浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高二上学期期末数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1・直线©2x+y+2=0在y轴上的截距为()A.B・€2C.2D.一22•已知空间向量a=(一2丄2),b=(x,一2,-4)，若a//b，则实数x=()A.一5B.5C.-4D.43•直线y=kx+k+1(k为常数)经过定点()―►A.(11)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)4•在空间直角坐标系Oxyz中,若点MC2-4a,b+3,2c+J关于y轴的一个对称点M'的坐标为(4,-2,15),则a+b+c的值()A.等于10B・等于0C.等于-11D.不确定5.已知aeR，则“a<3”是“点(1,2)和(3,4)在直线x+y-a=0的同侧”的()A•充分不必要条件B•必要不充分条件C•充要条件D.既不充分也不必要条件6•过点M(-2,1)作圆x2+y2=5的切线l，则切线l的方程为()A.2x一y+5=0b.2x+y一5=0C.2x一y+5=0或2x一y+5=0d.2x+y一5=0或x+2y-5=07•设l为一条直线，Q,卩,Y为三个不同平面,给出下列四个命题：①a丄丫,卩丄丄卩；②lua,l丄卩na丄卩；③a丄卩,l丄a,lPnl//卩；④a丄卩,l//anl丄卩；其中，是假.命.题.的个数为()A.0B.1个C.2D.3个8•已知双曲线罕-善=1，FF分别为双曲线的左、右焦点，过F］作直线l交双曲线88121

于CD两点（异于顶点），若ICD\=4巨,则'FfD的面积为（）A.4J2B.8辽C.12巨D.16迈9.如图，四面体ABCD中的面BCD在平面a内，平面ABC丄a,MeBC，且BC丄平面AMD,已知AM二DM=、汙，若将四面体ABCD以BC为轴转动，使点A落到a内，则A，Da内，则A，D两点所经过的路程之和等于（）A.2"3兀B.73兀C.<37110.已知抛物线C:y2二8x,圆C:（x-2）2+y2二1，若点P,Q分别在C,C上运1212\PM\动，且设点M（4,0），则TpQp的最小值为（）34TOC\o"1-5"\h\zA.5B・5C.4D.-4二、双空题y2x2双曲线务-〒=1的渐近线方程为，两顶点间的距离等于.2232如果原命题P是“若整数a不能被4整除，则a是奇数”，那么p的否命题可表述为，P的逆否命题是一个命题（可填：“真”，“假”之一）.xy13.已知直线l：3+4二1和圆Q:x2-2x+y2二0，则l与Q的位置关系是，过圆心且与直线l平行的直线的方程为.（用一般式表示）14.如图，在四棱锥S-ABCD中,SA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形，且ZDAB二60o，|SA|=|AB|=1则异面直线SD与BC所成的角的余弦值为，点C到平面SAD的距离等于三、填空题—x-y<0,已知实数x，y满足约束条件<x+y-4>0,若2x+y+2的最大值为14,则实数y-m<0,TOC\o"1-5"\h\zm=.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点p在底面ABCD内运动，且始终保持BPII平面A1DC],设直线D1P与底面A1BCD1所成的角为0，则sin0的最大值为.已知椭圆C和双曲线Q有相同焦点FF且它们的离心率分别为J，设点M1212ee是C与Q的一个公共点，若ZFMF=60。，则匚肯的最小值为.21e+e12四、解答题已知ABC在平面Q夕卜,如图1,若ABca=P,BCna二Q,ACca=R，求证：P,Q,R三点共线；如图2,若ABIIa,BCI/a,求证：ACIIa.在ABC中,ZA的角平分线在直线x=0上,AD丄BC,D为垂足，且AD所在直线的方程为2x+y-2二0.△,一求点A的坐标；若点B的坐标为(-2,-3)，求AB边上高的长度d.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中满足AB=BC，若点E在棱AA1上点F在棱BC上且EC丄BE111求证：BE丄EF；当E是A、的中点时，求二面角C1-EC-B的平面角的余弦值.2已知抛物线C:y2二2px(p>0)的焦点到其准线的距离为亓.求抛物线C的方程；设直线x+y-1=0与抛物线C相交于A,B两点，问抛物线C上是否存在点P,使得AABP是正三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.已知椭圆E丄+二=1(a>b>0)的焦距等于2迈，短轴与长轴的长度比等于a2b2\2:2・求椭圆E的方程；设点P(1,yo)(yo>0)在椭圆E上，过p作两直线11,1，分别交椭圆E于另外两点0012A,B，当11,［的倾斜角互为补角时，求△ABP面积的最大值.参考答案参考答案1．D【解析】【分析】因为p2x+y+2=0,令x=0,即可求得在y轴上的截距.【详解】'X-12x+y+2=0令x=0得:y=-2直线x+y+2=0在y轴上的截距为：-2故选:D.【点睛】本题考查了求直线在y的截距，解题关键是掌握直线的基础知识，考查了计算能力，属于基础题.2．D【分析】根据向量平行可得a=九b，即可求得答案.【详解】：a//b--一f-2=九x可得:可得:=-2九解得:<〜2=-4九x=4故选:D.【点睛】本题的解题关键是掌握向量平行的基础知识，考查了计算能力，属于基础题.3．B【分析】将直线y=kx+k+1化为y=k(x+1)+1,即可求得答案.

【详解】j直线y=kx+k+1化简可得：y-k（x+1）+1则直线y=kx+k+1（k为常数）经过定点是：（-1,1）.故选:B.【点睛】本题考查了含有参数直线过定点问题,解题关键是掌握求直线过定点的方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4．C【分析】根据在空间直角坐标系Oxyz中关于y轴的对称点特征:横坐标变为相反数，纵坐标不变，第三个坐标变为相反数,即可求得答案.【详解】的坐标为（4,的坐标为（4,-2,15）根据在直角坐标系Oxyz中关于y轴的对称点特征可得:a=2b=-5c=-a=2b=-5c=-8b+3=-2解得:2c+1=-15a+b+c=—11故选:C.【点睛】本题考查了在空间直角坐标系中有关于y轴对称问题，解题关键是掌握空间直角坐标系的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.5．A【分析】根据充分条件和必要条件定义,即可求得答案.【详解】要保证点(1,2)和(3,4)在直线x+y-a二0的同侧需满足(1+2—a)(3+4—a)>0,即(a—3)(a—7)>0解得:a<3或a>7■■由a<3可以推出a<3或a>7即由a<3可以推出点(1,2)和(3,4)在直线x+y—a二0的同侧,•••“a<3”是“点(1,2)和(3,4)在直线x+y—a=0的同侧”的充分条件.由a<3或a>7不能推出a<3即由点(1,2)和(3,4)在直线x+y—a二0的同侧不能推出a<3•••“a<3”是“点(1，2)和(3,4)在直线x+y—a二°的同侧”的不必要条件.•••“a<3”是“点(1，2)和(3,4)在直线x+y—a二°的同侧”的充分不必要条件故选:A.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.6．A【分析】因为点M(—2,1)在x2+y2二5圆上，由k=—1,得到切线的斜率k=2,由此能求出切线OM2方程.【详解】'/x2+y2=5圆心0(0,0),半径r=\污:点M(—2,1)到圆心0(0,0)的距离：|MO|^■''4+1=、厉=rM(—2,1)在圆上,■/k0M切线的斜率k=2切线方程为y-1=2(x+2)即2x-y+5=0.故选:A.【点睛】本题考查了求圆的切线方程,解题关键是掌握圆切线的求法和求切线时要判断点是在圆上,还是圆外,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.7．D【分析】根据线面关系,和面面关系,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于①，由d丄丫，B丄丫，无法判断«与0位置,故①假命题；对于②，根据一个平面内一条直线垂直另一个平面内的两条相交线则这两个平面垂直,可知由lua,l丄卩,不能推出a丄卩,故②假命题；对于③，因为a丄卩，l丄么，l丘0,可以推出1//0,故③是真命题.对于④，因为由么丄卩，1//a,不能推出I丄0,故④假命题•-假命题的个数是：3个.故选:D.【点睛】本题考查了判断面面位置关系和线面位置关系，解题关键是掌握线面关系基础知识，考查了空间想象能力和分析能力，属于基础题.8．D【分析】因为双曲线£-卷=1，其通径长为:2-b=4迈，根据ICD1=4迈，可知1CD1为双曲线88a的通径，根据曲线的通径垂直x轴，结合已知即可求得答案.【详解】x2y2T双曲线—-务=188b2l•••其通径长为：2•—=4+2a又丨CD1=4迈•••ICD丨为双曲线的通径.根据曲线的通径垂直x轴1A•••S=-X|CD|x(2c)二-X4、迈X8=16迈F2D22故选:D.【点睛】本题考查了考查了双曲线和直线相关问题,解题关键是掌握双曲线的基础知识和通径的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．B【分析】因为平面ABC丄a,MgBC，且BC丄平面AMD，将四面体ABCD以BC为轴转动，使点A落到a内，即A,D两点以M为圆心，以^3为半径旋转了4圆周长，即可求得答案.【详解】■平面ABC丄a，MgBC，且bc丄平面AMD将四面体ABCD以BC为轴转动，使点A落到a内•••A，D两点以M为圆心，以＜3为半径旋转了4圆周长1•••A，D两点所经过的路程之和等于2xx2兀力3=血故选:B.【点睛】本题考查了点旋转轨迹的长度,解题关键是判断出旋转轨迹形状,考查了空间想象能力,属于中档题.10．B【分析】设点P(x,y)，圆C2：(x-2)2+y2=1圆心为N(2,0)，半径为r=1，要保证背暑取得最小值，应\pQ=|pNl+厂，画出几何图形，结合已知，即可求得答案.【详解】画出几何图形，【详解】画出几何图形，如图:设点P（x，y）,（x>0），圆C:（x—2）2+y2=1圆心为N（2,0）,半径为r=1,2PMI要保证应r取得最小值PMI要保证应r取得最小值•••根据图像可知应：|PQ=|PN|+r=(x—2)2+y2+1=p(x—2)2+8x+1=£x2—4x+4+8x+1=\(x+2)2+1=x+3又\PM\=x—4)2+y2=\；x2—8x+16+8x=x2+16|PM|=Jx2+16|PQ=~x+3丄」PM|2x2+16C2+6x+9)—6x+7故==一IPQ|2(x+3)2(x+3)2=1—3=1亠+亠(x+3)2x+3(x+3)2IPM|2IPM|2IPQ|2=25T2—6T+13|PM|23|PM|2由二次函数可知:当t0-25时,砲7取得最小4x25-364x251625|PM|4二|PQ|的最小值为：5-故选:B.【点睛】本题考查了圆锥曲线的最值问题,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和在使用换元法时,要注意引入新变量的范围,在数量关系复杂时,画出几何草图,数学结合,寻找数量关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.TOC\o"1-5"\h\z11.2x土3y二04【分析】y2x2a因为双曲线电-32=根据渐近线方程为y"沪，即可求得渐近线方程•由两顶点间的距离为2a，即可求得答案.【详解】y2x2:双曲线务-—=1,2232/.a=2,b—3a根据渐近线方程为y—±丁xb2•••渐近线方程为y—±3x，即2x±3y—0根据有两顶点间的距离为2a•-两顶点间的距离等于4故答案为:2x±3y—0,4.【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程和两顶点间的距离,解题关键是掌握双曲线的基础知识,考查了计算能力,属于基础题.12.若整数a能被4整除，则a是偶数假【分析】根据否命题的定义，即可求得P的否命题•根据原命题和逆否命题真假相同，即可求得答案.【详解】'•‘如果原命题P是“若整数a不能被4整除，则a是奇数”•••可得P的否命题为:若整数a能被4整除，则a是偶数'•‘P是“若整数a不能被4整除，则a是奇数”当整数a=2,a不能被4整除，而a是偶数.P是假命题:根据原命题和逆否命题真假相同P的逆否命题是假命题故答案为:若整数a能被4整除，则a是偶数，假【点睛】本题考查了求命题的否命题和判断命题的真假，解题关键是掌握否命题定义和原命题和逆否命题真假相同，考查了分析能力，属于基础题.13.相离4x+3y-4二0【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得出直线与圆的位置关系.根据两条直线平行斜率相等，即可求得直线l平行的直线方程.【详解】圆的方程Q:x2-2x+y2二0化为标准方程可得:（x—l）2+y2=1，圆心（1，°），半径为1xy将直线l:y+4二1化为直线的一般方程:4x+3y-12=0•••根据点到直线距离公式求得圆心（1，°）到直线l距离：l与Q的位置关系是相离x+3y—12二0•••设过圆心且与直线l平行的直线方程为：4x+3y-C二0将圆心（1,0）代入,4x+3y-C二0求得C=44x+3y—4=0故答案为:相离，4x+3y—4=0.【点睛】本题考查了判断直线和圆的位置关系和求直线方程,掌握判断直线和圆的位置关系的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.<314.22【分析】因为底面ABCD是菱形，可得BC//AD，则异面直线SD与BC所成的角和BC与AD所成的角相等，即可求得异面直线SD与BC所成的角的余弦值•在底面从点C向AD作垂线CM,求证CM垂直平面sad，即可求得答案.【详解】■底面ABCD是菱形,•••BC//AD则异面直线SD与BC所成的角和直线BC与AD所成的角相等■/SA丄平面ABCD,ADu平面ABCD•••SA丄AD又|SA|=|AB|=】,底面ABCD是菱形•••|SA|=|AD|

SDA45即cosSDA故:异面直线SD与BC所成的角的余弦值为:~Tt|CM||AC|sin30SDA45即cosSDA故:异面直线SD与BC所成的角的余弦值为:~Tt|CM||AC|sin30v32故答案为:x/2罷■/SA平面ABCD,CM平面ABCDSACM.SACM,ADCMCM平面SAD故CM|是C到平面SAD的距离【点睛】本题考查了求异面直线的夹角和点到面距离,解题关键是掌握将求异面直线夹角转化为共面直线夹角的解法,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.15．4【分析】作出不等式组所表示的可行域,根据目标函数2xy2的最大值为14,结合图像,即可求得答案.【详解】xy0,Txy40,ym0,作出不等式组所表示的可行域,如图:■■目标函数2x+y+2的最大值为14，即2x+y+2二14即目标函数经过x-y二0和y-m二0交点取得最大值则交点为（m，m）,将其代入2x+y+2二14得:m二4故答案为:4.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.16．【分析】画出立体图形，因为面AB]C//面A1DC,P在底面ABCD内运动，且始终保持BP门平面A1DC1,可得点P在线段AC上运动，因为面A1BCD1//面ABCD,直线D1P与底面A1B0D所成的角和直线D1P与底面ABCD所成的角相等，即可求得答案.【详解】连接B]A和BC'/BA//CD,BC//ADii1i•••面AB]C//面£DCP在底面ABCD内运动，且始终保持BP//平面AiDCi•-可得点P在线段AC上运动，■/面ABCD//面ABCD,iiii•直线Dip与底面AiBiCiDi所成的角和直线Dp与底面ABCD所成的角相等:DD丄面ABCD•直线DiP与底面ABCD所成的角为:ZDipDDD有图像可知:tan0=匕厂「IDfDI长是定值，I•-当lDPl最短时,IDPI二2lDB，即tan0最大，即角0最大设正方体的边长为a•\DP\=2|DB\atan0=-詈=2,a2sin20+cos20=Itan0=sin0cos0故答案为呼【点睛】本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.17．分析】x2y2x2y2设椭圆方程是一+厂=1，双曲线方程是一-厂=1，由椭圆和双曲线定义可得:a2b2a2b211221叫|=a1-a2,利用余弦定理,|MF|+\MF\=2a,\MF|-\MF\=21叫|=a1-a2,利用余弦定理,13化简4二;+二的表达式，利用柯西不等式，即可求得答案.e2e212详解】x2y2x2y2设椭圆方程是一+7~=1，双曲线方程是—一T_=1a2b2a2b21122由椭圆和双曲线定义可得：Mtl+\mf\=2a1,lMFl-lMF,I=2a即可求得：|MFj=a】+a2,|MF|=a】-a2在△件M©中由余弦定理可得:\FF|2=|MF|2+|MF|2-2|MF||MF|cosZFMF12121221/.(2c)2=(a+a)2+(a一a1+2(a+a)(a一a)cos60°12121212即4c2=a2+3a212134=+-e2e212(1\(1(1\(13)1+——+—V3丿Ve2e2丿利用柯西不等式、门113n(lx+x—eJ3e丿12丿、2(11)2—+—

ee丿

12(11丫即一+—Iee丿12TOC\o"1-5"\h\z114.3即一+—<—ee312•••可得1丄14,I-ee12<3取等号.ee-J3<3取等号.故n，当且仅当ee+e4112ee3二+芳的最小值为上3e+e412故答案为罟【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值问题，解题关键是掌握椭圆和双曲线基础知识,灵活使用柯西不等式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)要证P，Q，R三点共线，只需证平面ABC与a有且只有一条经过点P的公共直线l,Q,R是平面ABC与a的公共点，即可求证P，Q，R三点共线；(2)要证AC//a，只需证平面ABC//a，将证线面平行转化为证面面平行，即可求得答案.【详解】(1)ABCa=P,PeAB,Pe平面ABC,Pea,•••平面ABC与a有一个公共点P,且平面ABC与a不重合，•••平面ABC与a有且只有一条经过点P的公共直线l即平面ABCCa=l,Pe/.又一BCna二Q,QgBC,Qg平面ABC,Qea即Q是平面ABC与a的一个公共点，•••Qgl.同理Rgl,故P,Q,R三点共线.(2)显然，AB平面ABC,BCu平面ABC,且ABnBC=B,:AB//a,BC//a,平面ABC//a.:ACu平面ABC,/.AC//a.【点睛】本题考查了求证三点共线和线面平行,解题关键是掌握将证线面平行转化为证面面平行,考查了分析能力和推理能力,属于基础题.19.(1)(0,2)⑵d=注87【分析】因为zA的角平分线在直线x=0上，可设A(0,b),AD所在直线的方程为2x+y-2二0,即可求得答案；y—y—3—25因为A(0,2),(—2,—3),求得kAB二兀2_J=_2_°二亍，求出AB直线方程，通过点到21直线的距离公式，即可求得AB边上高的长度d.【详解】(1)：ZA的角平分线在直线x=0上可设A(0,b),■-AD所在直线的方程为2x+y—2二0.•-由ad方程得：b=2,

点A的坐标为A(0,2).(2)A(0,2),(—2,—3)y—y—3—25k=2i-ABx—x—2—0221AB直线方程为：y—2=5(x—0),即5x—2y+4=0,-ZA的角平分线在直线x=0上，/.k=—,AC2AC直线方程为：y—2=——(x—0)，即5x+2y—4=0,.AD丄BC,•••k=1,BC21•••bc直线方程为：y+3=-(x+2),即x—2y—4=0,x+2y—4=0x—2y—40,(4解得点C-k3-4(4-4(4「5x-—2x+43:3J\：52+(—2)240J2987【点睛】本题考查了根据点到直线距离公式求三角形一边的高,解题关键是掌握直线方程的基础知识和点到直线的距离公式,可画出草图,数学结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.120．(1)证明见解析⑵—2分析】(1)要证明BE丄EF，只需证明BE丄平面EBC，将证线线垂直转化为证线面垂直，即可求得答案;(2)以B［为坐标原点，BA的方向为x轴正方向，丨AB1=1为单位长,建立如图所示的空间11111

直角坐标系B1-xyz,根据面面角的向量求法即可求得答案.【详解】（1）丫BC丄平面ABB】A1,BEu平面ABB]£,BC丄BE又tEC丄BE且BCnEC=CBCECu平面EBCi'iii1'ii'ii1'BE丄平面EBC11FgBC,EFu平面EBC,ii'ii，.BE丄EF.(2)由(1)知BE丄EB]，即ZBEBi=90。,:E为AiA的中点，RtABE^RtAiBiE，得ZAEB=45。,.AE=AB,AA.=2AB.i△以B.为坐标原点，BA的方向为x轴正方向，丨AB1=i为单位长,iiiii建立如图所示的空间直角坐标系B]-xyz..•.点.•.点C(0,2,1),B(0,2,0),C](0,0,l),E(i,i,0),向量CB=(0,0,-i),CE=(i,-i,-i),CC=(0,-2,0)设平面EBC的法向量为n=（兀y,z），则CB-nCB-n=0,CE-n=0,即-z=0,x-y-z=0,可取n=(1丄0).设平面ECC的法向量为m=(x，y,z),CC严CC严=0,CE-m=0,-2y=0,、x-y-z=0.可取m二(1,0,1),—►cos::n,cos::n,m}-n-m

同网由题意可知二面角的平面角是钝角，—►—►1•••二面角B-EG-的平面角的余弦值为-了【点睛】本题考查了证明线线垂直和二面角的向量求法，解题关键是掌握将证线线垂直转化为证线面垂直的方法和熟悉面面角的向量求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.(1)y2-春x(2510)(2)存在，点P的坐标为〔I,.V1111丿分析】p(I)因为抛物线C:y2-2px(p>0),物线C的焦点为|彳,0，准线为X=-p，由V2丿2⑵设AG]⑵设AG],人),B(x2‘y2),则由<2-4y2x,11消掉y得：(-x+1)2x+y一1-0,p(p)2V2丿-吕,即可求得答案;|ABI-空6，假设抛物线C上存在满足条件的点P(x3,y丿,结合已知，即可得出答案.1133【详解】(1)：抛物线C:y2-2px(p>0)•抛物线C的焦点为彳,0，准线为x=一£,V2丿2

p/P]212丿…由22—^得p—-11得p11,•••抛物线C的方程为y2—11x.⑵设A(x1，人),B(x2,H2_4/y2_x,411消掉y得:(—x+1)2—订xx+y—1—0,即llx2—26x+11二0,根据韦达定理可得：x1根据韦达定理可得：x1+x2_26_1Txx—112又'•‘由两点间距离公式可得:又'•‘由两点间距离公式可得:IABI二(IABI二(xi—y一x)2+「(1一x)一(1121x?)]2■+x)2—■+x)2—4xx,1212假设抛物线C上存在满足条件的点P(x3,y3),设AB的中点D(x0,y0),x+x132则x_t2_,y_1一x_——02110011△ABP是正三角形,•••PD丄AB，且1PD|-¥AB|-罟由PD丄AB和直线AB:x+y—1—0和D订，—V11可得pd可得pd的方程为：y-—x—11即x—y—15—0.又'•‘由点P又'•‘由点P在PD上,•-x-y-15=0.①31112[224由IPDI二—一及点P到直线ab的距离，得出+•-x-y-15=0.①31112[224由IPDI二—一及点P到直线ab的距离，得出+y3-1|二订1125x3由联立①②解得<11111014y311(114)检验点—，-—不在抛物线c上,V1111丿一(2510)存在满足条件的点P的坐标为17,V1111丿另法参考：亦可由s4y2=x,3113150x―y―=0331125111011经验证