最大值和最小值定理最大值和最小值课件

第四节连续函数的连续性与间断点函数的连续性函数的间断点左连续左连续第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点其它间断点一、连续与间断1第四节连续函数的连续函数的函数的左连续上面的定义用“”语言表达如下：就称函数在点连续。定义1设函数在点的某一邻域内有定义，若函数当时的极限存在，即处的函数值且等于它在点此定义经常用来判断函数在某点的连续性定义2设函数在点的某一邻域内有定义，若对于使得对于适合不等式的一切对应的函数值都满足不等式就称函数在点连续。2上面的定义用“”语言表达如下：就称函数在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。如函数是连续函数。但不是连续函数。3在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者证明：函数是连续函数。证：设当有增量时，则又因为当时，当时，由夹逼准则得这就证明了在内连续。4证明：函数是连续函数。证：设当有增量时，则又因为当

函数的间断点则函数在点不连续，称为函数的不连续点而点设函数在点的某去心邻域内有定义。有下列情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但或间断点。若函数5函数的间断点则函数在点不连续，称为函数的不连续函数间断点的几种常见类型：例1

函数在点没有定义，若补充定义：令时则该函数在处连续。所以，称为该函数的可去间断点。。１２．为函数的间断点。所以6函数间断点的几种常见类型：例1函数在点没有定例2

函数而。.改变函数的定义，令则该函数在成为连续。也称为该函数的可去间断点。。.7例2函数而。.改变函数的定义，令则该函数在例3

函数。。１－１所以不存在。称为该函数的跳跃间断点。8例3函数。。１－１所以不存在。称为该函数的跳跃例4

正切函数在处没有定义，所以是函数的间断点。所以，称为函数的无穷间断点。9例4正切函数在处没有定义，所以是函数的间断点例5

下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。10例5下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那解是可去间断点，属于第一类间断点。补充定义：则该函数在点连续。是无穷间断点，属于第二类间断点。11解是可去间断点，属于第一类间断点。补充定义：则该函数在点连续当时，所以是可去间断点，属于第一类间断点

补充定义：则函数在该点连续。当时，则是无穷间断点。所以是可去间断点。属于第一类

补充定义：则函数在该点连续。12当时，所以是可去间断点，属于第一类间断点补充定义：则函函数在-1到+1之间变动无限多次，所以是振荡间断点，属于第二类间断点。则是跳跃间断点，属于第一类间断点。

13函数在-1到+1之间变动无限多次，所以是振荡间解例6

讨论函数的连续性，若有间断点判断其类型。14解例6讨论函数的连续性，若有间断点判断其类型。是跳跃间断点。是跳跃间断点。函数在处既不左连续，也不右连续。函数在处既不左连续，也不右连续。15是跳跃间断点。是跳跃间断点。函数在处既不左连续，也不连续函数和、差、积、商的连续性反函数的连续性复合函数的连续性基本初等函数的连续性初等函数的连续性二、连续函数的运算法则16连续函数和、差、积、商的连续性反函数的连续性复连续函数的和、积及商的连续性例：证明：证：定理1、2定理317连续函数的和、积及商的连续性例：证明：证：定理1、2例1如在它们的定义域内是连续的。18例1如在它们的定义域内是连续的。18在它们的定义域内都是连续的。反函数、复合函数的连续性定理419在它们的定义域内都是连续的。反函数、复合函数的连续性定理定理5注：或1.2.（2）式表示在求复合函数时，极限符号与函数符号可以交换次序;3.4.20定理5注：或1.2.（2）式表示在求复合函数时，2121解：22解：22定理623定理623初等函数的连续性24初等函数的连续性242525三、闭区间上的连续函数的性质闭区间上连续函数的性质最大值与最小值定理有界性定理介值定理零点定理26三、闭区间上的连续函数的性质闭区间上连续函数的性质最大值与在区间（－∞,＋∞）内有最大值1和最小值-1；在开区间（0,＋∞）内的最大值和最小值都等于1（最大值和最小值可以相等）。最大值和最小值定理

最大值和最小值:27在区间（－∞,＋∞）内有最大值1和最小值-1；在开区间（0,注:定理1内，既无最大值，也无最小值。（非闭区间）例如，在内连续，但在28注:定理1内，既无最大值，也无最小值。（非闭区间）例如，在。。.1122有界性定理定理229。。.1122有界性定理定理229介值定理零点:定理330介值定理零点:定理330定理4推论31定理4推论311、最值定理闭区间上连续的函数必能取得最大值和最小值。2、有界定理闭区间上的连续函数有界。3、介值定理4、零点定理闭区间上连续函数的性质：以上所有定理，都是存在性定理，即：定理只是指出结论的存在（不一定唯一），而且不能确定相关的数值是多少。321、最值定理闭区间上连续的函数必能取得最大值和最小值。证33证3334344．最大值和最小值定理5．有界性定理6．零点定理7．介值定理小结：1．连续函数的和、积及商的连续性2．反函数与复合函数的连续性3．初等函数的连续性354．最大值和最小值定理5．有界性定理6．零点定理7．介值定理第四节连续函数的连续性与间断点函数的连续性函数的间断点左连续左连续第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点其它间断点一、连续与间断36第四节连续函数的连续函数的函数的左连续上面的定义用“”语言表达如下：就称函数在点连续。定义1设函数在点的某一邻域内有定义，若函数当时的极限存在，即处的函数值且等于它在点此定义经常用来判断函数在某点的连续性定义2设函数在点的某一邻域内有定义，若对于使得对于适合不等式的一切对应的函数值都满足不等式就称函数在点连续。37上面的定义用“”语言表达如下：就称函数在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。如函数是连续函数。但不是连续函数。38在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数，或者证明：函数是连续函数。证：设当有增量时，则又因为当时，当时，由夹逼准则得这就证明了在内连续。39证明：函数是连续函数。证：设当有增量时，则又因为当

函数的间断点则函数在点不连续，称为函数的不连续点而点设函数在点的某去心邻域内有定义。有下列情形之一：（1）在没有定义；（2）虽在有定义，但不存在；（3）虽在有定义，且存在，但或间断点。若函数40函数的间断点则函数在点不连续，称为函数的不连续函数间断点的几种常见类型：例1

函数在点没有定义，若补充定义：令时则该函数在处连续。所以，称为该函数的可去间断点。。１２．为函数的间断点。所以41函数间断点的几种常见类型：例1函数在点没有定例2

函数而。.改变函数的定义，令则该函数在成为连续。也称为该函数的可去间断点。。.42例2函数而。.改变函数的定义，令则该函数在例3

函数。。１－１所以不存在。称为该函数的跳跃间断点。43例3函数。。１－１所以不存在。称为该函数的跳跃例4

正切函数在处没有定义，所以是函数的间断点。所以，称为函数的无穷间断点。44例4正切函数在处没有定义，所以是函数的间断点例5

下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。45例5下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那解是可去间断点，属于第一类间断点。补充定义：则该函数在点连续。是无穷间断点，属于第二类间断点。46解是可去间断点，属于第一类间断点。补充定义：则该函数在点连续当时，所以是可去间断点，属于第一类间断点

补充定义：则函数在该点连续。当时，则是无穷间断点。所以是可去间断点。属于第一类

补充定义：则函数在该点连续。47当时，所以是可去间断点，属于第一类间断点补充定义：则函函数在-1到+1之间变动无限多次，所以是振荡间断点，属于第二类间断点。则是跳跃间断点，属于第一类间断点。

48函数在-1到+1之间变动无限多次，所以是振荡间解例6

讨论函数的连续性，若有间断点判断其类型。49解例6讨论函数的连续性，若有间断点判断其类型。是跳跃间断点。是跳跃间断点。函数在处既不左连续，也不右连续。函数在处既不左连续，也不右连续。50是跳跃间断点。是跳跃间断点。函数在处既不左连续，也不连续函数和、差、积、商的连续性反函数的连续性复合函数的连续性基本初等函数的连续性初等函数的连续性二、连续函数的运算法则51连续函数和、差、积、商的连续性反函数的连续性复连续函数的和、积及商的连续性例：证明：证：定理1、2定理352连续函数的和、积及商的连续性例：证明：证：定理1、2例1如在它们的定义域内是连续的。53例1如在它们的定义域内是连续的。18在它们的定义域内都是连续的。反函数、复合函数的连续性定理454在它们的定义域内都是连续的。反函数、复合函数的连续性定理定理5注：或1.2.（2）式表示在求复合函数时，极限符号与函数符号可以交换次序;3.4.55定理5注：或1.2.（2）式表示在求复合函数时，5621解：57解：22定理658定理623初等函数的连续性59初等函数的连续性246025三、闭区间上的连续函数的性质闭区间上连续函数的性质最大值与最小值定理有界性定理介值定理零点定理61三、闭区间上的连续函数的性质闭区间上连续函数的性质最大值与在区间（－∞,＋∞）内有最大值1和最小值-1；在开区