高考数学第一轮章节复习课件-第十三节-定积与微积分基本定理(理)

第十三节定积与微积分基本定理（理）第十三节定积与微积分基本定理（理）高考数学第一轮章节复习课件-第十三节--定积与微积分基本定理(理)一、定积分的性质

1.kf(x)dx＝；2.[f(x)±g(x)]dx＝；3.f(x)dx＝(其中a＜c＜b).Kf(x)dx(k为常数)f(x)dx±g(x)dxf(x)dx＋f(x)dx一、定积分的性质2.[f(x)±g(x)]d二、定积分的几何意义1.当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)

所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分).二、定积分的几何意义2.一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和

(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.2.一般情况下，定积分f(x)dx的几何三、微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)

＝f(x).那么f(x)dx＝.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式.

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.

为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).F(b)－F(a)F(x)ab三、微积分基本定理F(b)－F(a)F(x)a

一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？

提示：一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.

一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数

提示：一个函1.(2x－4)dx＝(

)A.5

B.4C.3D.2解析：(2x－4)dx＝(x2－4x)＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5.答案：A1.(2x－4)dx＝2.若(2x＋)dx＝3＋ln2，且a>1，则a的值为(

)A.6B.4C.3D.2解析：(2x＋)dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1，故有a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2.答案：D2.若(2x＋)dx＝3＋l3.已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走过的路程为(

)解析：答案：C3.已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所4.曲线y＝cosx(0≤x≤)与两坐标轴所围成图形的面积为

.解析：答案：34.曲线y＝cosx(0≤x≤)与两坐标轴5.如果(x)dx＝1，(x)dx＝－1，则(x)dx

＝.解析：答案：－2dx=-1-1=-2.5.如果(x)dx＝1，(高考数学第一轮章节复习课件-第十三节--定积与微积分基本定理(理)1.求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形.1.求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)2.计算简单定积分的步骤

(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；

(3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；

(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；

(5)计算所求定积分的值.2.计算简单定积分的步骤求下列定积分：(1)(x2－x)dx；(2)sin2dx；(3)|3－2x|dx.求下列定积分：

(1)直接利用公式；(2)首先对sin2进行变式；

(3)去掉绝对值，分段积分.

(1)直接利用公式；(2)首先对sin2【解】【解】高考数学第一轮章节复习课件-第十三节--定积与微积分基本定理(理)1.计算以下定积分：（sinx-sin2x）dx;1.计算以下定积分：（sinx-sin2x）dx;解(1)函数y=2x2_的一个原函数是解(1)函数y=2x2_的一个原函数是+ln3+6)-(2+ln2+4)+ln3+6)-(2+ln2+4)（3）函数y=sinx-sin2x的一个原函数为所以y=-cosx+（3）函数y=sinx-sin2x的一个原函数为所以y=-c在平面直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积分为以下几种情况：1.y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝(x)dx(这时曲线全部在x轴上方)；在平面直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(2.如果在[a，b]上，f(x)≤0，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)

和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝|(x)dx|＝－

(x)dx(这时曲线全部在x轴下方)；2.如果在[a，b]上，f(x)≤0，则曲线y＝f(x)，x3.如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和下方都有图象，例如：在(a，c)上位于x轴上方，在(c，b)

上位于x轴下方，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝(x)dx＋(x)|dx＝

(x)dx－(x)dx；4.由曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)>g(x))与直线x＝a，x＝b(a<b)

围成的图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx.3.如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.在曲线y＝x2(x≥

需根据面积求出切点坐标.这又需要画出函数y＝x2(x≥0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义，求函数y＝x2(x≥0)的定积分，从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决.

【解】如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－令y＝0，得x＝即C(0).【解】如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.所以设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，所以x0＝2.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.解：作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组解方程组2.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.解因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为1.变速直线运动问题如果作变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是

v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为(t)dt；如果作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到

t＝b所经过的路程为－(t)dt.1.变速直线运动问题2.变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a

到x＝b所作的功为(x)dx.2.变力做功问题列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？列车以72km/h的速度加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程.加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程.【解】因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v＝0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程.已知列车速度v0＝72km/h＝20m/s，列车制动时获得的加速度为a＝－0.4m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，【解】因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，则v＝v0＋adt＝20－0.4dt＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50(s).设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则s＝dt＝(20－0.4t)dt＝500(m)，所以列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动.则v＝v0＋adt＝20－0.3.设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求变力F(x)

对质点M所做的功.解：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝3.设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动高考数学第一轮章节复习课件-第十三节--定积与微积分基本定理(理)定积分是新课标中新增内容，主要考查有关定积分的计算及其应用.对于定积分在几何或物理方面的应用，难度不大，属于低档题.2009年广东卷考查了定积分的物理应用.定积分是新课标中新增内容，主要考查有关定(2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是

(

)(2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面A.在t1时刻，甲车在乙车前面[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t1围成区域的面积仍然大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面.所以选A.[答案]

A大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，本题告诉物体运动的时间与速度的关系，研究物体的位移关系，是定积分在物理中的应用，同学们思考一下，若告诉物体运动的路程与时间的关系研究物体的速度关系又是一种什么问题呢？如下题：本题告诉物体运动的时间与速度的关系，研究物体的位移关系，是定如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是(

)A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变第十三节定积与微积分基本定理（理）第十三节定积与微积分基本定理（理）高考数学第一轮章节复习课件-第十三节--定积与微积分基本定理(理)一、定积分的性质

1.kf(x)dx＝；2.[f(x)±g(x)]dx＝；3.f(x)dx＝(其中a＜c＜b).Kf(x)dx(k为常数)f(x)dx±g(x)dxf(x)dx＋f(x)dx一、定积分的性质2.[f(x)±g(x)]d二、定积分的几何意义1.当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)

所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分).二、定积分的几何意义2.一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和

(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.2.一般情况下，定积分f(x)dx的几何三、微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)

＝f(x).那么f(x)dx＝.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式.

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.

为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).F(b)－F(a)F(x)ab三、微积分基本定理F(b)－F(a)F(x)a

一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？

提示：一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.

一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数

提示：一个函1.(2x－4)dx＝(

)A.5

B.4C.3D.2解析：(2x－4)dx＝(x2－4x)＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5.答案：A1.(2x－4)dx＝2.若(2x＋)dx＝3＋ln2，且a>1，则a的值为(

)A.6B.4C.3D.2解析：(2x＋)dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1，故有a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2.答案：D2.若(2x＋)dx＝3＋l3.已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走过的路程为(

)解析：答案：C3.已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所4.曲线y＝cosx(0≤x≤)与两坐标轴所围成图形的面积为

.解析：答案：34.曲线y＝cosx(0≤x≤)与两坐标轴5.如果(x)dx＝1，(x)dx＝－1，则(x)dx

＝.解析：答案：－2dx=-1-1=-2.5.如果(x)dx＝1，(高考数学第一轮章节复习课件-第十三节--定积与微积分基本定理(理)1.求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形.1.求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)2.计算简单定积分的步骤

(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；

(3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；

(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；

(5)计算所求定积分的值.2.计算简单定积分的步骤求下列定积分：(1)(x2－x)dx；(2)sin2dx；(3)|3－2x|dx.求下列定积分：

(1)直接利用公式；(2)首先对sin2进行变式；

(3)去掉绝对值，分段积分.

(1)直接利用公式；(2)首先对sin2【解】【解】高考数学第一轮章节复习课件-第十三节--定积与微积分基本定理(理)1.计算以下定积分：（sinx-sin2x）dx;1.计算以下定积分：（sinx-sin2x）dx;解(1)函数y=2x2_的一个原函数是解(1)函数y=2x2_的一个原函数是+ln3+6)-(2+ln2+4)+ln3+6)-(2+ln2+4)（3）函数y=sinx-sin2x的一个原函数为所以y=-cosx+（3）函数y=sinx-sin2x的一个原函数为所以y=-c在平面直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积分为以下几种情况：1.y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝(x)dx(这时曲线全部在x轴上方)；在平面直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(2.如果在[a，b]上，f(x)≤0，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)

和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝|(x)dx|＝－

(x)dx(这时曲线全部在x轴下方)；2.如果在[a，b]上，f(x)≤0，则曲线y＝f(x)，x3.如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和下方都有图象，例如：在(a，c)上位于x轴上方，在(c，b)

上位于x轴下方，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝(x)dx＋(x)|dx＝

(x)dx－(x)dx；4.由曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)>g(x))与直线x＝a，x＝b(a<b)

围成的图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx.3.如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.在曲线y＝x2(x≥

需根据面积求出切点坐标.这又需要画出函数y＝x2(x≥0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义，求函数y＝x2(x≥0)的定积分，从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决.

【解】如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－令y＝0，得x＝即C(0).【解】如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.所以设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，所以x0＝2.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.解：作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组解方程组2.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.解因此，所求图形的面积为因此，所求图形的面积为1.变速直线运动问题如果作变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是

v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为(t)dt；如果作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到

t＝b所经过的路程为－(t)dt.1.变速直线运动问题2.变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a

到x＝b所作的功为(x)dx.2.变力做功问题列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？列车以72km/h的速度加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程.加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程.【解】因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v＝0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程.已知列车速度v0＝72km/h＝20m/s，列车制动时获得的加速度为a＝－0.4m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，【解】因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，则v＝v0＋adt＝20－0.4dt＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50(s).设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则s＝dt＝(20－0.4t)dt＝500(m)，所以列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动.则v＝v0＋adt＝20－0.3.设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋