2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1.3空间中直线平面之间的位置关系1.4平面与平面之间的位置关系3课件新人教版必修2202202262183

人教版必修2第二章

点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3空间中平面直线之间的位置关系1．空间中两条直线的位置关系：__________________．2．若a∥b，b∥c，则__________.3．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，平行、相交、异面a∥c知识链接(1)与棱AB平行的棱是___________________________．(2)与棱AB相交的棱是___________________________．(3)与棱AB异面的棱是_____________________________．(4)与棱AB垂直的棱是_____________________________．[答案]

(1)A1B1，C1D1，CD

(2)BC，B1B，AD，AA1

(3)CC1，DD1，A1D1，B1C1

(4)BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1

4．若∠AOB＝110°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角为________.[解析]

∵a∥OA，根据等角定理，又∵异面直线所成的角为锐角或直角，∴a与OB所成的角为70°.[答案]

70°1．空间中直线与平面的位置关系(1)位置关系：有且只有三种①直线在平面内——有__________个公共点；②直线与平面相交——________________公共点；③直线与平面平行——________公共点．直线与平面______或______的情况统称为直线在平面外．[归纳总结]“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”表示不同的意义，前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．无数有且只有一个没有相交平行自主预习(2)符号表示：直线l在平面α内，记为__________；直线l与平面α相交于点M，记为____________；直线l与平面α平行，记为__________.(3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示．l⊂αl∩α＝Ml∥α[破疑点]一般地，直线l在平面α内时，应把直线l画在表示平面α

的平行四边形内，如图a；直线l与平面α相交时，应画成直线l与平面α只有一个公共点，如图b；直线l与平面α平行时，应画成直线l与表示平面α的平行四边形的其一边平行且在表示平面的平行四边形外，如图c.2．两个平面之间的位置关系(1)位置关系：有且只有两种①两个平面平行——_________公共点；②两个平面相交——有________公共直线．(2)符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为____________.(3)图示：两个平面α，β平行，如图a所示；两个平面α，β相交于直线l，如图b所示．没有一条α∩β＝l[破疑点]

1.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．2．两个相交平面的画法．1．直线m∥平面α，则m与α的公共点有(

)A．0个 B．1个C．2个 D．无数个[答案]

A预习自测2．直线l与平面α有两个公共点，则(

)A．l⊂α B．l∥αC．l与α相交 D．l∈α[答案]

A3．已知两个不同的平面α，β，若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(

)A．平行 B．相交C．重合 D．不确定[答案]

B4．若平面α和平面β无公共点，则α和β的位置关系是________.[答案]

平行例题1

下列五个命题中正确命题的个数是(

)①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α

内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α1.直线与平面的位置关系互动研究⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]

如图所示，序号正误理由①×在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内②×AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，但AA′不平行于BC③×AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交④√A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⊄平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD⑤×AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′⊂平面ABB′A′[答案]

B规律总结：直线与平面位置关系的判断：(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．下列命题中的真命题是(

)A．若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交B．若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面C．若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面αD．若a∥α，b⊂α，则a∥b[答案]

A跟踪练习[解析]

对于选项B，如图(1)显然错误．对于选项C，如图(2)显然错误．对于选项D，如图(3)显然错误，故选A．例题2

α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(

)A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

2.两个平面的位置关系[解析][答案]

D

规律总结：判断两平面之间的位置关系时，可把自然语言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(

)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定[答案]

C跟踪练习[解析]

由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．例题3已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.求证：直线b与平面α相交．[探究]解答此类问题要首先把符号语言转化为图形语言，即依据题意作图，然后根据已知条件证明，若直接证明较困难，则宜采用反证法．3.用反证法证明线面关系[解析]

如右图，∵a∥b，∴a和b确定平面β，∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线l.∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交，∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q，又因为b不在平面α内(若b在α内，则α和β都过两相交直线b和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α

相交．规律总结：到目前为止，我们认识了线线关系、线面关系和面面关系，但是我们只知道定义，没有充足的公理、定理可用，所以在证明有些结论时可以利用反证法．应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一推出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设，肯定结论．如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a.求证：直线a与平面α相交．[分析]

问题的实质就是证明直线a与平面α除点A以外，不存在其他公共点，于是有下面的证明思路：反证法．跟踪练习[证明]

假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a⊂α.假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾；假设a⊂α，就与B∉α，B∈a矛盾．∴假设不成立．∴直线a与平面α相交．例题4设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面(

)A．有且只有一个 B．恰有两个C．没有或只有一个 D．有无数个对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析，才能避免判断失误．4.易错点[错解]

如右图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面．故选A．[错因分析]

错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了．[正解]

C设P是异面直线a，b外一点，则过P与a，b都平行的直线有(

)条(

)A．1 B．2C．0 D．0或1[答案]

C[解析]

反证法．若存在直线c∥a，且c∥b，则a∥b与a，b异面矛盾．故选C．针对训练1．圆柱的两个底面的位置关系是(

)A．相交 B．平行C．平行或异面 D．相交或异面[答案]

B[解析]

圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．当堂检测2．直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是(

)A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面[答案]

D3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线(

)A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面[答案]

D[解析]

两个平面内的直线必无交点，所以不是异面必是平行．4．下列四个命题中假命题的个数是(

)①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．A．4 B．3C．2 D．1[答案]

A[解析]

①两条直线平行、相交或异面②平行或异面③平行、相交或异面④无数条≠任意一条，当直线在平面内时，平面内有无数条直线与这条直