高中数学北师大必修课件：-柱锥台的体积

7.2

柱、锥、台的体积7.2柱、锥、台的体积高中数学北师大必修课件：-柱锥台的体积柱体、锥体、台体的体积公式

柱体、锥体、台体的体积公式高中数学北师大必修课件：-柱锥台的体积规律总结在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体的体积公式V柱体=Sh;如果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式V锥体=

Sh.因此,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为:由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.规律总结在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体【做一做1】

已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为

.

解析:由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为

【做一做1】已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为【做一做2】

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为

.

解析:设该圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h.【做一做2】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)等底等高的两个柱体的体积相同.(

)(2)等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍.(

)√××√思考辨析√××√探究一探究二探究三思想方法探究一柱体体积的计算【例1】

正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与该侧面的底边所成的角为45°,则此三棱柱的体积为(

)解析:如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,面对角线AB1=2,∠B1AB=45°,答案:A探究一探究二探究三思想方法探究一柱体体积的计算解析:如图所示探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.求柱体的体积关键是求其底面面积和高,底面面积利用平面图形面积的求法,常转化为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形,进而求解.2.一个几何体在空间中可以有不同的放置方法,例如三棱柱既可以把底面放在水平面上,也可以将其中的一个侧面放在水平面上,但在求其体积时,一定要分清棱柱真正的底面,放在水平面上的不一定是底面.探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.求柱体的体积关键是求其探究一探究二探究三思想方法变式训练1

如图所示,某简单几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形,且其体积为

,则该几何体的俯视图可以是(

)

探究一探究二探究三思想方法变式训练1如图所示,某简单几何体探究一探究二探究三思想方法答案:D探究一探究二探究三思想方法答案:D探究一探究二探究三思想方法【例2】

如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形PDAQ为直角梯形,∠ADP=90°,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=

PD.求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.分析:对于棱锥Q-ABCD,其底面为正方形ABCD,高即为QA,易求体积;对于三棱锥P-DCQ,若以△DCQ为底面,则应证明PQ是其高,然后再计算,也可将三角形CDP作为底面,这时其高易证即为AD,从而可求体积.探究二锥体体积的计算

探究一探究二探究三思想方法【例2】如图所示,四边形ABCD探究一探究二探究三思想方法解:设AB=a.由题意知AQ即为棱锥Q-ABCD的高,方法一:由于棱锥P-DCQ与棱锥Q-CDP是同一个棱锥,其体积相等,而其底面是Rt△CDP,面积S1=×a×2a=a2.取DP的中点N,连接QN,则QN∥AD.又AD⊥DC,AD⊥DP,DC∩DP=D,所以AD⊥平面CDP.故QN⊥平面CDP.因此QN就是三棱锥Q-CDP的高,且QN=AD=a.于是V1∶V2=1.探究一探究二探究三思想方法解:设AB=a.由题意知AQ即为棱探究一探究二探究三思想方法方法二:因为QA⊥平面ABCD,QA⫋平面PDAQ,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ.于是得PQ⊥DC.所以DQ2+PQ2=PD2.所以PQ⊥QD.又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.探究一探究二探究三思想方法方法二:因为QA⊥平面ABCD,Q探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎样求锥体体积1.锥体的体积公式V=

Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.2.三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎样求锥体体积探究一探究二探究三思想方法变式训练2若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其体积等于

.

解析:该圆锥的底面半径为R,由于轴截面是等腰直角三角形,因此圆锥的高为R.答案:9π探究一探究二探究三思想方法变式训练2若圆锥的轴截面是面积为9探究一探究二探究三思想方法探究三台体体积的计算

【例3】

圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么该圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留π)解:如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面积=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202=1

100π(cm2).故圆台的表面积为1

100π

cm2.探究一探究二探究三思想方法探究三台体体积的计算

解:如图所示探究一探究二探究三思想方法反思感悟求台体体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高,然后套用公式V=

h计算求解,要充分利用截面、轴截面、展开图等求出所需要的量,再代入公式计算.探究一探究二探究三思想方法反思感悟求台体体积的一般方法是求出探究一探究二探究三思想方法变式训练3体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是(

)A.54 B.54πC.58 D.58π解析:设上底面半径为r,则由题意得下底面半径为3r,设圆台高为h1,答案:A探究一探究二探究三思想方法变式训练3体积为52的圆台,一个底探究一探究二探究三思想方法转化思想在求体积中的应用【典例】

如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为(

)探究一探究二探究三思想方法转化思想在求体积中的应用探究一探究二探究三思想方法方法点睛转化思想是解决数学问题的基本思想,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.答案:A

探究一探究二探究三思想方法方法点睛转化思想是解决数学问题的基探究一探究二探究三思想方法变式训练已知直三棱柱ABC-A1B1C1,点C到AB的距离为3cm,侧面ABB1A1的面积为8cm2,求直三棱柱的体积.解:补上一个相同的直三棱柱ACD-A1C1D1,可以得到一个直四棱柱ABCD-A1B1C1D1.这个直四棱柱可以看成以ABB1A1为底面的四棱柱DCC1D1-ABB1A1,所以点C到AB的距离即为C到底面ABB1A1的距离,探究一探究二探究三思想方法变式训练已知直三棱柱ABC-A1B12345答案:A1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是(

)12345答案:A1.如图所示,正方体ABCD-A1B1123452.已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱的体积为(

)A.2π B.4π C.8π D.16π解析:V圆柱=πr2h=π×(4÷2)2×4=16π.答案:D123452.已知一个圆柱的底面直径和母线长均为4,则该圆柱123453.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为(

)解析:设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径为r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R,答案:D123453.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那123454.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是

.

解析:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面积S=400,高h=20,所以

123454.已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺123455.已知一个几何体的三视图如图所示,试计算其体积.

解:由三视图可知,该几何体是由一个圆锥和一个正方体构成的.123455.已知一个几何体的三视图如图所示,试计算其体积.7.2

柱、锥、台的体积7.2柱、锥、台的体积高中数学北师大必修课件：-柱锥台的体积柱体、锥体、台体的体积公式

柱体、锥体、台体的体积公式高中数学北师大必修课件：-柱锥台的体积规律总结在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体的体积公式V柱体=Sh;如果设S上=0,S下=S,就得到锥体的体积公式V锥体=

Sh.因此,柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为:由图可见,柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例.规律总结在台体的体积公式中,如果设S上=S下=S,就得到柱体【做一做1】

已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为

.

解析:由题意可得六棱台上、下底面的面积分别为

【做一做1】已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为【做一做2】

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为

.

解析:设该圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h.【做一做2】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)等底等高的两个柱体的体积相同.(

)(2)等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍.(

)√××√思考辨析√××√探究一探究二探究三思想方法探究一柱体体积的计算【例1】

正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与该侧面的底边所成的角为45°,则此三棱柱的体积为(

)解析:如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1中,面对角线AB1=2,∠B1AB=45°,答案:A探究一探究二探究三思想方法探究一柱体体积的计算解析:如图所示探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.求柱体的体积关键是求其底面面积和高,底面面积利用平面图形面积的求法,常转化为三角形及四边形,高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形,进而求解.2.一个几何体在空间中可以有不同的放置方法,例如三棱柱既可以把底面放在水平面上,也可以将其中的一个侧面放在水平面上,但在求其体积时,一定要分清棱柱真正的底面,放在水平面上的不一定是底面.探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.求柱体的体积关键是求其探究一探究二探究三思想方法变式训练1

如图所示,某简单几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形,且其体积为

,则该几何体的俯视图可以是(

)

探究一探究二探究三思想方法变式训练1如图所示,某简单几何体探究一探究二探究三思想方法答案:D探究一探究二探究三思想方法答案:D探究一探究二探究三思想方法【例2】

如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形PDAQ为直角梯形,∠ADP=90°,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=

PD.求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.分析:对于棱锥Q-ABCD,其底面为正方形ABCD,高即为QA,易求体积;对于三棱锥P-DCQ,若以△DCQ为底面,则应证明PQ是其高,然后再计算,也可将三角形CDP作为底面,这时其高易证即为AD,从而可求体积.探究二锥体体积的计算

探究一探究二探究三思想方法【例2】如图所示,四边形ABCD探究一探究二探究三思想方法解:设AB=a.由题意知AQ即为棱锥Q-ABCD的高,方法一:由于棱锥P-DCQ与棱锥Q-CDP是同一个棱锥,其体积相等,而其底面是Rt△CDP,面积S1=×a×2a=a2.取DP的中点N,连接QN,则QN∥AD.又AD⊥DC,AD⊥DP,DC∩DP=D,所以AD⊥平面CDP.故QN⊥平面CDP.因此QN就是三棱锥Q-CDP的高,且QN=AD=a.于是V1∶V2=1.探究一探究二探究三思想方法解:设AB=a.由题意知AQ即为棱探究一探究二探究三思想方法方法二:因为QA⊥平面ABCD,QA⫋平面PDAQ,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ.于是得PQ⊥DC.所以DQ2+PQ2=PD2.所以PQ⊥QD.又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.探究一探究二探究三思想方法方法二:因为QA⊥平面ABCD,Q探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎样求锥体体积1.锥体的体积公式V=

Sh既适合棱锥,也适合圆锥,其中棱锥可以是正棱锥,也可以不是正棱锥.2.三棱锥的体积求解具有灵活性,因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面,所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换,使得转换后,该三棱锥的底面的面积易求、可求,高易求、可求,这一方法叫作等积法.探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎样求锥体体积探究一探究二探究三思想方法变式训练2若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其体积等于

.

解析:该圆锥的底面半径为R,由于轴截面是等腰直角三角形,因此圆锥的高为R.答案:9π探究一探究二探究三思想方法变式训练2若圆锥的轴截面是面积为9探究一探究二探究三思想方法探究三台体体积的计算

【例3】

圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°,那么该圆台的表面积和体积分别是多少?(结果中保留π)解:如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,所以c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40,所以AB=SB-SA=20,所以S表面积=S侧+S上+S下=π(10+20)×20+π×102+π×202=1

100π(cm2).故圆台的表面积为1

100π

cm2.探究一探究二探究三思想方法探究三台体体积的计算

解:如图所示探究一探究二探究三思想方法反思感悟求台体体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高,然后套用公式V=

h计算求解,要充分利用截面、轴截面、展开图等求出所需要的量,再代入公式计算.探究一探究二探究三思想方法反思感悟求台体体积的一般方法是求出探究一探究二探究三思想方法变式训练3体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是(

)A.54 B.54πC.58 D.58π解析:设上底面半径为r,则由题意得下底面半径为3r,设圆台高为h1,答案:A探究一探究二探究三思想方法变式训练3体积为52的圆台,一个底探究一探究二探究三思想方法转化思想在求体积中的应用【典例】

如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为(

)探究一探究二探究三思想方法转化思想在求体积中的应用探究一探究二探究三思想方法方法点睛转化思想是解决数学问题的基本思想,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.答案:A

探究一探究二探究三思想方法方法点睛转化思想是解决数学问题的基探究一探究二探究三思想方法变式训练已知直三棱柱ABC-A1B1C1,点C到AB的距离为3cm,侧面ABB1