（4，1），相对A点逆时针旋转600，各顶点分别到达A＇、B＇、C＇。试计算A＇、B＇、C＇的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。）解：：图中ABCD为矩形窗口，P1P2为待裁剪线段。试用中点分割法求出P1的最远可见点，当线段长度≤0.5时算法结束。已知：窗口及线段的坐标分别为A(-7，1)、B（-2，1）、C（-2，5）、D（-7，5）、P1（-9，0）、P2（0，6）。（1）确定每个分割点，并正确计算出坐标值；（每步2分，共10分）（2）精度判断计算；（3分）（3）给出正确结论。（2分）已知三角形ABC各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线Y=4做对称变换后到达A’、B’、C’。试计算A’、B’、C’的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵）（1）将坐标系平移至P1(0，4)点2分（2）以X轴对称2分（3）将坐标系平移回原处2分（4）变换矩阵：T=TA*TB*TC=2分（5）求变换后的三角形ABC各顶点的坐标A’、B’、C’7分A’:XA'=1，YA'=6B’:XB'=5，YB'=6C’:XA'=3，YA'=3已知图中所示三角形ABC各顶点的坐标A(2，4)、Ｂ（4，4）、Ｃ（4，1），相对A点逆时针旋转600，各顶点分别到达A＇、B＇、C＇。试计算A＇、B＇、C＇的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。）已知三角形ABC各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线P1P2(线段的坐标分别为：P1(-1,-1)、P2(8,3))做对称变换后到达A’、B’、C’。试计算A’、B’、C’的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵，列出计算式子，不要求计算结果）解：（1）P1P2与X轴的夹角为：1分（2）将坐标系平移至P1(-1,-1)点2分（3）绕原点转-θ角2分（4）以X轴对称2分（5）绕原点转θ角2分（6）将坐标系平移回原处（7）变换矩阵：T=TA*TB*TC*TD*TE3分（8）求变换后的三角形ABC各顶点的坐标A’、B’、C’3分A’:B’:C’:已知图示三角形ABC各顶点的坐标A(1，2)、Ｂ（5，2）、Ｃ（3，5），相对直线X=4作对称变换后，分别到达A＇、B＇、C＇。试计算A＇、B＇、C＇的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。）已知三角形ABC各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线Y=4-X做对称变换后到达A’、B’、C’。试计算A’、B’、C’的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵）（1）将坐标系平移至P1(4，0)点2分（2）以Y=X对称2分（3）将坐标系平移回原处2分（4）变换矩阵：T=TA*TB*TC=2分（5）求变换后的三角形ABC各顶点的坐标A’、B’、C’1分A’:XA'=2，YA'=-32分B’:XB'=2，YB'=-12分C’:XA'=-1，YA'=12分1．已知三角形ABC各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线P1P2(线段的坐标分别为：P1(-1,-1)、P2(8,3))做对称变换后到达A’、B’、C’。试计算A’、B’、C’的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵，列出计算式子，不要求计算结果）

解:(1)将坐标平移至P1(-1,-1)点:(2)线段P1P2与X轴夹角为(3)顺时针方向旋转θ角:(4)关于X轴对称:(5)逆时针转回:(6)将坐标系平移回原处(7)变换矩阵:(8)求变换后的三角形ABC各顶点的坐标A’、B’、C’A’:B’:C’:2．已知四个型值点P1(4,1,1)，P2(0,0,0)，P3(3,0,3)，和P4(-1,1,1)，用线段连接相邻的Pi，构造一条连接好的三次B样条曲线，写出该曲线的参数表达式，并计算参数为0，1/3，2/3和1的值。答案：x(t)=4*+0*+3*+(-1)*y(t)=1*+0*+0*+1*z(t)=1*+0*+3*+1*当：t=0,P(x,y,z)=P(1.1667,0.1667,0.6667)t=1/3，P(x,y,z)=P(1.3025,0.0556,1.1667)t=2/3,P(x,y,z)=P(1.6975,0.0556,1.7778)t=1，P(x,y,z)=P(1.8333,0.1667,2.1667)七、分析题（共10分）用扫描线填充法将顶点为P0(2，5)，P1(2，10)，P2(9，6)，P3(16，11)，P4(18，4)，P5(12，2)，P6(7，2)的多边形填充。请写出EL和AEL。建立用扫描线填充法将顶点为P0(2，1)，P1(1，7)，P2(8，5)，P3(7，1)，P4(6，4)的多边形填充时的边分类表。五、算法说明题〖每小题15分，共计30分〗2．画出Cohen-Sutherland裁剪算法的流程图并说明此算法最适合的使用场合七、根据算法作图题〖每小题15分，共计15分〗

五、已知一多边形如图，写出其新边表的数据结构。六、利用分割递推Casteljau算法，作图求由P0,P1,P2,P3四个点定义的Bezier曲线上的一个点C(0.5)并利用Bezier曲线的性质画出两端点的切线。P0P1，P2P3为两端点的切线C（0.5）为Bezier曲线上t=0.5的点

八、对斜平行投影，设定投影方向矢量为

形体被投影到XOY平面上。形体上的一点为(x，y，z)，确定它在XOY平面上的投影(xs,ys)。六、（本题15分）如右图所示的多边形，若采用改进的有效边表算法进行填充，在填充时采用“下闭上升”的原则（即删除y=ymax的边之后再填充）试画出该多边形的ET表和当扫描线Y=3和Y=8时的AET表。解：ET表如下：当扫描线Y=8时的AET表：当扫描线Y=3时的AET表：7/37-1/375-1/24.553/4991/2/八、（本题10分）如图所示，物体ABCDEFGH进行如下变换，写出其变换矩阵并求出复合变换后顶点的齐次坐标。平移使点C与点P（1，－1，0）重合；2、绕z轴旋转60°。解：平移点C与点P重合的平移矩阵为绕z轴旋转60°矩阵为所以，复合变换后的矩阵为T1*T2，有：其中A’B’C’D’E’F’G’H’为变换后对应的齐次坐标。五、如下图所示多边形，若采用改进的有效边表算法进行填充，试写出该多边形的ET表和当扫描线Y=4时的AET表。（本题10分）解：ET表：六、假设在观察坐标系下窗口区的左下角坐标为（wxl=10,wyb=10）,右上角坐标为（wxr=50，wyt=50）。设备坐标系中视区的左下角坐标为（vxl=10,vyb=30）,右上角坐标为（vxr=50,vyt=90）。已知在窗口内有一点p(20,30),要将点p映射到视区内的点p`,请问p`点在设备坐标系中的坐标是多少？（本题10分）解：eq\o\ac(○,1)将窗口左下角点（10,10）平移至观察坐标系的坐标原点，平移矢量为（-10，-10）。eq\o\ac(○,2)针对坐标原点进行比例变换，使窗口的大小和视区相等。比例因子为：Sx=(50-10)/(50-10)=1;Sy=(90-30)/(50-10)=1.5。eq\o\ac(○,3)将窗口内的点映射到设备坐标系的视区中，再进行反平移，将视区的左下角点移回到设备坐标系中原来的位置（10，30），平移矢量为（10，30）。p`点在设备坐标系中的坐标是（20，60）。利用中点Bresenham画圆算法的原理推导第一象限从y=x到x=0圆弧段的扫描转换算法（要求写清原理、误差函数、递推公式）。(10分)解：x方向为最大走步方向，xi+1=xi-1,yi+1由d确定di=F(xm,ym)=(xi-1)2+(yi+0.5)2-R2⑴di<0时，点在圆内，xi+1=xi-1,yi+1=yi+0.5di+1=F(xm,ym)=(xi-2)2+(yi+1.5)2-R2=xi2-4xi+4+yi2+3yi+1.52-R2=(xi-1)2-2xi+3+(yi+0.5)2+2yi+2-R2=di-2xi+2yi+5=di+2(yi-xi)+5⑵di≥0时，点在圆外，xi+1=xi-1,yi+1=yidi+1=F(xm,ym)=(xi-2)2+(yi+0.5)2-R2=xi2-4xi+4+(yi+0.5)2-R2=di-2xi+3五、（本题10分）利用中点Bresenham画圆算法的原理推导第一象限从y=0到x=y圆弧段的扫描转换算法（设半径为R，要求写清原理、误差函数、递推公式）。解：算法原理：如图a所示，从y=0到x=y圆弧段即为逆时针方向，此时当y方向走一步时，x方向能否走一步需要根据判别式进行判断，推导如下：先构造函数F(x,y)=x2+y2-R2，对于圆上点F(x,y)＝0；对于圆外点F(x,y)>0；圆内点F(x,y)<0。假设M为Pr和Pl的中点即M(xi-0.5,yi+1)所以判别式为：图ad=F(xM,yM)=F(xi-0.5,yi+1)=(xi-0.5)2+(yi+1)2-R2图a当d<0时，如图b，下一点取Pr（xi,yi+1）当d>0时，如图c，下一点取Pl(xi-1,yi+1)当d＝0时，任取上述情况中一种即可。误差项的递推：如图b所示，当d<0时，取Pr（xi,yi+1），欲判断下一个象素，应计算：d’=F(xi-0.5,yi+2)=d+2yi+3，即d的增量为2yi+3；如图c所示，当d>0时图b，取Pl(xi-1,yi+1)，欲判断下一个象素，应计算：图bd’=F(xi-1.5,yi+2)=d-2xi+2yi+3,即d的增量为-2xi+2yi+3。绘制第一个点为（R,0）,所以d的初始值为d0＝F（R-0.5,1）=1.25-R图c图c1、已知三角形ABC各顶点的坐标A(1,2)、B(5,2)、C(3,5)，相对直线Y=4做对称变换后到达A’、B’、C’。试计算A’、B’、C’的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵）解：（1）将坐标系平移至P1(0，4)点（2）以X轴对称（3）将坐标系平移回原处（4）变换矩阵：T=TA*TB*TC=（5）求变换后的三角形ABC各顶点的坐标A’、B’、C’A’:XA'=1，YA'=6B’:XB'=5，YB'=6C’:XA'=3，YA'=3七、（本题15分）如图所示四边形ABCD，求绕P（5，4）点逆时针旋转90度的变换矩阵，并求出各端点坐标，画出变换后的图形。解：1.一条直线的两个端点是（0，0）和（6，18），计算x从0变到6时y所对应的值。解答：由于直线的方程没有给出，所以必须找到直线的方程。下面是寻找直线方程（y＝mx＋b）的过程。首先寻找斜率： m＝⊿y/⊿x＝（y2－y1）/（x2－x1）＝（18－0）/(6－0)＝3接着b在y轴的截距可以代入方程y＝3x＋b求出0＝3╳0＋b。因此b＝0，所以直线方程为y＝3x。当x从0变到6时y所对应的值如下表：x0123456y03691215182．写出关于xy平面对称面的镜面反射变换。解答：由图得知P（x，y，z）得对称点是（x，y，－z）。其反射变换是：PP’(x,y,z)P(x,y,z)yxz3．写出直线方程对应的xy坐标方程，假设坐标系是由xy坐标系旋转90°得到。解答：旋转坐标变换方程可以写成： , 代入原方程式得到，写成y的方程式，得4．使用斜截式方程画斜率介于0°和45°之间的直线的步骤是什么？解答：用斜截式方程画直线的过程如下：计算dx：dx＝x2－x1。计算dy：dy＝y2－y1。计算m：m＝dy/dx。计算b:b＝y1－m×x1设置左下方的端点坐标为（x，y），同时将xend设为x的最大值。如果dx<0，则x＝x2、y＝y2和xend＝x1。如果dx>0,那么x＝x1、y＝y1和xend＝x2。测试整条线是否已经画完，如果x>xend就停止。在当前的（x，y）坐标画一个点。增加x：x＝x＋1。根据方程y＝mx＋b计算下一个y值。转到步骤（6）。5．写出从到的段与（a）垂直线x＝a，（b）水平线y＝b的交点。解答：线段的参数方程为： 因为，将它代入方程得到。然后把此值再代入方程，则交点是和因为，将它代入方程得到。然后把此值再代入方程，则交点是和6．使用Bresenham算法画斜率介于0°和45°之间的直线所需的步骤。解答：用Bresenham算法画直线的过程如下：（1）计算初始值dx＝x2－x1 Inc2＝2（dy－dx）dy＝y2－y1 d＝Inc1－dxInc1＝2dy（2）设置左下方的端点坐标为（x，y），同时将xend设为x的最大值。如果dx<0，则x＝x2，y＝y2和xend＝x1。如果dx>0,那么x＝x1、y＝y1和xend＝x2。在当前的（x，y）坐标画一个点。判断整条线段是否已经画完，如果x＝xend就停止。计算下一像素的位置。如果d<0，那么d＝d＋Inc1。如果d≥0，那么d＝d+Inc2，并且y＝y＋1。增加x：x＝x＋1。在当前的（x，y）坐标画一个点。转到步骤（4）。6.已知4个型值点（1.0，2.0，），（2.5，3.5），（4.0，4.5），（5.0，4.0），求各段三次样条曲线。Si（X）（i=1,2,3）,设边界条件为抛物线端解：h1=1.5,h2=1.5,h3=1λ2=h2/(h2+h1)=0.5u2=h1/(h1+h2)=0.5;λ3=h3/(h2+h3)=0.4;u3=h2/(h2+h3);R2=3*[3u2*(y3-y2)/h2+λ2*(y2-y1)/h1]=4.