2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.1直线与平面垂直的判定3课件新人教版必修2202202262208

人教版必修2第二章

点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直．3．知道直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．学习目标1．我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？情景导入2．工人师傅通常把角尺的一边放在工作台面上，再看角尺的另一边与钻头是否密合，然后把角尺换一个方向(不是原来的反方向)，照样再检查一次．如果两次检查中，钻头与角尺的边都能密合，那么就可断定钻头与工作台面是垂直的．相互讨论，这是为什么？1．如果直线l与平面α内的，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：，直线l叫做平面α叫做．它们的惟一公共点P叫做．图形表示(如右图)任意一条直线都垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足知识梳理2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与平面内的，则该直线与此平面垂直．3．线面垂直的判定定理的推论：若a∥b，a⊥α，则.两条相交直线都垂直b⊥α4．平面的斜线：一条直线和一个平面，但不和这个平面，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的．相交垂直斜足射影5．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面，或在内，我们说它们所成的角是0°.锐角直角平行平面探究1：一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，为什么这条直线不一定垂直于这个平面？问题探究提示：如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，则这样的直线能够作无数条．很明显直线AB垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线AB⊂平面AC；直线A1B1也垂直于平面AC内的这无数条直线，而直线A1B1∥平面AC.其原因是，虽然这两条直线都垂直于平面AC内的无数条直线，但是这无数条直线是互相平行的，没有两条相交的直线，所以不满足直线和平面垂直的判定定理的条件“两条相交直线”．

因此，一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，这条直线不一定垂直于这个平面．直线与平面垂直的判定定理有三个条件：①平面内两条直线；②这两条直线相交；③一条直线同时垂直于这两条直线．在应用判定定理时，这三个条件缺一不可．探究2：直线和平面垂直的判定定理如何用符号语言描述？提示：a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝O，则a⊥α.探究3：①过一点与一个平面垂直的直线有几条？②过一点与一条直线垂直的平面有几个？提示：注意到一个事实：①过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条；②过一点与一条直线垂直的平面有且只有一个.典例平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PA＝PB＝PC，若点O是△ABC的外心，求证：PO⊥平面ABC.易错盘点【错解】如图所示，连接AO，BO，CO.因为O是△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO为公共边，所以△AOP≌△BOP≌△COP，所以∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以PO⊥平面ABC.【错因分析】错解仅从三个三角形全等，就认为必有∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°，这是没有根据的，三个三角形全等只能保证∠AOP＝∠BOP＝∠COP，没有说这些角都是直角．因此，上述证明是错误的．【正解】

如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PA＝PB＝PC，所以PD⊥AB，PE⊥BC，因为O是△ABC的外心，所以OD⊥AB，OE⊥BC，又因为PD∩DO＝D，OE∩PE＝E，所以AB⊥平面PDO，BC⊥平面PEO，于是有AB⊥PO，BC⊥PO，AB∩BC＝B，从而推得PO⊥平面ABC.易错补练如图，已知α∩β＝l，PA⊥α于A，PB⊥β于B，AQ⊥l于Q.求证：BQ⊥l.证明：连接AB.∵α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，∴PA⊥l，PB⊥l.又PA∩PB＝P，∴l⊥面PAB.∴l⊥AB.又AQ⊥l，而AQ∩AB＝A，∴l⊥面AQB.∴l⊥BQ.1．直线和平面垂直的定义需注意的几点：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．要点归纳(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种方法．2．直线和平面垂直的判定定理关于这个定理的理解需注意的几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不能改为“平面内的两条直线”．(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．3．判定直线与平面垂直的方法：定义法和定理法．4．斜线与平面所成的角(空间角)是用斜线和其射影所成的角(平面角)来定义的．直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则(

)A．l⊥m

B．l∥mC．l，m异面 D．l，m相交而不垂直解析：根据线面垂直的定义知，l⊥m.答案：A随堂训练2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①三角形的两条边；②梯形的两条边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．不能保证该直线与平面垂直的是(

)A．①③ B．②C．②④ D．①②④解析：梯形和正六边形中均有互相平行的两条边．答案：C3．正方体AC1中，直线A1B1与平面AC所成的角等于(

)A．0° B．30°C．45° D．60°解析：∵A1B1∥AB，∴A